略談高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性問題

梁曉玲

摘要：日新月異的社會在不斷地進(jìn)步。隨著時間的發(fā)展，國家對于教學(xué)的要求也越來越高，所以對于開展高中數(shù)學(xué)的課程也尤為重要。從課程開展以來，高中數(shù)學(xué)的相關(guān)教學(xué)也在不斷地發(fā)展，相應(yīng)的教學(xué)方式和教學(xué)方法也越來越得到人們的重視，所以在教學(xué)過程中提高教學(xué)能力和教學(xué)技巧至關(guān)重要。本文對函數(shù)單調(diào)性的問題進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；單調(diào)性

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2021）16-0121

一、為什么要學(xué)習(xí)函數(shù)

通過初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我們學(xué)過的函數(shù)有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)。這些函數(shù)都是與相關(guān)的變量有關(guān)，例如在一個變化過程中，x是有一個相應(yīng)的范圍，而函數(shù)也有對應(yīng)的每一個值y，y數(shù)值與x數(shù)值存在著某種數(shù)量關(guān)系，那么就稱y為x的函數(shù)，在函數(shù)過程中x稱為自變量，y稱為因變量。如果將其延伸到高中數(shù)學(xué)，那么就涉及集合問題。設(shè)A，B是非空的集合，如果按某種數(shù)量關(guān)系，使在集合A中的任意一個數(shù)值，在集合B中都有它唯一的數(shù)值和其對應(yīng)，那么就稱：A、B為從集合A到集合B的函數(shù)，記作函數(shù)y=f（x），其中x叫自變量，（x的取值范圍A，叫作函數(shù)y=f（x）的定義域）。學(xué)習(xí)相關(guān)的函數(shù)，我們可以從其中找到對應(yīng)關(guān)系來總結(jié)相應(yīng)的規(guī)律，就可以運用在解題方面，將題目中的文字轉(zhuǎn)化成數(shù)字的整合，進(jìn)而將題目的信息套進(jìn)去，再者可以根據(jù)信息求出題目的答案。還有一些題目也是可以通過已知的函數(shù)，進(jìn)行構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，畫出相應(yīng)的圖形或者坐標(biāo)，根據(jù)圖形或者坐標(biāo)的走勢在圖中尋找解題的突破點。而且在我們的日常生活中，比如關(guān)于去商店購物，那么要進(jìn)行大批量的采購時，如何能夠準(zhǔn)確，而且又經(jīng)濟(jì)、劃算地采購，可以通過構(gòu)建函數(shù)來找到其中的最值問題，為我們的生活提供便利以及解決問題的方案?？梢?，學(xué)習(xí)函數(shù)是很有必要的。

二、在高中數(shù)學(xué)課堂中解決函數(shù)單調(diào)性問題最常用的方法

1.從概念出發(fā)解決

在學(xué)習(xí)函數(shù)中最重要的性質(zhì)之一就是單調(diào)性，它在高中數(shù)學(xué)中有許多相關(guān)的應(yīng)用。比如，我們常用的就是根據(jù)求函數(shù)單調(diào)性的方法來求整個函數(shù)變化趨勢及它的值域范圍，如果想解決函數(shù)單調(diào)性的問題，首先可以考慮從概念出發(fā)，對于函數(shù)f（x）的定義域，如果是在某個定義域范圍，有兩個任意的值x1、x2，當(dāng)x1小于x2時，函數(shù)f（x1）的值小于函數(shù)f（x2）的值，則說明這個函數(shù)在這個定義域范圍內(nèi)屬于遞增函數(shù)；當(dāng)x1小于x2時，函數(shù)f（x1）的值大于函數(shù)f（x2）的值，則說明這個函數(shù)在這個定義域范圍內(nèi)是屬于遞減函數(shù)。根據(jù)其具體的概念，我們可以在題目所設(shè)定的定義域中，假設(shè)兩個固定的值，并通過套相應(yīng)的函數(shù)去比對它們之間的差值。如果符合函數(shù)逐漸增大，也就是大于零，則說明是增函數(shù)，如果是小于零，則說明是減函數(shù)。

