利用幾何圖形建立直觀通過代數(shù)運(yùn)算刻畫規(guī)律
——解析幾何內(nèi)容分析與教學(xué)思考(之二)

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

4 “圓錐曲線”的內(nèi)容和要求

課程標(biāo)準(zhǔn)提出，本單元將在“直線和圓的方程”的基礎(chǔ)上，通過行星運(yùn)行軌道、拋物運(yùn)動軌跡等，使學(xué)生了解圓錐曲線的背景與應(yīng)用；幫助學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中，認(rèn)識橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征，建立它們的標(biāo)準(zhǔn)方程；運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)一步認(rèn)識圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系；運(yùn)用平面解析幾何方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想；提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).本單元的內(nèi)容和要求是：

1.了解圓錐曲線的實際背景，例如，行星運(yùn)行軌道、拋物運(yùn)動軌跡、探照燈的鏡面，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.

2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).

3.了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì).

4.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.

5.了解橢圓、拋物線的簡單應(yīng)用.

另外，課程標(biāo)準(zhǔn)還要求收集、閱讀平面解析幾何的形成與發(fā)展的歷史資料，撰寫小論文，論述平面解析幾何發(fā)展的過程、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻(xiàn).

分析課程標(biāo)準(zhǔn)的上述內(nèi)容和要求，可以得到如下認(rèn)識.

首先，圓錐曲線與客觀世界事物的運(yùn)動規(guī)律、人類生活實際聯(lián)系緊密，本單元的學(xué)習(xí)有堅實的現(xiàn)實背景和應(yīng)用的支撐，教學(xué)中應(yīng)充分利用這些素材，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)圓錐曲線的意義.

第二，本單元的研究對象是圓錐曲線(幾何圖形)，研究過程中，數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法統(tǒng)領(lǐng)全局.因為橢圓、雙曲線、拋物線的研究內(nèi)容、過程和方法是“同構(gòu)”的，所以對每一種圓錐曲線都可以按照“曲線的幾何特征——曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程——通過方程研究曲線的性質(zhì)——應(yīng)用”的過程展開，并把橢圓作為重點(diǎn)，要求學(xué)生通過橢圓的學(xué)習(xí)掌握圓錐曲線的研究架構(gòu)，理解圓錐曲線的研究內(nèi)容、研究過程以及蘊(yùn)含在內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想和基本方法，雙曲線、拋物線的研究通過類比橢圓來完成.

第三，用坐標(biāo)法研究幾何問題，其理論基礎(chǔ)是曲線與方程的關(guān)系(一種充要條件)，這是討論各種具體問題的基礎(chǔ)，也是數(shù)形結(jié)合思想的主要載體.以往的處理方法都是先講“曲線與方程”的理論，再用以研究各種曲線.為了降低抽象程度，同時體現(xiàn)“邊學(xué)邊用”的理念，課程標(biāo)準(zhǔn)刪去了“曲線與方程”的概念，要求在建立圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程后，就著方程的建立過程討論“曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程”、“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”.這樣處理，既不失科學(xué)性，又不讓學(xué)生感到過于抽象，可以使學(xué)生在潛移默化中體驗曲線與方程之間的一一對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步理解通過方程研究曲線性質(zhì)的合理性，使數(shù)形結(jié)合思想融入在具體內(nèi)容中.

第四，圓錐曲線是解析幾何中的核心內(nèi)容，是平面幾何沒有涉及的.用數(shù)形結(jié)合思想研究這些曲線，應(yīng)貫徹“先用幾何眼光觀察與思考，再用坐標(biāo)法解決”的策略.對于每一種圓錐曲線，要加強(qiáng)概念的抽象過程，即要在探索、明確其幾何特征(主要是對稱性)的基礎(chǔ)上，再利用幾何特征建立坐標(biāo)系、求出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后通過方程、運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)一步認(rèn)識圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系.

第五，從幾何角度看，圓錐曲線是平面截圓錐所得的截線，因此三種曲線具有內(nèi)在的緊密聯(lián)系，可以利用離心率給出它們的統(tǒng)一定義.同時，每一種曲線又有各自的“個性特征”，相應(yīng)的“個性定義”就描述了這些個性特征，并且我們可以根據(jù)這些個性特征分別得到其圖形，通過直觀就能發(fā)現(xiàn)每一種圓錐曲線的基本特征——對稱性.因此，如何處理好“個性特征”與“統(tǒng)一定義”之間的關(guān)系，是教材和教學(xué)需要認(rèn)真思考的問題.人教A版以三種曲線的“個性特征”為明線，分別定義三種曲線；同時，以“具體例子+拓展性素材”的方式滲透和明確“統(tǒng)一定義”，并在引出拋物線概念時進(jìn)行適當(dāng)歸納，就體現(xiàn)了這樣的思考.

第六，用代數(shù)方法研究圓錐曲線有一般套路可以遵循：背景——概念——方程——性質(zhì)——應(yīng)用；同時，每一個環(huán)節(jié)也有一定的程序性，這就體現(xiàn)出用坐標(biāo)法研究幾何問題的優(yōu)勢——程序化、機(jī)械化.特別是求曲線的方程，所遵循的一般步驟是：

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P={M|p(M) }；

(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)=0；

(4)化方程f(x，y)=0為最簡形式；

(5)說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.

人教A版沒有明確給出這些步驟，但在求每一種曲線方程的過程中進(jìn)行了滲透，并通過“思考”、“探究”等欄目，讓學(xué)生自己推出不同坐標(biāo)系下的標(biāo)準(zhǔn)方程，以達(dá)到既熟練推導(dǎo)過程又加強(qiáng)代數(shù)運(yùn)算的訓(xùn)練，并使學(xué)生把握標(biāo)準(zhǔn)方程的多樣性表示.

第七，圓錐曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì)的研究，需要發(fā)揮“幾何圖形的性質(zhì)指什么”、“如何利用方程研究幾何圖形的性質(zhì)”、“先直觀感知圖形的性質(zhì)，再用方程進(jìn)行論證”等一般觀念的引領(lǐng)作用，要將坐標(biāo)法具體結(jié)合到幾何性質(zhì)的研究過程中去，這樣才能增強(qiáng)教學(xué)的思想性，從而也就把直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)的培養(yǎng)和理性思維的發(fā)展落在了實處.離心率刻畫了圓錐曲線的扁平程度，通過適當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)學(xué)生將“扁平程度”(形)與確定橢圓的“基本量”(數(shù))聯(lián)系起來，設(shè)法使他們想到用“基本量之比”刻畫“程度”，有利于發(fā)展學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).雖然“漸近線”在函數(shù)中已經(jīng)出現(xiàn)(例如反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象特征)，但雙曲線的漸近線仍然是一個教學(xué)難點(diǎn)，需要通過精心的教學(xué)設(shè)計進(jìn)行化解.例如可以通過從特殊到一般的過程，利用信息技術(shù)增強(qiáng)直觀性和操作性，使學(xué)生體會“漸近”的含義，并利用雙曲線上的點(diǎn)到漸近線的距離隨x(或y)的不斷增大而逐漸減小進(jìn)行推理.

