高中新教材背景下的三角函數(shù)性質(zhì)教學(xué)實(shí)踐與思考

摘 要：人教版高中數(shù)學(xué)新教材在編寫(xiě)理念、教材結(jié)構(gòu)、知識(shí)內(nèi)容編排、例題設(shè)置和習(xí)題設(shè)置五個(gè)方面具有特色。在教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)充分研究新教材調(diào)整內(nèi)容，有效用好教材當(dāng)中的“思考”和“探究與發(fā)現(xiàn)”，挖掘其數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)內(nèi)涵，合理整合教材，設(shè)置有思維價(jià)值的延伸探究題，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立自主地開(kāi)展思維活動(dòng)，并通過(guò)交流討論，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：新教材;教學(xué)內(nèi)容整合;探究學(xué)習(xí);核心素養(yǎng)

一、三角函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容改變

筆者在人民教育出版社2019A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章《三角函數(shù)》中的《5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》發(fā)現(xiàn)，與舊教材相比，在學(xué)習(xí)完周期性概念后，新教材直接到了奇偶性的學(xué)習(xí)，在完成例題和課后習(xí)題之后，出現(xiàn)了和舊教材一模一樣的“探究與發(fā)現(xiàn)”，這個(gè)“探究與發(fā)現(xiàn)”是針對(duì)周期性的拓展內(nèi)容。而舊教材把這個(gè)“探究與發(fā)現(xiàn)”放在周期性之后，也就是完整學(xué)習(xí)完周期性的概念以及拓展之后，再學(xué)習(xí)奇偶性。這個(gè)變化到底用意如何呢？在教學(xué)用書(shū)上解釋了這個(gè)原因：在例題和習(xí)題結(jié)束后，是“不要求學(xué)生必須探究出一般形式的函數(shù)的周期與ω之間的確切關(guān)系?！倍蟮奶骄颗c發(fā)現(xiàn)則是對(duì)例2的推廣，“分級(jí)遞進(jìn)地進(jìn)行抽象，先從具體函數(shù)抽象為一般函數(shù)，研究其周期性，再?gòu)倪@些特殊類型的函數(shù)抽象為一般的周期函數(shù)進(jìn)行研究”[1]。看來(lái)為了三角函數(shù)性質(zhì)內(nèi)容的連貫，以及削枝強(qiáng)干的主導(dǎo)思想，教材作出了這個(gè)變化。

二、利用探究與發(fā)現(xiàn)進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容整合

筆者認(rèn)為既然這樣的處理能使“干”的教學(xué)內(nèi)容更連貫，那么探究與發(fā)現(xiàn)也可以使“枝”的內(nèi)容更豐滿。于是，我大膽進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的整合。在完成周期性與奇偶性的概念教學(xué)后，我以問(wèn)題“中的三個(gè)變量A、ω、φ對(duì)三角函數(shù)的周期性和奇偶性有影響嗎？如果有，有怎樣的影響？”來(lái)進(jìn)行探究教學(xué)，深化拓展對(duì)一般形式的函數(shù)的周期以及奇偶性的認(rèn)識(shí)。

（一）教材分析

本節(jié)書(shū)是第五章《三角函數(shù)》第四節(jié)《三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)》第二課時(shí)《5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》。所謂性質(zhì)，就是研究對(duì)象在變化過(guò)程中保持不變的特征。教科書(shū)通過(guò)“探究”引導(dǎo)學(xué)生明確函數(shù)性質(zhì)的研究?jī)?nèi)容，選擇適當(dāng)?shù)难芯糠椒?。教材從觀察圖像以及公式驗(yàn)證兩種方法得出周期性與奇偶性，這種多角度的觀察、描述與思考中，提升學(xué)生的直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。我把這部分內(nèi)容稱之為第一部分，即原理教學(xué)。第二部分內(nèi)容為原理應(yīng)用教學(xué)，即“探究與發(fā)現(xiàn)”的拓展，我把這部分又分為兩個(gè)小部分，其一就是課本本例，研究一般形式三角函數(shù)的周期問(wèn)題;其二就是引申探究，研究一般形式三角函數(shù)的奇偶性問(wèn)題。

