高品質(zhì)課堂：重在優(yōu)化數(shù)學(xué)任務(wù)的設(shè)計 ①——“二倍角三角函數(shù)(2)”同課異構(gòu)的設(shè)計、實錄與評析

華志遠

(無錫市第一中學(xué) 214031)

新一輪課程改革，學(xué)生關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)倍加關(guān)注，但要把新課程理念轉(zhuǎn)化為教師的高水平教學(xué)行為，則需要有效的教研抓手，“同課異構(gòu)”是重要的途徑之一. 在一次名師工作室活動中，甲、乙兩位教師分別執(zhí)教“二倍角三角函數(shù)(2)”. 從課堂教學(xué)的目標、進程和效果來看，兩位教師的教學(xué)目標合理，所選例題和練習(xí)難度與教材相當，但教學(xué)的出發(fā)點、內(nèi)容的組織和師生互動的形式有明顯的區(qū)別. 教師甲的課堂：從復(fù)習(xí)公式、學(xué)生練習(xí)開始，到例題講解、變式訓(xùn)練，最后作歸納總結(jié)，課堂條理清晰，訓(xùn)練扎實，但課堂氣氛略顯沉悶，學(xué)生思維的活躍度不夠；教師乙的教學(xué)從探索規(guī)律、解決問題出發(fā)，探索數(shù)學(xué)問題的本源和聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)任務(wù)驅(qū)動的課堂特點，在組織例題教學(xué)時，打破教師講解與學(xué)生練習(xí)的界限，突出了學(xué)生的積極嘗試、思考交流和歸納總結(jié)，加上他活潑開朗的性格、風(fēng)趣時尚的語言以及與學(xué)生親密無間的交流，讓人感受到高品質(zhì)課堂的韻味和氣息. 限于篇幅，下面提供兩位老師的教學(xué)設(shè)計，并作簡要分析，供同行研討.

1 教師甲的教學(xué)設(shè)計與實施流程

1.復(fù)習(xí)倍角公式及其變形，組織學(xué)生練習(xí)(板演)，教師巡視，并作適當引導(dǎo).

則cos 2α=________.

2.呈現(xiàn)例題，分析講解.

例1化簡sin2(α-30°)+ sin2(α+30°)+cos2α.

分析：方法1用正弦的和差角公式直接展開、化簡；方法2先降冪、再展開、化簡.(解完后作對比分析，并加以歸納總結(jié))

變式練習(xí)：求證：cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B.

例3在半圓形鋼板上截取一塊矩形材料，怎樣截取能使這個矩形的面積最大？

分析：本題既可設(shè)邊長為自變量，也可設(shè)角度為自變量，但旋轉(zhuǎn)類及直角三角形等問題，設(shè)角為自變量解題較為簡潔.

變式練習(xí)：求函數(shù)y=sinx(sinx+cosx)的最大值和最小值.

3.總結(jié)題型，提煉方法.

求解三角題時：

(1)注意角度變換，如未知角與已知角的關(guān)系，相關(guān)角與特殊角的關(guān)系等；

(2)注重函數(shù)名的變換，如化同名函數(shù)，正切與正余弦函數(shù)共存時化切為弦等；

(3)注意運算結(jié)構(gòu)的變換，如二次根式的升次，和差算式中的降次，合理的通分、約簡、消去等.

2 教師乙的教學(xué)設(shè)計與實錄分析

例1計算下列各式：

(1)cos230°+ cos290°+ cos2150°=

.

(2)cos215°+ cos275°+ cos2135°=

.

(3)cos245°+ cos2105°+ cos2165°=

.

根據(jù)上述計算結(jié)果，寫出一般性的結(jié)論，并加以證明.

教師追問1：這兩個一般性結(jié)論本質(zhì)上是否相同？哪一個等式更優(yōu)美？為什么？

教師追問2：直接展開證明與降冪后展開，哪種方法更有數(shù)學(xué)價值？為什么？

教師：前兩天，我們班一位同學(xué)問了我一道平面幾何題，我苦思冥想了半節(jié)課，不得其解，請教同事也是一籌莫展，后來突發(fā)奇想，能否采用解直角三角形及三角變換來證明呢？結(jié)果不到兩分鐘就證明出來了，那時真的很有成就感.大家也來想一想，怎樣證明？

例2如圖，在Rt△ABC中，AB⊥BC，∠BAC=30°，E為AC的中點，在CB的延長線上取一點D，使∠BAD=10°，在AD上取一點F，使EF⊥AC.求證：AF=CD.

教師：有些代數(shù)題，如,例3已知x2+y2=1，求3x2+2xy+y2的最大值和最小值，看似常規(guī)，直接用消元法求解，卻因為出現(xiàn)根式而不易把握，怎么辦？

學(xué)生普遍認為，采用三角代換，可以起到降次、降元，并把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值，再化歸為y=Asin (ωx+φ)的最值求解，最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出三角代換的若干原則.