第八，用坐標(biāo)法解決幾何問題，其基礎(chǔ)是利用坐標(biāo)系將點(diǎn)表示為有序數(shù)組，建立起平面內(nèi)點(diǎn)與有序數(shù)組之間的一一對應(yīng)，由此可以將曲線表示為一個方程，幾何問題就歸結(jié)為代數(shù)問題；然后借助于代數(shù)運(yùn)算和邏輯推理，對這些數(shù)、代數(shù)式及方程之間的關(guān)系進(jìn)行討論；最后再把討論的結(jié)果利用坐標(biāo)系翻譯成相應(yīng)的幾何結(jié)論.這就是我們熟悉的三步曲：幾何問題翻譯為代數(shù)問題——代數(shù)運(yùn)算與推理——代數(shù)結(jié)論翻譯為幾何結(jié)論.與圓錐曲線相關(guān)的主要問題是：(1)求有某種幾何特征的曲線方程；(2)根據(jù)曲線的方程，用代數(shù)方法證明(或討論)曲線的幾何性質(zhì)；(3)賦予代數(shù)方程以幾何意義，用幾何方法研究它的代數(shù)性質(zhì)，例如通過方程研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等.這里，問題(1)、(2)是基本的.與圓錐曲線相關(guān)的題目浩如煙海，但讓學(xué)生做太多的題目對他們理解圓錐曲線的特征沒有多大好處，所以圓錐曲線教學(xué)中特別要注意精選題目.人教A版特別注意把圓錐曲線豐富多彩的性質(zhì)選作例題和習(xí)題，不僅使題目的思想內(nèi)涵得到增強(qiáng)，而且通過這些題目加強(qiáng)了知識間的相互聯(lián)系，從而幫助學(xué)生建立對圓錐曲線的整體認(rèn)識.例如，橢圓的例題中，就包含了橢圓與圓的聯(lián)系、定義橢圓的其他方式、橢圓的光學(xué)性質(zhì)等，這些題目的“數(shù)學(xué)含金量”是非常高的，同時這些題目的可拓展性也是很強(qiáng)的.

第九，因為圓錐曲線在現(xiàn)實中有大量的應(yīng)用，特別是圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用，要注意通過這些應(yīng)用落實課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“通過行星運(yùn)行軌道、拋物運(yùn)動軌跡等，使學(xué)生了解圓錐曲線的背景與應(yīng)用”的要求.

第十，動態(tài)幾何軟件在探索圓錐曲線性質(zhì)中可以大顯身手，不僅可以有效地降低學(xué)習(xí)難度，而且能發(fā)現(xiàn)很多性質(zhì)，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，所以要特別注意發(fā)揮信息技術(shù)的作用.人教A版不僅在正文中明確提出利用信息技術(shù)進(jìn)行探究的要求，而且安排了利用信息技術(shù)探究圓錐曲線性質(zhì)的欄目、拓展性材料等.

第十一，人類對圓錐曲線的興趣古已有之，在2000多年前的古希臘時期，阿波羅尼奧斯(Apollonius，約公元前262～前190)的《圓錐曲線論》中就已經(jīng)用綜合幾何的方法得出了現(xiàn)在高中階段涉及的幾乎所有的圓錐曲線性質(zhì)(這從一個側(cè)面說明老師們乃至高考題中“創(chuàng)造”出大量圓錐曲線題目是一件很沒意思的事情，除了給學(xué)生制造不必要的麻煩，別的意義很少).解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上的里程碑，也給圓錐曲線的研究插上了翅膀，解析幾何的發(fā)展中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)文化元素，是高中數(shù)學(xué)課程中提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值認(rèn)識水平的不可多得的好載體.因此，教材和教學(xué)都要重視解析幾何發(fā)展史的這一育人功能.人教A版在本單元安排了“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作 解析幾何的形成與發(fā)展”，要求學(xué)生查閱與解析幾何有關(guān)的文獻(xiàn)，了解解析幾何形成與發(fā)展的過程，以及解析幾何對人類文明的主要貢獻(xiàn)，其目的就是為了體現(xiàn)本單元內(nèi)容在數(shù)學(xué)文化中的特殊作用.

5 “圓錐曲線”的內(nèi)容理解與教學(xué)思考

圓錐曲線是傳統(tǒng)內(nèi)容，對它的改革思路，總體上看是“削支強(qiáng)干”，以“精簡”為基調(diào)，并注重用向量方法進(jìn)行拓展.因此人教A版在編寫本單元教材時，注意吸收以往教科書的優(yōu)點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)在繼承基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新.具體地，在內(nèi)容的選擇上，圍繞圓錐曲線的核心概念，以橢圓、雙曲線、拋物線的主要性質(zhì)及其應(yīng)用為重點(diǎn)，做到削支強(qiáng)干；在結(jié)構(gòu)體系上，強(qiáng)調(diào)知識發(fā)生發(fā)展的邏輯合理性，加強(qiáng)背景和應(yīng)用，從而使學(xué)生在三種曲線的學(xué)習(xí)中經(jīng)歷完整的研究過程；注重按照學(xué)生學(xué)習(xí)心理組織教科書內(nèi)容，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的引導(dǎo)和解題方法的分析，循序漸進(jìn)地提高論理要求；注重坐標(biāo)法思想內(nèi)涵的理解和應(yīng)用，減少機(jī)械套用、死記硬背；注重與平面幾何、函數(shù)等相關(guān)主線的聯(lián)系與綜合，強(qiáng)調(diào)代數(shù)運(yùn)算與邏輯推理的融合，體現(xiàn)解析幾何的學(xué)科特征；注重利用數(shù)學(xué)史料，滲透數(shù)學(xué)文化；等.貫徹“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”思想，通過“觀察”、“思考”、“探究”、“信息技術(shù)應(yīng)用”等欄目，以層層遞進(jìn)、邏輯連貫的“問題串”為載體創(chuàng)設(shè)系列化數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生開展創(chuàng)造性學(xué)習(xí)活動；強(qiáng)調(diào)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采用“歸納式”呈現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生自己歸納和概括數(shù)學(xué)結(jié)論；注意使用“先行組織者”手段，從方法論高度，對如何觀察、發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的幾何特征，如何構(gòu)建研究路徑，如何發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的性質(zhì)，如何用坐標(biāo)法研究幾何問題等加強(qiáng)指導(dǎo)，從而提高教科書的思想性；注重學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累和應(yīng)用，在用坐標(biāo)法研究一個幾何對象的統(tǒng)一思想統(tǒng)領(lǐng)下，以直線與圓的方程的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，從橢圓、雙曲線到拋物線順次展開內(nèi)容，逐漸增強(qiáng)開放性，引導(dǎo)學(xué)生通過類比已有經(jīng)驗展開學(xué)習(xí)活動；等等.以下就幾個主要問題，通過教科書設(shè)計思路的討論，闡釋本單元內(nèi)容的理解與教學(xué)問題.

