循環(huán)節(jié)的認(rèn)定應(yīng)遵循簡寫法的“法理”

張琦

[摘 要]循環(huán)小數(shù)是一個常見的數(shù)學(xué)概念，教材對其有著嚴(yán)格定義，它也是一個母概念，依次衍生出“循環(huán)節(jié)”“簡寫法”等子概念。在簡寫循環(huán)小數(shù)時，因為“循環(huán)節(jié)”出現(xiàn)了“替補(bǔ)”，所以造成循環(huán)節(jié)認(rèn)定上的麻煩和簡寫的爭議。因此，循環(huán)節(jié)的認(rèn)定應(yīng)遵循簡寫法的“法理”。

[關(guān)鍵詞]循環(huán)節(jié);簡寫;循環(huán)小數(shù)

四年級期末試卷中有這樣一道填空題：無限小數(shù)7.5656565……簡記法是（ ），如果根據(jù)四舍五入法保留兩位小數(shù)是（ ）。對于第二個空，學(xué)生的答案“7.57”高度統(tǒng)一;對于第一個空，學(xué)生卻有兩種截然不同的答案。同樣的，全體閱卷教師產(chǎn)生了嚴(yán)重的分歧并進(jìn)行了激烈的爭辯，但直到最后仍未有定論，最后只能將兩種答案都算作正確答案，才算平息風(fēng)波。雖然評分標(biāo)準(zhǔn)可以權(quán)宜處理，而正確答案必然只有一個。

下面筆者結(jié)合所思所想詳細(xì)論述這道題中有關(guān)循環(huán)節(jié)的認(rèn)定方法。

一、帶有非循環(huán)數(shù)字的寫法

有教師堅持認(rèn)為7.5656565……的循環(huán)節(jié)是65，原小數(shù)應(yīng)簡記為7.565，循環(huán)節(jié)只有兩位數(shù)字，所以根據(jù)簡寫規(guī)則，應(yīng)該只保留一個循環(huán)節(jié)，并在循環(huán)節(jié)的首位和末位數(shù)字上面描畫一個小圓點，從這一點看，這種簡記方式完全符合循環(huán)小數(shù)的簡寫規(guī)則。而用一般方法書寫循環(huán)小數(shù)時，由于小數(shù)數(shù)位的無限重復(fù)，所以到最后用省略號表示，但是省略號之前的數(shù)位至少已經(jīng)將依次不斷重復(fù)的數(shù)字呈現(xiàn)出來了，后面省略的部分是不言而喻的，如5.1212121212……，很容易讓人推斷出省略號省略的部分是不斷重復(fù)的“12”，如果省略號之前沒有揭示依次不斷重復(fù)的規(guī)律，后者沒有規(guī)律可循，如3.1415926……，這就是一個無理數(shù)，無法簡寫，只能借用一個新字符（如“π”）來表示。

也就是說，在用一般方法表示循環(huán)小數(shù)時，為了明白無誤地顯露循環(huán)節(jié)，一般要將一個完整的循環(huán)節(jié)重復(fù)列出2至3組，再加上省略號，而小數(shù)中的已顯示部分，最后是以5結(jié)尾，說明數(shù)字5就是已顯示的最后一組循環(huán)節(jié)的最后一個數(shù)字，據(jù)此推斷7.5656565……的循環(huán)節(jié)應(yīng)是65。

綜合判斷，原小數(shù)已經(jīng)顯示了兩組循環(huán)節(jié)“65”，而且可以看到，這個循環(huán)小數(shù)是一個混合循環(huán)小數(shù)，也就是不是所有小數(shù)數(shù)位都參與循環(huán)，十分位上的數(shù)字5就是獨立存在的，不參與循環(huán)，這也符合循環(huán)小數(shù)的定義：一個小數(shù)，從小數(shù)部分的某一位開始，一個或者幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫作循環(huán)小數(shù)。從定義中的“某一個”可以看出，循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分是可以包含非循環(huán)數(shù)字的，但是這一個（或多個）循環(huán)數(shù)字必須出現(xiàn)在第一個循環(huán)節(jié)之前，如循環(huán)小數(shù)3.2471818181818……，第一個循環(huán)節(jié)“18”出現(xiàn)在萬分位和十萬分位，而之前的十分位、百分位、千分位則屬于獨立的一次性非循環(huán)數(shù)字，而非循環(huán)數(shù)字出現(xiàn)在中間，那么循環(huán)節(jié)只能從非循環(huán)數(shù)字后算起，如循環(huán)小數(shù)3.1818182471818181818……，循環(huán)節(jié)仍是“18”，但是這個循環(huán)節(jié)“18”只能從第11、12位小數(shù)開始算起，簡寫為[3.181818247]18，而不能是3.18247，緊貼小數(shù)點后出現(xiàn)三次的“18”只能算是“非循環(huán)數(shù)字”，與后面重復(fù)出現(xiàn)的“18”有天壤之別。