（二）學(xué)生分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)完正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖像之后進(jìn)行性質(zhì)的學(xué)習(xí)，應(yīng)該說(shuō)具備了自主探究的知識(shí)儲(chǔ)備與探究能力。但是類比已有的函數(shù)性質(zhì)，周期性卻是三角函數(shù)獨(dú)有的，因此無(wú)法只從類比中得到，我認(rèn)為這個(gè)需要引導(dǎo)學(xué)生回憶正弦曲線作圖過(guò)程，以及單位圓變化的規(guī)律性而得出。周期性與奇偶性的探究可以通過(guò)教師啟發(fā)，任務(wù)引領(lǐng)，自主閱讀，完成探究的思路展開(kāi)。這節(jié)課的亮點(diǎn)是課后的“探究與發(fā)現(xiàn)”，讓學(xué)生通過(guò)任務(wù)引領(lǐng)，發(fā)現(xiàn)A、ω、φ三個(gè)變量對(duì)周期性以及奇偶性的影響，這個(gè)過(guò)程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度，也最容易產(chǎn)生思維的火花。

（三）教學(xué)過(guò)程

1.任務(wù)、自學(xué)、探究

（1）請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本201頁(yè)，完成以下思考：

正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的周期是什么？你從何而知？

周期與最小正周期的關(guān)系是什么？

（2）探究下列函數(shù)的周期：

（3）請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本202頁(yè)，完成以下思考：

正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的奇偶性是什么？你從何而知？

2.分享自學(xué)成果，教師從中指出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)

3.延伸探究

（1）探究任務(wù)1：對(duì)于，中的三個(gè)變量A、ω、φ對(duì)三角函數(shù)的周期性有影響嗎？如果有，有怎樣的影響？請(qǐng)求出的最小正周期。

（2）探究任務(wù)2：對(duì)于，中的三個(gè)變量A、ω、φ對(duì)三角函數(shù)的奇偶性有影響嗎？如果有，有怎樣的影響？請(qǐng)分別判斷的奇偶性。

4.歸納提升，形成結(jié)論

（1）歸納探究任務(wù)1：

函數(shù)及的周期T=。因此周期只與ω有關(guān)。

（2）歸納探究任務(wù)2：

對(duì)于函數(shù)，

因?yàn)?，所以是奇函?shù);

對(duì)于函數(shù)，因?yàn)樗允瞧婧瘮?shù)。也就是說(shuō)A與ω都沒(méi)有影響函數(shù)的奇偶性，那么φ呢？

5.聚焦?fàn)幾h點(diǎn)，蹦出思維的火花

對(duì)于函數(shù)的奇偶性，這時(shí)候?qū)W生們就發(fā)生爭(zhēng)議了。大部分學(xué)生認(rèn)為這是個(gè)非奇非偶函數(shù)，然而只有個(gè)別學(xué)生覺(jué)得這與的取值有關(guān)，因此不能判斷。于是我就讓兩派學(xué)生分別詳細(xì)闡述自己的觀點(diǎn)和證據(jù)，下面是課堂實(shí)錄：

學(xué)生1：因?yàn)?/p>

且，所以它是非奇非偶函數(shù)。

學(xué)生2：如果，

那么，它就是個(gè)奇函數(shù)。

其他學(xué)生恍然大悟，這時(shí)又有同學(xué)提出：能是個(gè)偶函數(shù)嗎？

于是其他同學(xué)馬上投入探索中，不一會(huì)兒，就有學(xué)生發(fā)現(xiàn)答案是肯定的。

學(xué)生3：如果，

那么，它就是個(gè)偶函數(shù)。

教師表?yè)P(yáng)同學(xué)們善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，總結(jié)大家從誘導(dǎo)公式角度來(lái)解釋問(wèn)題的可行性，同時(shí)提出新問(wèn)題，如果從誘導(dǎo)公式來(lái)分析，那么的取值還可以更簡(jiǎn)潔。

所以如果，那么函數(shù)就是奇函數(shù);如果，就是偶函數(shù)。

6.課后思考問(wèn)題

課后思考對(duì)于的奇偶性如何判斷？命題“如果函數(shù)y=f（x）的周期是T，那么函數(shù)y=f（ωx），的周期是”是否成立？

三、教材重組的反思

章建躍對(duì)新課改實(shí)施過(guò)程中，教學(xué)涉及各環(huán)節(jié)及相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了反思和討論，概括出一些基本共識(shí)：教學(xué)設(shè)計(jì)——不僅從內(nèi)容的教學(xué)需要預(yù)設(shè)提問(wèn)、講授、訓(xùn)練等，而且特別強(qiáng)調(diào)課堂“生成”，設(shè)計(jì)能引發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究的“開(kāi)放性問(wèn)題”;教學(xué)方法——教師主導(dǎo)取向的講授式和學(xué)生自主取向的活動(dòng)式融合，強(qiáng)調(diào)“啟發(fā)式教學(xué)”的核心地位[3]。下面是我的幾點(diǎn)反思：