教師：三角變換不僅能解決平面幾何、代數(shù)中的困難問題，還能解決一些實際問題.我手里拿的是半徑為30 cm的半圓形金箔紙，現(xiàn)要剪出一張矩形紙片，怎樣裁剪才能使這個矩形面積最大？為了不進行破壞性試驗，我復(fù)制了兩張同樣大小的廢報紙，供大家設(shè)計、嘗試時使用，裁剪方案怎樣設(shè)計呢？(圖與上節(jié)例3相同)

變式練習(xí)：半徑為30 cm的圓形金箔紙，現(xiàn)要剪出一張矩形紙片，怎樣裁剪才能使這個矩形面積最大？(呼應(yīng)半圓與圓形的區(qū)別與聯(lián)系，并從“完形”的角度揭示其聯(lián)系)

教師：如果要測試本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果，能否編制一份三個題目的測試卷？前后四人一組，可以分工協(xié)作，五分鐘后作評比.

實錄分析：從視頻展示臺上展出的測試題來看，雖然大部分題目只是例題的變形，但從學(xué)習(xí)者的角度選擇這種變式，需要一定的歸納、總結(jié)、反思和評價能力，而這正是布魯姆學(xué)習(xí)評價中倡導(dǎo)的最高層級.在教師引導(dǎo)下，課堂小結(jié)在“為什么要編制這樣的測試題”的主題中完成.這里列舉其中的若干題目：

(1)求值：cos210°+ cos250°+ cos270°.

(2)求證：cos2α+cos2(α+30°) -

(4)已知x2+y2=4，求x2+2xy-y2的最大值和最小值.

(5)分別求斜邊長為2的直角三角形的面積和周長的最大值.

3 執(zhí)教者的專業(yè)背景分析及評價

從兩位教師的自我介紹來看，教師甲長期從事畢業(yè)班教學(xué)，因此對常規(guī)題、套路題的訓(xùn)練極為重視，而對培養(yǎng)學(xué)生的興趣、能力、素養(yǎng)等方面關(guān)注甚少，因此課堂教學(xué)呈現(xiàn)出一定的單一性和封閉性.具體表現(xiàn)在題目的分析切入過早，且過于直接，求解的推進過程較快，歸納小結(jié)時學(xué)生參與較少，而模仿性、鞏固性練習(xí)較多，雖然短期效果較好，但從長期來看，學(xué)生難以形成高認知水平.

教師乙只完成了高中一輪的循環(huán)教學(xué)，現(xiàn)在是某一課題組成員.在聽課交流中，他對本節(jié)課的教學(xué)定位，除了知識、技能和方法目標外，對如何使學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，體現(xiàn)“做中學(xué)”的數(shù)學(xué)教學(xué)理念；如何設(shè)計數(shù)學(xué)任務(wù)可以促進學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解、提高學(xué)習(xí)的興趣；如何創(chuàng)設(shè)問題情境，才能發(fā)展學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，分別提出了自己的教學(xué)主張.如例1的問題提出，他借鑒了選修教材中關(guān)于“歸納推理”的要點，提高學(xué)生的觀察、分析和概括能力；從審美的眼光來判斷，等式中角度的對稱性更能吸引人們的關(guān)注；證明等式兩種方法的比較時，學(xué)生覺得直接展開更省心，但從數(shù)學(xué)和物理的角度來分析，降冪后得到的等式“cos (2α-120°)+cos 2α+cos (2α+120°)=0”更具有科學(xué)價值.一方面，它以單位圓上內(nèi)接正三角形“四心合一”為背景，又與以原點O為起點、兩兩夾角相等的三個單位向量之和為零向量作呼應(yīng)，溝通了不同數(shù)學(xué)模型之間的內(nèi)在聯(lián)系；另一方面，它與物理中共點力的平衡和三相交流電等領(lǐng)域相關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)了不同學(xué)科模型之間的融通，從而展示了經(jīng)典例題的教學(xué)價值、美學(xué)價值和創(chuàng)新價值，因此在師生作出解題方法價值判斷時，教師的示范和引領(lǐng)使教學(xué)對話更具有滲透力和感染力，從而體現(xiàn)出高認知水平數(shù)學(xué)任務(wù)的特征.由此可見，成功的教學(xué)案例背后，一定有先進的教學(xué)理論和科研團隊作支撐，同時也體現(xiàn)了教師個人的教學(xué)追求和深入的教學(xué)思考.