5.1 如何定義三種圓錐曲線

我們知道，一個數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征可以有多種等價的表現(xiàn)形式，所以數(shù)學(xué)對象的定義是不唯一的.數(shù)學(xué)定義是選擇的結(jié)果.這就帶來一個問題：如何選擇才更有利于后續(xù)研究？對這個問題的回答可能是沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的.事實上，數(shù)學(xué)定義是一代代數(shù)學(xué)家不斷研究、改進(jìn)的結(jié)果，特別是一些處于基礎(chǔ)地位的概念，例如函數(shù)的定義.有時，對一個數(shù)學(xué)對象的不同定義也反映了人們對其本質(zhì)屬性認(rèn)識的不同抽象層次.因為要考慮學(xué)生的可接受性，所以對于教材和教學(xué)而言，不一定是越嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x越好.這樣，就需要思考怎樣的定義才能既反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征，又能與學(xué)生的認(rèn)知水平相適應(yīng).

在阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》中，三種圓錐曲線的定義是基于平面截圓錐的.由平面與圓錐的軸所成角的不同范圍，可將截線區(qū)分為三類，阿波羅尼奧斯將它們分別稱為齊曲線(拋物線)、超曲線(雙曲線的一支)、虧曲線(橢圓).利用相似三角形、圓的有關(guān)性質(zhì)，通過一系列的幾何推理，他分別推出三類曲線的性質(zhì)：

(2)拋物線：y2=px；

得到上述圓錐截線的性質(zhì)后，就不再利用圓錐曲面而直接從這三條性質(zhì)推出其他性質(zhì)，“橢圓上任意一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和為2a”、“橢圓上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比為大于0小于1的常數(shù)”等都可由此推出.[1]

從上所述可見，由平面截圓錐得到三種截線，這是最原始的定義.由這個定義可以容易地區(qū)分截線的類型，但每一種截線的幾何特征卻不明顯.由此出發(fā)推導(dǎo)圓錐曲線的方程，需要用到較多的幾何知識，推理過程比較復(fù)雜，對大多數(shù)學(xué)生而言難度太大，顯然不合適.其他定義實際上都是從這個原始定義推出的性質(zhì).因為“平面內(nèi)，與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓”的幾何特征非常明確，可以與圓的定義相銜接(當(dāng)兩個定點(diǎn)的位置逐漸接近時，橢圓的形狀就逐漸接近圓)，容易作圖，其基本幾何性質(zhì)(對稱性)也易于直觀想象，由此就方便于我們合理地建立直角坐標(biāo)系求出橢圓的方程，而由“距離的和等于常數(shù)”聯(lián)想到“距離的差等于常數(shù)”也是非常自然的，所以一直以來，解析幾何教科書都以此作為橢圓的定義，對稱地把雙曲線定義為“平面內(nèi)，與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線”.

不過，這樣的選擇存在一個缺陷，即與拋物線的定義無法銜接.為了解決這個問題，人教A版在橢圓、雙曲線的內(nèi)容設(shè)置中做了一定的鋪墊：

在“橢圓”一節(jié)設(shè)置例題

和“信息技術(shù)應(yīng)用”欄目

“用信息技術(shù)探究點(diǎn)的軌跡：F是定點(diǎn)，l是不經(jīng)過點(diǎn)F的定直線，動點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離和它到定直線l的距離的比e是小于1的常數(shù).用信息技術(shù)軟件畫出動點(diǎn)M的軌跡，觀察這個軌跡，可以發(fā)現(xiàn)它是一個橢圓.在0

在“雙曲線”一節(jié)設(shè)置例題

和習(xí)題

在“拋物線”的節(jié)引言中先進(jìn)行引導(dǎo)：

“在前面的學(xué)習(xí)中我們發(fā)現(xiàn)：設(shè)動點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與動點(diǎn)M到定直線l的距離的比為常數(shù)k，當(dāng)01時，動點(diǎn)M的軌跡是雙曲線.一個自然的想法是，如果k=1，即動點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等，那么動點(diǎn)M的軌跡是什么形狀？”

然后通過“探究”欄目，讓學(xué)生用信息技術(shù)畫出動點(diǎn)的軌跡，在此基礎(chǔ)上再給出拋物線的定義.

這樣的處理方式，兼顧了三種圓錐曲線的“個性”與“共性”，使概念的引入、定義的給出基本做到了銜接自然、光滑.

5.2 如何認(rèn)識解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)

解析幾何的創(chuàng)建是為了科學(xué)發(fā)展的需要，而從數(shù)學(xué)內(nèi)部看，則是出于對數(shù)學(xué)方法普遍性、統(tǒng)一性的追求.認(rèn)識清楚這一點(diǎn)，對于我們理解解析幾何的基本思想很重要.追溯笛卡爾(Descartes，1596～1650)創(chuàng)立解析幾何的心路歷程，可以明顯看出這種追求.

笛卡爾不僅在數(shù)學(xué)上做出了重要的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)，而且在哲學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)等眾多領(lǐng)域都有杰出貢獻(xiàn).他是機(jī)械自然觀的第一個系統(tǒng)表述者，被譽(yù)為近代哲學(xué)的開創(chuàng)者.他以大哲學(xué)家的眼光審視數(shù)學(xué)，認(rèn)為數(shù)學(xué)立足于公理上的證明是無懈可擊的，而且是任何權(quán)威所不能左右的.數(shù)學(xué)提供了獲得必然結(jié)果以及有效地證明其結(jié)果的方法.數(shù)學(xué)方法“是一個知識工具，比任何其他由于人的作用而得來的知識工具更為有力，因而它是所有其他知識工具的源泉……所有那些目的在于研究順序和度量的科學(xué)，都和數(shù)學(xué)有關(guān).”他研究數(shù)學(xué)，目的是想尋找一種能在一切領(lǐng)域里建立真理的方法.他認(rèn)為，以往的幾何、代數(shù)研究都存在很大缺陷：歐氏幾何中沒有那種普遍適用的證明方法，幾乎每一個證明都需要某種新的、技巧性很強(qiáng)的想法；代數(shù)的方法具有一般性，其推理程序也是機(jī)械化的，但它完全受法則和公式的控制，以至于“成為一種充滿混雜與晦暗、故意用來阻礙思想的藝術(shù)，而不像用來改進(jìn)思想的科學(xué)”.所以，代數(shù)與幾何必須互相取長補(bǔ)短.不過，他推崇代數(shù)的力量，認(rèn)為代數(shù)方法在提供廣泛的方法論方面要高出幾何方法，因此代數(shù)具有作為一種普遍的科學(xué)方法的潛力.于是，他提出了一個計劃，即：

任何問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程求解.

