解題反思孕“念頭” 回歸教材尋“源頭”
——高三解題教學(xué)中回歸教材的幾則案例及思考

花 奎 張曉飛

(南京師范大學(xué)第二附屬高級中學(xué) 211900)

1 問題提出

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中要重視回歸教材和解題教學(xué)已成為全體教師的共識.但在教學(xué)現(xiàn)實中，回歸教材卻被大量的數(shù)學(xué)練習(xí)和解題所淹沒，成了一種空洞的口號，解題教學(xué)倒是貫穿了高三復(fù)習(xí)的始終.可以說解題教學(xué)的高效與否很大程度上決定了高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的成敗.解題教學(xué)的課堂上，教師(或某些極少數(shù)優(yōu)秀生)一言堂、滿堂灌的現(xiàn)象普遍存在，對學(xué)生有什么樣的想法，對問題的初始研究遠遠不夠，將解題教學(xué)演變成“題海戰(zhàn)術(shù)”，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、方法和思想的理解不到位，呆板地記住方法，遇到熟悉的問題，套路化求解，一旦問題的情境發(fā)生變化，就不能認識其本質(zhì)，找不到思路方法.因此，在高三的解題教學(xué)中，不僅要幫助學(xué)生總結(jié)歸納方法，還要充分展示思路方法的發(fā)現(xiàn)過程，捕捉學(xué)生的一些念頭，適時回歸教材，幫助學(xué)生深刻理解知識及思想方法的內(nèi)涵，領(lǐng)悟問題的本質(zhì).下面以高三解題教學(xué)中的幾則案例，談?wù)劷柚鷮W(xué)生的念頭適時回歸教材的點滴思考.

2 幾則案例

2.1 探知識之源，識其命題背景

(2)點C的坐標(biāo)為(-5,1)(過程略)；

圖1

探究源頭這一試題和參考答案經(jīng)常出現(xiàn)在各類教輔資料書中，較為典型.這道試題是如何命制出來的，命題的背景是什么呢？源頭在哪里呢?

對于數(shù)學(xué)解題，“退”是一種策略，回到起點，往往更能看清問題的本質(zhì).既然橢圓可由圓變換而來，而變換前后圖形間有如此緊密的聯(lián)系，研究橢圓的問題是否能退回到其最特殊的情形——圓中來思考呢?橢圓中的一些結(jié)論是否可以看作圓中的結(jié)論類比而得到的呢？

深入研究后，我們發(fā)現(xiàn)原問題是可以由一道平面幾何題演變而來的，問題及證明過程如下: 如圖2，BC是圓O一條弦，A是圓O上的點，且BC的中點在直線OA上，動點P在圓O上(異于點A,B,C)，且直線PB,PC分別交直線OA于M,N兩點，則OM·ON=OA2.

圖2

證明：連結(jié)PO交圓O于點D，連結(jié)DC.因為四邊形BPDC是圓O的內(nèi)接四邊形，所以可知∠D=∠MBC.

因為PD為直徑，所以∠D+∠DPC=90°.

數(shù)學(xué)知識通常有著緊密的聯(lián)系.在平面幾何中學(xué)習(xí)了不少有關(guān)圓的知識，借助教材中伸縮變換知識揭示圓與橢圓密切的內(nèi)在關(guān)系，通過橢圓的問題退回到圓中來思考，圓到橢圓的類比，會發(fā)現(xiàn)繁雜計算背后的知識源頭竟如此簡單，真可謂“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費工夫”.

2.2 探方法之源，揭其數(shù)學(xué)本質(zhì)

圖3

即2b2-c2-cbcos ∠BAC=0(1)；

cos ∠BAC=0，

探究源頭這道試題考查什么樣的方法，源頭在哪里呢?教材中有沒有此類方法的例子？基于此，引領(lǐng)學(xué)生做了以下的探究學(xué)習(xí)過程.

圖4

圖5

數(shù)學(xué)的方法不是從天而降，是怎么想到的？在平時學(xué)習(xí)了不少解題方法，顯得多而雜.教學(xué)中一定要借助教材揭示技巧和方法背后本質(zhì)和源頭，知其然更知其所以然.