4 同課異構(gòu)活動的教學(xué)評議與反思

4.1 教學(xué)評議

在評課活動中，多數(shù)教師認為：兩節(jié)課的教學(xué)要求都符合學(xué)生的學(xué)情，選擇的例題主要來源于教材.甲的教學(xué)與平時的常態(tài)課更接近，只是在練習(xí)題、變式訓(xùn)練和課堂小結(jié)上，做得更精細和規(guī)范，課堂上教師的示范和學(xué)生的練習(xí)較多，語言和情感交流較少.例如，出示例2后，教師直接利用提示語，找到解題的路徑，課堂看似順暢，教學(xué)用時較少，其實對初學(xué)者而言，“三大變換”思想還沒有真正納入到學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中，因此運用時顯得較為迷茫，若能讓學(xué)生獨立嘗試探索，哪怕是走些彎路，再與教師、同伴作交流，并作反思和總結(jié)，都更加能促進學(xué)生理解.乙的教學(xué)設(shè)計則突出了典型例題故事化、情景化的特點，從而使枯燥乏味的內(nèi)容變得饒有興趣.如例1的搶答訓(xùn)練與猜測結(jié)論、等式的審美鑒賞和融通價值的討論，例2平面幾何背景的故事化和三角工具作用的滲透，例3的數(shù)學(xué)實驗以及圓與半圓辯證統(tǒng)一的揭示，課堂小結(jié)則與編制測試題有機結(jié)合，整節(jié)課給人的感覺是：立意新穎，手段豐富，銜接自然，靈動活潑，一氣呵成.課堂上師生對話流暢，互動自然，學(xué)生思考的時間較多，探索的空間較大，反思總結(jié)較具體，對發(fā)展學(xué)生的思維和素養(yǎng)大有裨益.

從兩個班學(xué)生的認知基礎(chǔ)和水平來看，學(xué)生對公式和方法的掌握都較為熟練，表現(xiàn)在課堂開始的診斷性練習(xí)和課中的變式訓(xùn)練，學(xué)生的解題速度和正確率都較高，但學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣卻具有明顯的差異.教師甲因為是借班上課，加上原來上課形成的習(xí)慣，學(xué)生都是以聽講、筆記和模仿練習(xí)為主，主動參與思考、討論和交流的意識較為薄弱，多數(shù)同學(xué)在解題獲得結(jié)果后就出現(xiàn)了懈怠情緒；而教師乙所教的學(xué)生，由于受其教學(xué)的長期熏陶，因而面對數(shù)學(xué)問題，思考積極，敢于探索，發(fā)言踴躍，在解題完成后善于歸納、總結(jié)和反思，這在編制測試題中表現(xiàn)尤為突出.俗話說名師出高徒，學(xué)生的高認知水平來自于教師的不斷影響.高品質(zhì)課堂重在優(yōu)化數(shù)學(xué)任務(wù)的設(shè)計，而高水平的任務(wù)設(shè)計又必須依賴于高素質(zhì)的教師隊伍，從而引領(lǐng)學(xué)生不斷提高認知水平.

4.2 教學(xué)反思

處理好應(yīng)答練習(xí)與嘗試體驗的關(guān)系.從學(xué)習(xí)過程來看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)依托于學(xué)生對知識的理解和建構(gòu)，依托于對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的把握，依托于積極的深度思考，因此，經(jīng)驗和體驗在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著及其重要的作用.在學(xué)習(xí)中如何喚醒學(xué)生的經(jīng)驗，最科學(xué)的教學(xué)方法就是創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的好奇心，讓他們主動參與探索，從而經(jīng)歷問題的發(fā)生和發(fā)展過程.應(yīng)答練習(xí)固然能起到鞏固知識的作用，但不利于學(xué)生明辨知識產(chǎn)生的因果鏈，學(xué)習(xí)者難以真正體驗蟄伏于知識深層處的數(shù)學(xué)思想方法．

處理好局部與整體的關(guān)系.傳統(tǒng)的課時教學(xué)將學(xué)習(xí)內(nèi)容單一化、碎片化，學(xué)生往往難以體驗數(shù)學(xué)知識之間、不同單元之間以及與社會現(xiàn)實、其他學(xué)科之間的聯(lián)系，大單元教學(xué)法則以發(fā)展學(xué)生的能力和素養(yǎng)為目標，從整體上綜合協(xié)調(diào)數(shù)學(xué)知識、方法、思想、能力及素養(yǎng)等各要素之間的關(guān)系，即將單元學(xué)習(xí)的各步驟和各環(huán)節(jié)，都放置到教學(xué)活動的大系統(tǒng)中加以統(tǒng)籌，而不是片面凸顯或強調(diào)某一知識點.這樣在單元整體性設(shè)計的學(xué)習(xí)框架下，新舊知識的關(guān)聯(lián)性、數(shù)學(xué)各分支的內(nèi)在聯(lián)系以及數(shù)學(xué)思想方法之間的連貫性，通過一個單元的學(xué)習(xí)，不斷得到鞏固、完善和發(fā)展，從而彰顯了其系統(tǒng)化和過程性的特征，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在整體中感受局部的作用，在局部中領(lǐng)悟整體的意義，以保證整個單元的學(xué)習(xí)環(huán)環(huán)相扣，有序推進.這就要求教師必須有宏觀把握教材的能力，并依據(jù)學(xué)生的學(xué)情，從探索規(guī)律、解決問題出發(fā)，探索數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)任務(wù)驅(qū)動的課堂特點，在組織例題教學(xué)時，打破教與學(xué)的界限，突出學(xué)生的積極嘗試、思考交流和歸納總結(jié)，從而使學(xué)生成為知識的發(fā)現(xiàn)者、建構(gòu)者、對話者和反思者，以構(gòu)建起良好的認知結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的能力和素養(yǎng).