他把精力集中在把代數(shù)方法用于解決幾何問題的研究，其結(jié)果是創(chuàng)立了解析幾何.

笛卡爾的理論建立在兩個觀念的基礎(chǔ)上：坐標(biāo)觀念；利用坐標(biāo)方法把帶有兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成是平面上的一條曲線的觀念.基于坐標(biāo)法思想，給出了一系列新穎的結(jié)論，例如：曲線的次與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)，因此選擇的坐標(biāo)軸要使得方程越簡單越好；在同一坐標(biāo)系內(nèi)寫出兩條不同曲線的方程，解它們的聯(lián)立方程組就求出兩條曲線的交點(diǎn)；用方程的“次”給幾何曲線分類，圓錐曲線的方程是二次的(沒有證明)；等.

總之，笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的原動力是他對普適性方法的追求，“創(chuàng)造一種方法，以便用來解決所有的幾何問題，給出這些問題的所謂一般的解法”的思想指引著他的創(chuàng)新之路，而幾何、代數(shù)和一般變量概念的結(jié)合是坐標(biāo)法的起源，所以解析幾何具有濃厚的“方法論”色彩.了解這一點(diǎn)很重要，因為這能使我們理解為什么在解析幾何的教學(xué)中要把重點(diǎn)放在對坐標(biāo)法的理解和應(yīng)用上，而不是把精力浪費(fèi)在一些復(fù)雜的求曲線方程的代數(shù)變換上.

基于上述分析，我們認(rèn)為，教師要把“解析幾何是一種方法論”作為解析幾何的一個核心定位，而且在教學(xué)中要把如何講好“方法論”作為一個關(guān)鍵問題進(jìn)行思考.事實上，人教A版正是基于這樣的定位對教材內(nèi)容作出安排的：

首先，在章、節(jié)引言及小結(jié)中，用明確的語言表述數(shù)形結(jié)合思想、坐標(biāo)法的內(nèi)涵.例如，本章小結(jié)中明確指出：

用坐標(biāo)法研究幾何問題，首先要注意觀察相應(yīng)幾何圖形的特征，認(rèn)識確定幾何圖形的要素，例如橢圓是平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡，這里“兩個定點(diǎn)”、“距離之和為定長”等就是確定橢圓的幾何要素；然后再用坐標(biāo)法解決，即利用幾何特征合理建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示幾何要素的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，利用方程研究曲線的性質(zhì).可以看到，解析幾何中研究橢圓、雙曲線、拋物線的過程和方法是一致的.這表明，用代數(shù)方法研究幾何問題(如圓錐曲線的性質(zhì))，其處理方法具有統(tǒng)一性.實際上，通過運(yùn)算來發(fā)現(xiàn)幾何圖形的性質(zhì)，不但能迅速地證明曲線的性質(zhì)，而且這種解決問題的方式基本上是程序化的，這是解析幾何的優(yōu)勢所在，是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想威力的典范.……用坐標(biāo)法研究幾何圖形時，代數(shù)式的化簡、方程的變形與等價轉(zhuǎn)化等起著很重要的作用.例如，當(dāng)我們把橢圓的方程化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程后，就能容易地看出橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)等等，發(fā)現(xiàn)長軸、短軸、焦距之間的關(guān)系，并由此得到刻畫橢圓扁平程度的離心率等等.所以，學(xué)習(xí)解析幾何需要較強(qiáng)的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力.

第二，在正文的表述中，隨時隨地強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)法的基本思想，強(qiáng)調(diào)“先用平面幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法解決”的過程，并在“如何以直角坐標(biāo)系為參照，確定問題中的幾何要素”上加強(qiáng)引導(dǎo)，體現(xiàn)“從推理幾何到解析幾何”的過渡.按“直線與圓的方程”小結(jié)中給出的坐標(biāo)法基本步驟呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程、例題的解答過程，強(qiáng)調(diào)用坐標(biāo)法研究問題的規(guī)范，完整地給出利用方程討論圖形的幾何性質(zhì)的示范，并以“三步曲”為指導(dǎo)，在小結(jié)中進(jìn)一步給出用坐標(biāo)法解決圓錐曲線問題的基本思路.

第三，從圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)學(xué)內(nèi)外的各種應(yīng)用問題，引導(dǎo)學(xué)生理解解析幾何的基本思想，體會坐標(biāo)法的力量.為使學(xué)生集中精力于坐標(biāo)法的學(xué)習(xí)，在素材選擇上，人教A版特別關(guān)注了圓錐曲線的性質(zhì)，把那些通過不太復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算就能得出的性質(zhì)及其在現(xiàn)實中的應(yīng)用設(shè)計為例題、習(xí)題.例如，鑒于三種圓錐曲線的定義都是從“距離”間的關(guān)系給出的，在例題中專門設(shè)置了從“角度”間的關(guān)系反映的性質(zhì)：

事實上，把這個題目反過來，就是圓錐曲線的一條性質(zhì)：橢圓、雙曲線上的點(diǎn)(長軸端點(diǎn)除外)與長軸的兩個端點(diǎn)連線所成角是定值.同時，這條性質(zhì)還具有可推廣性，給教學(xué)留下了空間.

另外，與其他單元比較，本單元設(shè)置了更多的拓展性資源，其目的也是為了給學(xué)生提供從不同角度感悟解析幾何思想與方法的機(jī)會.

以上從數(shù)學(xué)的角度討論了本單元內(nèi)容的理解及教學(xué)中應(yīng)關(guān)注的問題，下面再從學(xué)習(xí)心理的角度討論一下本單元的教材內(nèi)容處理和教學(xué)問題.

5.3 根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)心理安排教學(xué)內(nèi)容

與以往比較，在強(qiáng)調(diào)教科書的科學(xué)性、邏輯性、結(jié)構(gòu)性的同時，特別關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，注意按學(xué)生的心理邏輯組織教學(xué)內(nèi)容，這是新人教A版的一個總體特色.本單元內(nèi)容的教材處理注意了如下一些問題.