2.根據(jù)性質(zhì)來判斷

利用生物學(xué)上薩頓的類比推理法的原理，得出函數(shù)的性質(zhì)，在初中學(xué)習(xí)的時候，我們都知道基本初等函數(shù)有單調(diào)性，高中的函數(shù)也具有單調(diào)性，基本函數(shù)是單調(diào)遞增或者單調(diào)遞減，復(fù)雜函數(shù)可能是間斷性的變化，根據(jù)這一性質(zhì)我們可以用同類相比的方式進(jìn)行解題，用數(shù)學(xué)運算的方式進(jìn)行比較，例如有兩個函數(shù)f（x）、g（x），f（x）、g（x）都是屬于增函數(shù)，將其進(jìn)行簡單的加減乘除運算，最終得出結(jié)果，那么將這兩個函數(shù)相加起來即f（x）+g（x），也是屬于增函數(shù)，還可以用這兩個函數(shù)進(jìn)行相乘即f（x）×g（x），如果兩者相乘恒大于零，說明它就是遞增函數(shù)，而當(dāng)兩者相乘小于零則是遞減函數(shù)。

3.同號為增函數(shù)，異號為減函數(shù)

學(xué)科之間有內(nèi)容是可以互通的，比如在物理學(xué)上關(guān)于磁鐵同性相斥異性相吸，根據(jù)其原理，我們可以猜測在函數(shù)中同號為增函數(shù)，異號為減函數(shù)，這個方法適合處理一些復(fù)合型的函數(shù)——單調(diào)性的問題，因為在復(fù)合函數(shù)y= f [g（x）]中，可以轉(zhuǎn)換成兩個函數(shù)進(jìn)行求解，是因為涉及還有一些內(nèi)含函數(shù)的值域相關(guān)問題，我們可以將其中的函數(shù)設(shè)為一個值，那這個函數(shù)就可以把它寫成，令t=g（x），將其轉(zhuǎn)換則y= f（t）。根據(jù)設(shè)定的函數(shù)，我們可以由其中的兩個函數(shù)的單調(diào)性來判斷，如果有兩個函數(shù)的單調(diào)性相同，那么復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是增函數(shù)，如果有兩個函數(shù)的單調(diào)性不同，那么復(fù)合函數(shù)則為減函數(shù)。但是首先要知道內(nèi)含函數(shù)的單調(diào)性，才能知道復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。其實就是轉(zhuǎn)換成求內(nèi)含函數(shù)的單調(diào)性。

4.構(gòu)建模型

近幾年的高考中，很多學(xué)科都涉及建模的方向，通過模型的構(gòu)建其實是比較直觀的表述，讓學(xué)生能在思維上得以提升，是一種極其形象的方法。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，關(guān)于模型的構(gòu)建及利用是非常廣泛的。利用模型，可以非常直觀地描繪出函數(shù)的變化趨勢，進(jìn)而判斷它在某一個區(qū)間的單調(diào)性。比如，當(dāng)某個函數(shù)在大于零的情況下，它的定義是什么樣的？當(dāng)它的值小于零的情況下，定義又是怎樣的？這樣，它的單調(diào)區(qū)間就可以把兩種情況整合在一起，得出相應(yīng)的答案。

5.利用導(dǎo)數(shù)求值

關(guān)于利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，其實在高考中的應(yīng)用是非常普遍的。因為用導(dǎo)數(shù)來求最值是最直接、最快速的一種方式，首先我們必須要理清楚函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。例如在某個區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，那么這個函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)就是單調(diào)遞增，如果該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零，那么該函數(shù)在這個區(qū)間就是單調(diào)遞減。所以，求單調(diào)區(qū)間問題就轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)求其導(dǎo)數(shù)，根據(jù)上述的判斷方法，進(jìn)一步利用其導(dǎo)數(shù)大于零，求其遞增區(qū)間或者利用其導(dǎo)數(shù)小于零，求遞減區(qū)間。

三、總結(jié)

總而言之，上述講的五種方式都各有其優(yōu)勢，也能夠從本質(zhì)上來解決問題。所以，關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的問題，有不同的方法來進(jìn)行解答，也可以通過學(xué)生在不斷的訓(xùn)練過程中掌握并找到適合自己的方法，進(jìn)一步解決數(shù)學(xué)問題。

（作者單位：廣西北海市鐵山港區(qū)南康中學(xué)536000）