2.3 探思想之源，悟其理性思維

圖6

探究源頭為什么會出現(xiàn)如此之錯誤呢？其根本原因是學(xué)生用“直觀”代替了“理性”，或者說學(xué)生缺乏理性的思考.

引導(dǎo)學(xué)生回歸學(xué)習(xí)教材(蘇教版)選修2—1第44頁中的“雙曲線漸近線的性質(zhì)”解讀如下：

圖7

學(xué)生通過對教材的回歸學(xué)習(xí)，上述解讀中首先觀察當(dāng)點N向右移動時，直觀發(fā)現(xiàn)隨著x的增大，PM長度越來越接近于0；但這是不夠的，還需要通過函數(shù)思想進行理性的證明.

同樣再來研究本例中問題時，學(xué)生不難找到錯誤的根源：過多的直觀，理性的缺失.數(shù)學(xué)中,數(shù)和形是兩個最主要的研究對象,它們之間有著十分密切的聯(lián)系,在一定條件下,數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化,相互滲透.應(yīng)當(dāng)正確運用數(shù)形結(jié)合思想，真正理解 “數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休”( 華羅庚語).

2.4 探歷史之源，知其文化傳承

案例4在一輪復(fù)習(xí)等比數(shù)列時，讓學(xué)生回歸學(xué)習(xí)教材(蘇教版)必修5第55頁等比數(shù)列的求和公式推導(dǎo).已知等比數(shù)列{an}的第1項a1和公比q，如何求它的前n項和Sn？

解根據(jù)題意知：

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，

①

在上述①式兩邊同乘以公比q，得

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+…a1qn，

②

由①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn，

復(fù)習(xí)時，教師也都不自覺地復(fù)習(xí)錯位相減法.不少同學(xué)有這樣的念頭：錯位相減法技巧性很強，有沒有更為一般的方法嗎?

探究源頭在部分學(xué)生的認知里，數(shù)學(xué)是一門充斥著復(fù)雜計算和高難度技巧的學(xué)科.不可否認計算和技巧是解決數(shù)學(xué)問題不可或缺的兩部分.我們不妨去探尋歷史之源，借鑒數(shù)學(xué)史寶庫中蘊含的優(yōu)秀數(shù)學(xué)思想方法，或許計算量是可以減少的，技巧是可以回避的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是可以“順其自然”的.

古人雖然不了解今天的數(shù)學(xué)，但今天的數(shù)學(xué)追求的目標(biāo)古人也曾追求過.教師在設(shè)計教學(xué)時，須兼顧數(shù)學(xué)知識體系的完備性和學(xué)生的認知發(fā)展水平，尊重學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，當(dāng)對學(xué)生某些念頭不知從何講起時，不妨回顧數(shù)學(xué)知識發(fā)生和發(fā)展的全過程，站在數(shù)學(xué)史的高度上重新審視教材，在解讀和重構(gòu)數(shù)學(xué)史的過程中探索教學(xué)設(shè)計的優(yōu)化途徑.

3 點滴思考

3.1 解題反思孕育學(xué)生的“念頭”

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》寫道：“如果你有一個念頭，你就夠幸運的了.無論如何，你應(yīng)當(dāng)感謝所有的新念頭，感謝那些模糊的念頭，也感謝那些使模糊念頭得以糾正的補充性念頭.即使你暫時還沒有發(fā)現(xiàn)什么有價值的新念頭，但如果你對問題的概念更完全了，或者更連貫、更和諧或者更平衡了，那你也應(yīng)當(dāng)表示感謝.”無須多言，學(xué)生的念頭多么的重要.高三復(fù)習(xí)中，學(xué)生做過無數(shù)的題目，如果沒有及時的反思，大量的題海訓(xùn)練必然導(dǎo)致思維的僵化，數(shù)學(xué)思維不但沒有提高，反而會退步.反思應(yīng)成為解題教學(xué)的重點，只有解題過程中讓學(xué)生反思問題涉及知識點、思想方法以及背景等，才能孕育他們的一些“念頭”的產(chǎn)生.對于學(xué)生的念頭，不能輕易滑過，要引領(lǐng)學(xué)生去探究，順乎自然地去幫助學(xué)生.