1.強(qiáng)調(diào)“先行組織者”的使用

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，“先行組織者”有助于學(xué)生形成有意義學(xué)習(xí)的心向，能為學(xué)生提供一個學(xué)習(xí)的整體架構(gòu)，避免學(xué)習(xí)的盲目性，同時也能為新舊知識搭建聯(lián)系通道.前已指出，解析幾何具有“方法論”的學(xué)科特征，在解決具體問題之前明確其結(jié)構(gòu)、方向和主要過程正是“先行組織者”的“強(qiáng)項”.所以，在本單元內(nèi)容的展開過程中，特別是在章節(jié)的開篇、內(nèi)容之間的銜接與過渡等地方，人教A版賦予“先行組織者”以重要地位，特別注重用坐標(biāo)法討論問題這一基本思路的引導(dǎo).實際上，這既是解析幾何思想的教學(xué)，又是一種思維策略的教學(xué)，對于學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本思想、積累基本活動經(jīng)驗，增加發(fā)現(xiàn)和提出問題的可能性，以及培養(yǎng)理性思維等都能起到非常重要的作用.

2.循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想

我們知道，坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)動變化思想(以靜制動、以動御靜)等都是數(shù)學(xué)中關(guān)于“怎么想”、“怎么做”的知識，屬“默會知識”范疇.這種知識的掌握，更多地依賴于實踐中的體悟，需要有一個“滲透——明確——應(yīng)用”的過程.因此，本單元在“直線與圓的方程”中明確坐標(biāo)法思想、提供用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的示范并進(jìn)行適當(dāng)訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步明確了坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合思想，并加強(qiáng)了用坐標(biāo)法解決綜合性問題的訓(xùn)練，使學(xué)生在實踐中加深理解，逐步養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合地思考和解決問題的思維習(xí)慣.

3.用“歸納式”呈現(xiàn)內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念抽象過程

針對一些較為抽象的概念，人教A版特別注意從簡單到復(fù)雜、從單一到綜合地組織內(nèi)容，按照從具體到抽象、從特殊到一般的方式，給學(xué)生提供歸納、概括的機(jī)會.例如，對“曲線的方程”、“方程的曲線”概念的處理，雖然它在培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性方面都是很好的載體，但這也是一個不容易把握的概念，沒有足夠的知識準(zhǔn)備，不僅會導(dǎo)致學(xué)生理解的困難，還會使他們產(chǎn)生“為什么要這樣來要求”的疑問.因此，教科書根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，在圓錐曲線方程的推導(dǎo)中，繼續(xù)采取“結(jié)合具體曲線呈現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容”的方式，最后再在本章小結(jié)中對“曲線與方程的關(guān)系”進(jìn)行歸納，并指出“利用坐標(biāo)系建立曲線與方程的這種關(guān)系，是解析幾何的基礎(chǔ)，在今后的學(xué)習(xí)中可以進(jìn)一步體會到”.

5.4 設(shè)計系列化的數(shù)學(xué)活動引導(dǎo)學(xué)生開展有結(jié)構(gòu)有邏輯的系統(tǒng)學(xué)習(xí)

以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生以獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多樣化的方式開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念.為此，人教A版強(qiáng)調(diào)構(gòu)建系列化數(shù)學(xué)活動，注重創(chuàng)設(shè)與學(xué)生的現(xiàn)實緊密關(guān)聯(lián)的真實問題情境，引導(dǎo)學(xué)生開展體驗學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、建構(gòu)學(xué)習(xí)，通過有結(jié)構(gòu)、有邏輯的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)科觀念、數(shù)學(xué)思維方式和探究技能，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識和技能的持續(xù)結(jié)構(gòu)化，使學(xué)生的理性思維不斷走向成熟.系列化的數(shù)學(xué)活動涵蓋了通過數(shù)學(xué)抽象獲得研究對象，構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對象的基本路徑，發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的數(shù)學(xué)問題，探尋解決問題的數(shù)學(xué)方法，獲得有價值的數(shù)學(xué)結(jié)論，直至建立數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實問題，這是在通盤考慮課程內(nèi)容基礎(chǔ)上作出的設(shè)計.

在本單元的數(shù)學(xué)活動設(shè)計中，人教A版根據(jù)圓錐曲線的內(nèi)容特點(diǎn)，首先注意發(fā)揮“史料”的作用，從整體上提出圓錐曲線的產(chǎn)生以及所要研究的問題.如前所述，解析幾何的發(fā)明既是為了解決人類實踐活動中提出的問題，又是為了探尋科學(xué)研究的普適性方法.教科書以歷史資料為素材，以用坐標(biāo)法研究幾何圖形的過程與方法為導(dǎo)向，從宏觀上提出系列問題，引導(dǎo)學(xué)生感受坐標(biāo)法.這樣的處理對學(xué)生把握解析幾何的基本思想和學(xué)習(xí)方向很有好處，這是教師在分析和理解教科書編寫意圖時需要關(guān)注的一個問題.

在每一種圓錐曲線的研究中，人教A版從節(jié)引言開始，通過“觀察”、“思考”、“探究”等欄目，根據(jù)知識的發(fā)生發(fā)展需要提出層層遞進(jìn)的問題，從而形成環(huán)環(huán)相扣的系列化數(shù)學(xué)活動.這些問題是學(xué)生在學(xué)習(xí)具體內(nèi)容時普遍都會遇到的，教科書通過它們來引導(dǎo)學(xué)生的思考方向，為學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究構(gòu)建平臺.例如，在“橢圓”一節(jié)中，教科書按知識的發(fā)展過程順次提出了如下問題：

(1)節(jié)引言以“橢圓到底有怎樣的幾何特征？我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)？”從宏觀上提出問題，給出研究目標(biāo).

(2)在引入橢圓概念時，以“探究：移動的筆尖(動點(diǎn))滿足的幾何條件是什么？”引導(dǎo)學(xué)生探究橢圓的幾何特征，為抽象橢圓概念、展開后續(xù)內(nèi)容做好必要準(zhǔn)備.

圖3.1-3

(3)以“思考：觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡單？”引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用橢圓的幾何特征(主要是對稱性)合理建立坐標(biāo)系.