（一）學(xué)生自主閱讀教材，發(fā)揮教材引領(lǐng)作用

本節(jié)課開(kāi)始，我啟發(fā)學(xué)生探究三角函數(shù)的性質(zhì)，但是并沒(méi)有越俎代庖，而是引導(dǎo)學(xué)生重視教科書(shū)的閱讀，在直觀感知的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)、規(guī)范的認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)，并獲得精準(zhǔn)規(guī)范的表達(dá)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

（二）教師設(shè)計(jì)探究發(fā)現(xiàn)，發(fā)揮學(xué)生主體地位

本節(jié)課我利用教材的探究與發(fā)現(xiàn)，結(jié)合新課學(xué)習(xí)，設(shè)計(jì)了延伸探究，并把教材當(dāng)中沒(méi)出現(xiàn)的奇偶性探究放在一起讓學(xué)生探究。這個(gè)問(wèn)題引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，由此展開(kāi)了思維碰撞，激發(fā)了學(xué)生的求知欲。這部分屬于啟發(fā)式教學(xué)，在啟發(fā)式教學(xué)中，教學(xué)是教與學(xué)交互作用的雙邊活動(dòng)，學(xué)生是教學(xué)的主體，教師是教學(xué)的主導(dǎo);教師根據(jù)認(rèn)知目標(biāo)與情感目標(biāo)并重的要求安排教學(xué)過(guò)程，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的知、情、意、行等諸方面的積極性，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立自主地開(kāi)展思維活動(dòng)，融會(huì)貫通地掌握知識(shí)，發(fā)展智力，培養(yǎng)能力，實(shí)現(xiàn)教育目標(biāo)，達(dá)到全面發(fā)展[4]。因此這部分延伸探究，正是發(fā)揮學(xué)生主體地位的體現(xiàn)。

（三）師生共同修正結(jié)論，提升學(xué)生核心素養(yǎng)

學(xué)生在開(kāi)放性的問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思維是自由的，也是最具創(chuàng)造性的。本節(jié)課在討論函數(shù)的奇偶性時(shí)，學(xué)生就出現(xiàn)各種爭(zhēng)議，既有認(rèn)為是非奇非偶函數(shù)的，也有認(rèn)為是奇函數(shù)的，更有認(rèn)為是不能判斷的。每個(gè)人都各執(zhí)一詞，各說(shuō)各有理。因此我采取師生共同修正結(jié)論。課堂上我引導(dǎo)學(xué)生侃侃而談，各抒己見(jiàn)，并提供誘導(dǎo)公式作為工具，修正結(jié)論，使結(jié)論呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。這個(gè)過(guò)程其實(shí)就是學(xué)生提升邏輯推理，數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

王尚志，史寧中認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步形成的。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析共六個(gè)方面，更一般的還包括學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)應(yīng)用、創(chuàng)新意識(shí)等。從學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的角度看，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要體現(xiàn)在情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思的綜合運(yùn)用能力上[5]?？梢?jiàn)數(shù)學(xué)交流能力是核心素養(yǎng)的一個(gè)重要體現(xiàn)。

結(jié)束語(yǔ)

新教材對(duì)《正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)》的教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)以及順序作出了調(diào)整。這既體現(xiàn)了新教材以生為本，注重知識(shí)的生成過(guò)程，也體現(xiàn)了新教材注重核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。那么教師在設(shè)計(jì)教案時(shí)，應(yīng)該充分利用教材，并根據(jù)實(shí)際情況開(kāi)發(fā)教材，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)環(huán)節(jié)，使學(xué)生從不解、質(zhì)疑、交流、釋疑的過(guò)程中，逐漸培養(yǎng)起對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，以及提升了邏輯推理、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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[3]章建躍.數(shù)學(xué)教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社，2017，6：475

[4]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2018，10：48

[5]華志遠(yuǎn).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與構(gòu)成[J].教育研究與評(píng)論·中學(xué)教育教學(xué)，2016（5）：11-13

作者簡(jiǎn)介：郭靖.（1980年8月），女，漢族，廣東省廣州市人，教育碩士，研究方向：高中數(shù)學(xué)教育。