3.2 回歸教材探尋問題的“源頭”

教材是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根.面對浩瀚如海的數(shù)學(xué)問題，非常有必要回歸教材尋找問題本源.教材一方面呈現(xiàn)與數(shù)學(xué)問題相關(guān)的概念、定義、定理，另一方面呈現(xiàn)了相關(guān)概念、定義、定理的來龍去脈(知識的生成過程)，這些都是數(shù)學(xué)問題的本源所在.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要重視回歸教材，不是簡單的為了回歸教材而回歸，不應(yīng)流于形式.特別是在解題教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)通過對解題的反思，借助學(xué)生的念頭，充分利用教材相關(guān)資源，探尋問題的“源頭”，將相關(guān)重要知識和思想方法串起來.如案例1中依據(jù)教材的例題，讓學(xué)生理解由伸縮變換可將圓的諸多性質(zhì)拓展到橢圓中，體現(xiàn)知識和諧性，了解了當(dāng)下命制解析幾何試題的重要手法；又如案例2通過挖掘教材中正、余弦定理的向量證法中隱含的向量等式實數(shù)化的方法，使學(xué)生了解到高考中所用的一些解題思想方法并非是無源之水，無本之木，而是來源于教材，從而使學(xué)生更易理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法.

3.3 加強研究方能引領(lǐng)學(xué)生探究

波利亞說過：“教師的首要職責(zé)之一是不要給學(xué)生以下述錯覺：數(shù)學(xué)題目之間很少有聯(lián)系，和任何其他事物則完全沒有什么聯(lián)系.”數(shù)學(xué)問題不會無端地“迸發(fā)”出來，“問渠那得清如許，為有源頭活水來”.因此，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)加強教學(xué)研究，要研究學(xué)生，了解學(xué)情，了解學(xué)生的內(nèi)在需求和可能蔭生的“念頭”；要研究教材，研究教材中概念、定理來龍去脈、生成過程，研究例習(xí)題的典型性、示范性和關(guān)聯(lián)性，或是滲透的某些數(shù)學(xué)方法，或是體現(xiàn)的某種數(shù)學(xué)思想；要研究學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，了解數(shù)學(xué)史料中可借鑒的思想和方法，適時融于教學(xué).教師只有研究了，才能擁有教學(xué)機智，才不會滑過學(xué)生的一些對學(xué)習(xí)有意義的念頭，才不會對學(xué)生的需求置之不理，如案例3中教師沒有簡單地給出正確的解法，而是讓學(xué)生及時回歸教材體會雙曲線的漸近線的觀察與證明過程，體會了數(shù)與形的關(guān)系，培養(yǎng)了由直覺到理性的思維；只有教師研究了，才能高屋建瓴地引領(lǐng)學(xué)生去探究，如案例4中教師及時利用《萊茵德紙草書》的問題發(fā)現(xiàn)了等比數(shù)列求和的歷史之源，優(yōu)化了方法，激發(fā)了學(xué)生的興趣.

4 結(jié)語

新一輪課程改革以培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo).要想從根本上提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，追尋數(shù)學(xué)本源應(yīng)當(dāng)是不可或缺的途徑.而教材是數(shù)學(xué)問題的源泉，回歸教材的過程無論是從知識層面還是思想方法層面對數(shù)學(xué)能力的提升，都起著事半功倍的作用.因而高三解題教學(xué)應(yīng)精心選擇好的素材和試題，重視對解題過程的反思，捕捉學(xué)生的念頭，引領(lǐng)學(xué)生回歸學(xué)習(xí)教材，幫助學(xué)生分析問題的本質(zhì)，激發(fā)高三課堂的活力，提高課堂教學(xué)的效率和品位.