(5)以“思考：如果焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，且F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(0，-c)，(0，c)，a，b的意義同上，那么橢圓的方程是什么？”引導(dǎo)學(xué)生通過類比，自主推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上時的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(6)以“先用幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法解決”為指導(dǎo)，以“與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質(zhì)一樣，我們利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點(diǎn)等”為導(dǎo)入語，設(shè)置“觀察”欄目，提出問題“觀察橢圓的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對稱性？橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊？”從整體上明確橢圓性質(zhì)的主要研究內(nèi)容，再以系列化的欄目引導(dǎo)學(xué)生具體探究性質(zhì)：

①探究：觀察橢圓的形狀，可以發(fā)現(xiàn)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.如何利用橢圓的方程描述橢圓的對稱性？

③思考：不同形狀的橢圓的扁平程度不同，相同形狀的橢圓的扁平程度相同.扁平程度是橢圓的重要形狀特征，你能用適當(dāng)?shù)牧慷靠坍嫏E圓的扁平程度嗎？

教科書以上述系列化情境與問題為載體，構(gòu)建了“分析背景——探索幾何特征——選擇坐標(biāo)系、建立標(biāo)準(zhǔn)方程——探索不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程——通過方程研究幾何性質(zhì)”的系列化數(shù)學(xué)活動.

這里順便指出，討論橢圓的性質(zhì)要注重從概念到性質(zhì)的過程，要引導(dǎo)學(xué)生利用確定橢圓的要素研究和表達(dá)橢圓的性質(zhì).例如，有的老師刻意引導(dǎo)學(xué)生用多樣化的方式刻畫離心率，認(rèn)為這樣可以拓展學(xué)生的思路，我們認(rèn)為這是沒有必要的.

5.5 加強(qiáng)背景和應(yīng)用，完善學(xué)習(xí)過程

我國數(shù)學(xué)教學(xué)有以練習(xí)促理解、以技能訓(xùn)練代替思維訓(xùn)練的習(xí)慣，解析幾何教學(xué)也以解答大量題目為主，這是一種“掐頭去尾燒中段”的做法，對學(xué)生形成全面的數(shù)學(xué)理解沒有好處.解析幾何是一門“方法論”色彩濃厚的學(xué)科，應(yīng)當(dāng)以“用坐標(biāo)法研究問題”為主線，以讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想為主要任務(wù)，僅靠做題目是無法達(dá)成這一目標(biāo)的.為此，加強(qiáng)背景和應(yīng)用，使學(xué)生經(jīng)歷完整的用坐標(biāo)法解決問題的過程，變“掐頭去尾燒中段”為“接頭續(xù)尾燒全魚”，是解析幾何教學(xué)中必須予以充分重視的問題.人教A版在這方面加強(qiáng)了引導(dǎo).

1.加強(qiáng)對圖形的幾何特征的分析

完整的坐標(biāo)法是在清晰地描述圖形的幾何特征(圖形的要素及其基本關(guān)系)、搞清楚要解決的問題是什么的基礎(chǔ)上，再進(jìn)入建立直角坐標(biāo)系、求方程及利用方程討論圖形性質(zhì)等環(huán)節(jié).實際上這是“先用幾何眼光觀察”的體現(xiàn)，在建立幾何直觀的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行代數(shù)表達(dá)與運(yùn)算、推理，可以提高運(yùn)算效率，這也是化解解析幾何學(xué)習(xí)中運(yùn)算、代數(shù)推理難點(diǎn)的舉措.

2.加大用數(shù)形結(jié)合思想分析問題的力度

從簡潔性考慮，以往的教科書往往直接呈現(xiàn)邏輯過程，這是一種思考的“結(jié)果”，而對“為什么這樣思考”則需要學(xué)生自己去體會，但這對學(xué)生而言是比較困難的.為此，人教A版特別加強(qiáng)了用數(shù)形結(jié)合思想分析問題的環(huán)節(jié)，既展示了過程，又體現(xiàn)了對學(xué)生思維的引導(dǎo).

例如，在“3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)”中專門安排了例4、例5，通過這兩個例題，一方面讓學(xué)生體會如何利用圓錐曲線的定義和性質(zhì)去研究相關(guān)圖形的性質(zhì)、解決問題；另一方面，通過不同解法的比較，使學(xué)生體會坐標(biāo)法中的運(yùn)算所具有的特點(diǎn)：先分析清楚研究對象的幾何特征，將幾何元素及其關(guān)系代數(shù)化，在運(yùn)算過程中還要充分利用相應(yīng)的幾何特性以簡化運(yùn)算.通過這樣的示例，使學(xué)生逐步建立如下觀念：用坐標(biāo)法解決問題，建立在幾何直觀基礎(chǔ)上的運(yùn)算是有效解題的關(guān)鍵，這里的運(yùn)算具有“數(shù)形結(jié)合”的特征，而不僅僅是代數(shù)運(yùn)算.

5.6 體現(xiàn)單元教學(xué)設(shè)計思想

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是當(dāng)前數(shù)學(xué)課程改革的核心目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中立德樹人的抓手.那么，一個基于核心素養(yǎng)的教學(xué)到底應(yīng)包括哪些要素呢？

首先，從教學(xué)目標(biāo)看，應(yīng)以發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo)導(dǎo)向，使學(xué)生在掌握知識與技能的同時，體悟知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，積累數(shù)學(xué)地思考和解決問題的經(jīng)驗，發(fā)展理性思維.

其次，實現(xiàn)上述目標(biāo)，有賴于高水平的教學(xué)活動設(shè)計，要根據(jù)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，設(shè)計教學(xué)情境(生活情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境等)并提出數(shù)學(xué)問題，用以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，開展獨(dú)立思考、自主探究、合作交流等學(xué)習(xí)活動.

第三，高水平的教學(xué)設(shè)計，有賴于教師“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)”的水平.把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，了解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程，懂得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理，是設(shè)計高質(zhì)量數(shù)學(xué)教學(xué)活動的前提.

顯然，圍繞碎片化的知識點(diǎn)，以“知識點(diǎn)講解+例題+練習(xí)”的方式設(shè)計教學(xué)活動，已經(jīng)無法承載數(shù)學(xué)基本思想和基本活動經(jīng)驗教學(xué)的重任，對“四能”的提高不利，對核心素養(yǎng)發(fā)展更不利.總之，這樣的教學(xué)是無法實現(xiàn)核心素養(yǎng)教學(xué)目標(biāo)的，“知識點(diǎn)教學(xué)”這一舊習(xí)必須破除.為了幫助教師提升“三個理解”的水平，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“教材編寫應(yīng)體現(xiàn)整體性”，“要便于教師把握知識本質(zhì)，駕馭課程內(nèi)容；要便于教師把握知識結(jié)構(gòu)，統(tǒng)籌教學(xué)安排；要便于教師教學(xué)設(shè)計，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境、提出合適問題、有效組織教學(xué)；要為教師自主選擇、增補(bǔ)和調(diào)整教學(xué)內(nèi)容預(yù)留必要空間”等要求，人教A版特別注意引導(dǎo)教師在整體把握圓錐曲線內(nèi)容的基礎(chǔ)上，展開教學(xué)活動的整體設(shè)計.教科書將圓錐曲線內(nèi)容分為三個單元，以每一種圓錐曲線的幾何特征、方程、性質(zhì)和應(yīng)用為明線，以坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合思想為暗線，以邏輯連貫、環(huán)環(huán)相扣的“問題串”為腳手架，設(shè)計系列化的數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生充分調(diào)動已有經(jīng)驗展開探究性學(xué)習(xí).這是一種以單元整體設(shè)計思想為指導(dǎo)的設(shè)計思路，可以比較好地實現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的要求.