同理，小數(shù)7.5656565……首個出現(xiàn)的循環(huán)節(jié)應(yīng)該是第2、3位小數(shù)，循環(huán)節(jié)前出現(xiàn)一個非循環(huán)數(shù)字“5”，此循環(huán)小數(shù)可簡寫為[7.5]65。

二、不帶非循環(huán)數(shù)字的寫法

有的教師認(rèn)為7.5656565……的循環(huán)節(jié)是56，仔細(xì)觀察這個小數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)它是從第一位就開始循環(huán)，以第1、2位小數(shù)為循環(huán)節(jié)，并且在一般表示法中已經(jīng)顯示了三組，7.5656565……最后一個數(shù)字5可以視為一個循環(huán)節(jié)寫到一半，省略號省略的部分應(yīng)該是以6開頭的補(bǔ)充循環(huán)節(jié)“656565……”可簡寫為[7.]56。

這個理由也完全站得住腳，完全符合循環(huán)小數(shù)和循環(huán)節(jié)的定義。因為循環(huán)小數(shù)的定義里說到（前文已提到，此處不再贅述），從小數(shù)部分的“某一位”起，“某一位”這平平無奇的三個字暗藏玄機(jī)：既然是某一位，那就可以從第一位開始，也就是從小數(shù)部分的十分位開始。這樣一來，循環(huán)節(jié)就是從十分位起算到后面的某一位截止，此時循環(huán)節(jié)中也就不存在非循環(huán)數(shù)字，第一個循環(huán)節(jié)就應(yīng)該是從貼近小數(shù)點的第一個數(shù)字算起，從后面重復(fù)的內(nèi)容來看，確實只有“56”不斷循環(huán)，而且完整顯示出三組，最后省略號前一位到底是哪個數(shù)字已經(jīng)無所謂，也就是在哪里截斷后寫上省略號，全憑人的直觀意志。

這樣的例子還有很多，一個小數(shù)的循環(huán)節(jié)越長，“偽循環(huán)節(jié)”就越多，如3.879879879……，循環(huán)節(jié)應(yīng)該是“879”，規(guī)范的簡寫法應(yīng)該是[3.]879。但是，如果硬將第一位小數(shù)8定性為“非循環(huán)數(shù)字”，那么循環(huán)節(jié)搖身一變就成為“798”，從第二位數(shù)字開始循環(huán);如果將第1、2位數(shù)定義為“非循環(huán)數(shù)字”，那么循環(huán)節(jié)又變?yōu)椤?87”，從第三位數(shù)字開始循環(huán)……這全是因為循環(huán)的周期性和遞補(bǔ)性所致。

三、從簡寫法的“法理”上找答案

首先從循環(huán)小數(shù)的專業(yè)定義說起，現(xiàn)代漢語詞典這樣解釋：從小數(shù)點后面某一位起到某一位止，一個或者幾個數(shù)字總是依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)就是循環(huán)小數(shù)。其中依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫循環(huán)節(jié)。循環(huán)小數(shù)的縮寫法，是將第一個循環(huán)節(jié)之后的數(shù)字一概省略，而在這唯一一個循環(huán)節(jié)的首尾數(shù)字上標(biāo)記一個小圓點。

例如0.33333……從小數(shù)部分第一位數(shù)字3起，開始不斷重復(fù)這一個數(shù)字，因而，其循環(huán)節(jié)是3，簡寫為[0.]3;1.2333……從小數(shù)部分第二位數(shù)字3開始，不斷重復(fù)出現(xiàn)這一個數(shù)字，其循環(huán)節(jié)仍然是3，簡寫法是[1.2]3;7.5656565……，嚴(yán)格來說，是從小數(shù)部分第一位數(shù)字5起到第二位數(shù)字6止，開始不斷重復(fù)，因此循環(huán)節(jié)是56，簡記作[7.]56;如果這個小數(shù)的十分位上不是5而換成別的數(shù)字，如7.0565656……，那么爭議就會消失，毫無疑問，是從小數(shù)部分第二位數(shù)字5起到第三位數(shù)字6止開始循環(huán)，此時循環(huán)節(jié)是65，簡記作[7.0]65……。

從簡寫法的“法理”上來講，循環(huán)小數(shù)的簡寫本就是為了簡略方便，因此在不改變數(shù)值大小的前提下，簡寫越簡單越好。

綜合比較分析后再來審視學(xué)生的兩個答案。首先7.5656565……與[7.]56和[7.5]65等值，根據(jù)循環(huán)數(shù)字的復(fù)制性、周期性和遞補(bǔ)性，循環(huán)部分是56循環(huán)還是65循環(huán)，其實都一樣。再者，從形式上來看，[7.]56比[7.5]65更簡略，便于書寫，因此這道題的正確答案是[7.]56。

最后，換算成分?jǐn)?shù)來考慮：[7.]56=[75699]，而[7.5]65=[7560990]=[75699]，顯然，分?jǐn)?shù)[75699]比[7560990]要簡略，按此，也是選擇[7.]56。

以上是筆者對循環(huán)節(jié)認(rèn)定的一些看法，如有不當(dāng)，敬請指教。

（責(zé)編 黃春香）