具體地，在“橢圓”一節(jié)中，如前所述，教科書用前后連貫、循序漸進(jìn)的十多個問題組成“問題串”，將內(nèi)容連成一體，引導(dǎo)學(xué)生有邏輯地展開學(xué)習(xí)與探究.這些問題既有針對整體思路的，也有針對具體內(nèi)容的；既有針對思想方法、研究策略的，也有操作性的、針對特例或細(xì)節(jié)的.它們是以橢圓知識的內(nèi)在邏輯為依據(jù)而設(shè)置的、自然而然的學(xué)習(xí)主線，解決了這些問題就可以形成思想內(nèi)涵豐富的“橢圓與方程”知識體系.在“問題串”的引導(dǎo)下，學(xué)生可以完整地經(jīng)歷如下過程：

通過具體情境(如行星運(yùn)行軌道)，了解橢圓的背景與應(yīng)用；

結(jié)合情境、通過動手操作清晰地描述圖形的幾何特征與問題，即橢圓是到兩個定點(diǎn)的距離之和為定長的動點(diǎn)的軌跡；

結(jié)合幾何特征合理地建立坐標(biāo)系，用代數(shù)語言描述這些特征與問題；

借助幾何圖形的特點(diǎn)，形成研究橢圓性質(zhì)的思路，利用方程，并通過直觀想象和代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果；

給出代數(shù)結(jié)果的幾何解釋，解決問題.

顯然，教師只要按照教科書給出的上述過程設(shè)計與實施教學(xué)，就可以引導(dǎo)學(xué)生展開結(jié)構(gòu)化的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，建立清晰、穩(wěn)定和可利用的“橢圓與方程”的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

雙曲線、拋物線兩節(jié)內(nèi)容與橢圓同構(gòu)，所以設(shè)計思路完全一致.如果橢圓的基礎(chǔ)扎實，那么就可以讓學(xué)生通過類比橢圓的研究過程自主學(xué)習(xí)雙曲線和拋物線，只要在雙曲線的漸近線、拋物線的背景和定義等難點(diǎn)上適當(dāng)啟發(fā)指導(dǎo)即可.

5.7 發(fā)揮信息技術(shù)的作用，為幾何直觀提供方便

解析幾何是形數(shù)結(jié)合的學(xué)科，“通過幾何建立直觀，通過代數(shù)予以表達(dá)”是其基本理念[3].在圓錐曲線的研究中，對它們的幾何特征的直觀認(rèn)識是第一步，但要畫出這三種曲線以及相關(guān)的圖形并非易事.所以，人教A版根據(jù)本單元內(nèi)容的特點(diǎn)，較充分地發(fā)揮信息技術(shù)的作用，注意利用動態(tài)幾何軟件，既為作圖提供方便，又向?qū)W生展示動點(diǎn)的運(yùn)動變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生觀察方程中參數(shù)的變化對方程所表示的曲線形狀、大小的影響，并通過信息技術(shù)軟件探究圖形之間的關(guān)系.例如，研究橢圓的離心率、雙曲線和拋物線的定義、雙曲線的漸近線等都利用了信息技術(shù)軟件的優(yōu)勢，讓學(xué)生在獲得充分的直觀認(rèn)識基礎(chǔ)上，再進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算得出結(jié)果.

6 “圓錐曲線”教學(xué)的幾點(diǎn)建議

6.1 以坐標(biāo)法為核心和紐帶

在本單元教學(xué)中，只有體現(xiàn)好解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)，抓住它的核心，才能真正發(fā)揮它的育人作用，達(dá)成它的教學(xué)目標(biāo).圓錐曲線的內(nèi)容非常豐富，教材中只是最基礎(chǔ)的、最簡單的部分，但其中蘊(yùn)含的思想具有一般意義.因此，應(yīng)以圓錐曲線與方程為載體，圍繞用坐標(biāo)法解決幾何問題展開教學(xué).

坐標(biāo)法是數(shù)形結(jié)合思想的完美體現(xiàn).面臨具體問題，用數(shù)形結(jié)合的眼光去看，從幾何、代數(shù)的不同角度去分析，就使我們對問題的條件、結(jié)論以及它們的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化方式有了多角度的理解，從而也就可以使條件、結(jié)論得到不同形式的表達(dá)，形成多樣化的解題方法，使得幾何直觀、代數(shù)推理綜合地發(fā)揮作用，這就是解析幾何中解決問題的方法總是不唯一，且有方法的難易、代數(shù)運(yùn)算的繁簡之分的原因.事實上，用坐標(biāo)法解決問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合地看問題，探尋簡潔的解題方法并深入思考其原因，就是在解析幾何中發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的關(guān)鍵舉措.

6.2 重視對研究對象幾何特征的分析

解析幾何是“以代數(shù)方法研究幾何問題”，但教學(xué)中要注意代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀的相互為用.因為研究對象是幾何圖形，所以把握所研究對象的幾何特征、明確面臨的幾何問題，這是首要的一步，然后才是用代數(shù)方法研究之.所以，教學(xué)中一定要注意“先用幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法推理、論證和求解”的基本思路，不要忽視“幾何要素的分析”這一環(huán).實際上就是要處理好“代數(shù)求解”與“幾何直觀”之間的關(guān)系.如果只把注意力集中在代數(shù)角度研究，雖然能達(dá)到細(xì)致入微的境界，但沒有直觀形象的支撐，最后還是不能很好地把握幾何性質(zhì).所以，教學(xué)中適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行“代數(shù)關(guān)系的幾何意義”的訓(xùn)練也是很有必要的.

下表給出了中學(xué)平面解析幾何中的主要對象和問題：

基本圖形點(diǎn),直線,圓,橢圓,雙曲線,拋物線特征量距離,斜率,半徑,長、短軸,實、虛軸,焦距,離心率,焦半徑等位置關(guān)系平行,垂直,相交,相切等度量和計算長度,角度,面積研究的主要問題直線、圓、圓錐曲線的方程及其幾何性質(zhì),位置關(guān)系,圖形在運(yùn)動變化中的不變性、不變量等

6.3 使學(xué)生正確理解解析幾何中的運(yùn)算

解析幾何對運(yùn)算能力的要求頗高.對學(xué)生而言，代數(shù)運(yùn)算是主要攔路虎之一.解題過程中，許多學(xué)生都是因為不能順利完成代數(shù)運(yùn)算而導(dǎo)致失敗.鑒于當(dāng)前學(xué)生運(yùn)算技能水平不高的實際狀況，為了使學(xué)生更好地把握坐標(biāo)法的基本思想，控制代數(shù)運(yùn)算的難度和技巧是必須的.但必要的運(yùn)算是不可避免的，這是由解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)決定的.關(guān)鍵是要把握解析幾何中運(yùn)算的特點(diǎn).解析幾何中的運(yùn)算是建立在幾何背景下的代數(shù)運(yùn)算，所以先用幾何眼光觀察，分析清楚幾何圖形的要素及其基本關(guān)系，再用代數(shù)語言表達(dá)，而且在運(yùn)算過程中時刻注意利用圖形的幾何特征及圖形間的關(guān)系來簡化運(yùn)算，這是解析幾何教學(xué)中突破運(yùn)算難點(diǎn)的關(guān)鍵舉措.解析幾何教學(xué)中，提高運(yùn)算能力不能僅僅從代數(shù)角度入手，還要努力提高學(xué)生的幾何圖形分析能力，也就是要在落實數(shù)形結(jié)合思想上下功夫.

6.4 注意用好教科書中的例題、習(xí)題

從當(dāng)前教學(xué)實際看，各種教輔資料中充斥著大量解析幾何題，諸如單動點(diǎn)軌跡問題、雙動點(diǎn)軌跡問題、多動點(diǎn)軌跡問題，圓錐曲線中參數(shù)的取值范圍問題、最值問題、定值問題、對稱問題、存在性問題……這些題目的解答往往需要一些特定技巧，需要學(xué)生投入大量時間和精力，但對理解圓錐曲線的定義與性質(zhì)卻起不了多大作用.這種現(xiàn)狀需要改變.

教科書中的例題與習(xí)題，其選編的原則是幫助學(xué)生深入理解圓錐曲線的幾何特征，熟練運(yùn)用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系，并能解決有一定綜合性的問題，通過解題感悟解析幾何中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.具體的題目主要是研究圓錐曲線的性質(zhì).教學(xué)中應(yīng)注意這些題目的教學(xué)功能，使學(xué)生認(rèn)識到認(rèn)真解答這些題目的重要性，必要時可以對有關(guān)題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪酵卣?

6.5 注意循序漸進(jìn)地提高綜合和聯(lián)系的要求

解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)就在于它的綜合性，但對學(xué)生而言，綜合解決問題的能力需要逐步培養(yǎng).有些問題，雖然所需要的基礎(chǔ)知識學(xué)生都具備，但由于綜合與聯(lián)系會極大地提高問題的復(fù)雜程度、抽象層次，需要綜合運(yùn)用各種思想方法，伴隨著的是對學(xué)生思維能力的高要求，因此這樣的問題也不能過早出現(xiàn).同時，要注意正確理解“綜合與聯(lián)系”的含義，通過知識點(diǎn)的疊加、加大題目的難度并不是日常教學(xué)所需要的，綜合與聯(lián)系的目光要聚焦在核心概念上，目的在于促使學(xué)生從整體上更好地把握圓錐曲線.

例如，在本單元的小結(jié)教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生針對圓錐曲線的統(tǒng)一、整體認(rèn)識展開綜合研究：

我們知道，“運(yùn)算”是代數(shù)的核心概念，“距離”、“角度”是幾何的核心概念，“斜率”是幾何概念代數(shù)化的結(jié)果，是解析幾何的核心概念……前面分別研究了橢圓、雙曲線、拋物線，獲得了許多結(jié)論，初步學(xué)會了用坐標(biāo)法研究幾何問題.在“個別研究”的基礎(chǔ)上，如果把這些曲線的定義放到一起，從這幾個關(guān)鍵詞出發(fā)考察它們的共性，會不會有所發(fā)現(xiàn)？

橢圓：到兩個定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；

雙曲線：到兩個定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；

拋物線：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡；

統(tǒng)一定義：動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.

可以發(fā)現(xiàn)，它們都是以幾何基本元素(點(diǎn)、直線)的相互關(guān)系為考察對象，以“距離”為紐帶，以“運(yùn)算”為方法，通過“運(yùn)算中的不變性”發(fā)現(xiàn)各種圓錐曲線的幾何特征，給出定義.

我們知道，定義揭示了概念的內(nèi)涵，給出了數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性，是數(shù)學(xué)對象基本性質(zhì)的反映.類似的，能否以“角度”換“距離”，通過“運(yùn)算”發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？

平面幾何中有“直徑上的圓周角是直角”，稍作改造就能得到如下結(jié)論：

類似的可以得到雙曲線的同樣結(jié)論.

根據(jù)圓錐曲線的方程，a，b，c，p，e等是決定圓錐曲線性質(zhì)的關(guān)鍵量.圓錐曲線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、軸、準(zhǔn)線、弦及其中點(diǎn)、切線、焦距、長(短)軸的長、焦半徑、面積、內(nèi)接圖形(特別是內(nèi)接三角形、內(nèi)接矩形等)、角(與焦點(diǎn)、中心等相關(guān))等以及它們之間的相互關(guān)系，都可以用這些不變量來表示.對此展開一番研究，能極大地提升學(xué)生對圓錐曲線的認(rèn)識水平，這比盲目地做一大堆沒有什么主題、雜亂無章的題目要好得多.

總之，解析幾何的教學(xué)一定要注重綜合性，以單元整體教學(xué)幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的整體性，這是由解析幾何的內(nèi)容特征所決定的.以上的教學(xué)思路，先是把握圓錐曲線的基本要素、不變量，再從“相互關(guān)系”、“相互轉(zhuǎn)化”等角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、獲得性質(zhì)，然后通過邏輯推理證明其正確性.在發(fā)現(xiàn)曲線性質(zhì)的過程中，運(yùn)算、距離、角度、斜率、不變量等核心概念提供了基本思路和方法.這樣的教學(xué)比較準(zhǔn)確地體現(xiàn)了圓錐曲線的整體性，以數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法為核心，圍繞“以圓錐曲線的不變量表示幾何元素或幾何關(guān)系”這個主題，將直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有機(jī)融入于內(nèi)容之中，構(gòu)建了一個邏輯連貫的持續(xù)探索過程，引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，通過代數(shù)運(yùn)算得出圖形的各種各樣性質(zhì)，不僅把“四基”、“四能”落實到位，而且滲透了學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，可以有效地幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，包括理解概念、把握本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合、明晰算理，厘清知識的來龍去脈，建立知識之間的關(guān)聯(lián)等等，從而為學(xué)生鋪設(shè)了一條發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的康莊大道.