無限不循環(huán)小數(shù)本質(zhì)的探究

李秀麗

[摘 要]小數(shù)和分?jǐn)?shù)的互化是小學(xué)生進(jìn)行各種換算的必備技能，除法運(yùn)算更是建立起小數(shù)和分?jǐn)?shù)的親密聯(lián)系，但是在無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化中則存在一些阻礙，甚至有些人對無限不循環(huán)小數(shù)屬不屬于小數(shù)產(chǎn)生了懷疑。因此，有必要將分?jǐn)?shù)與小數(shù)關(guān)系的本質(zhì)探查清楚。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);分?jǐn)?shù);小數(shù);無限;有限;認(rèn)知;發(fā)展

青島版教材中“小數(shù)”的內(nèi)容主要出現(xiàn)了四次。三年級下冊教材中初步介紹了小數(shù)的概念：“像0.1、0.4、0.55、1.2……這樣的數(shù)，都是小數(shù)”。五年級下冊教材中介紹了有限小數(shù)與無限小數(shù)的概念：“小數(shù)部分的位數(shù)是有限的小數(shù)，叫作有限小數(shù)”，“小數(shù)部分的位數(shù)是無限的小數(shù)，叫作無限小數(shù)”。五年級下冊中，教材介紹了分?jǐn)?shù)與除法的互化。六年級上冊教材中介紹了一段數(shù)學(xué)史料，引出圓周率π，π=3.1415926535…”。

一、認(rèn)知發(fā)展方面

認(rèn)真研究就會發(fā)現(xiàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)教材對于“小數(shù)”課程的編寫是非常有條理的，層層遞進(jìn)，具有嚴(yán)密的邏輯性。首先，由熟悉的生活事例引出小數(shù)的基本意義。其次，通過除法運(yùn)算不帶余數(shù)的商來揭示小數(shù)的“有限”與“無限”。再次，說明任意分?jǐn)?shù)都能通過除法運(yùn)算將其轉(zhuǎn)化為小數(shù) （能夠除盡的，商就是有限小數(shù);除法豎式中余數(shù)從某一位開始循環(huán)，導(dǎo)致商從某一位開始循環(huán)，這樣的商就是無限循環(huán)小數(shù);由除法運(yùn)算得出的無限小數(shù)必定循環(huán)，無限不循環(huán)小數(shù)不可能由除法運(yùn)算求商得出）。最后，進(jìn)一步借助圓周率來推出小數(shù)的另一種形式——無限不循環(huán)小數(shù)，這類小數(shù)是無理數(shù)。至此，所有小數(shù)的形式被“一網(wǎng)打盡”。

這樣的教材編排順序貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)了識數(shù)、算術(shù)、數(shù)域整理的密切關(guān)系，體現(xiàn)了學(xué)生的知識基礎(chǔ)，契合學(xué)生認(rèn)知事物的規(guī)律。顯然，如此安排可以使學(xué)生對小數(shù)的基本意義、無限循環(huán)小數(shù)、無限不循環(huán)小數(shù)等知識進(jìn)行連續(xù)闖關(guān)、逐個(gè)擊破。但是，學(xué)生要真正領(lǐng)會小數(shù)的本質(zhì)就不太容易，因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)小數(shù)的基本意義時(shí)，教材是借用單位之間的進(jìn)率來詮釋的，如貨幣單位元、角、分，長度單位米、分米、厘米，讓學(xué)生在小數(shù)與十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的互化過程中感知小數(shù)的意義，給學(xué)生造成“十進(jìn)制分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間嚴(yán)格對應(yīng)”的印象。在學(xué)習(xí)小數(shù)除法運(yùn)算及分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系時(shí)，學(xué)生知道除法運(yùn)算的商是小數(shù)的合理來源，而且通過經(jīng)歷無法除盡的情況，也就是從某一步開始，余數(shù)開始重復(fù)出現(xiàn)，導(dǎo)致商也重復(fù)出現(xiàn)，這時(shí)的小數(shù)位數(shù)就會無窮無盡，感知無限小數(shù)的現(xiàn)實(shí)來歷。但教材并沒有讓學(xué)生去追溯無限小數(shù)的前身——其對應(yīng)的分?jǐn)?shù)（被除數(shù)和除數(shù)），因此，學(xué)生自然不會深究有限小數(shù)與無限（循環(huán)）小數(shù)對應(yīng)的分?jǐn)?shù)是否都是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)。那么，等到借助圓形的周長與直徑的比值揭示“圓周率是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)”時(shí)，學(xué)生更不會思考無限不循環(huán)小數(shù)是否也來自某個(gè)分?jǐn)?shù)了。

二、數(shù)學(xué)形式方面

數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)模式具有多種多樣的表征，小數(shù)就是數(shù)的一種表征，或者說存在形式。把十進(jìn)制分?jǐn)?shù)改寫成的有限小數(shù)，可以認(rèn)為是對十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的喬裝易容——換了一種書寫形式。顯然，無限循環(huán)小數(shù)是非十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的另一種存在形式。照此理論，無限不循環(huán)小數(shù)就找不到對應(yīng)的分?jǐn)?shù)。然而，這樣用類比法為無限不循環(huán)小數(shù)尋根，會讓思路走進(jìn)死胡同。要想為“小數(shù)都是源自分?jǐn)?shù)，是分?jǐn)?shù)的第二表征”找到合理解釋，教師必須另辟蹊徑。下面，筆者先梳理小數(shù)的表征方式。

有限小數(shù)：0.29= [210] + [9100]

無限循環(huán)小數(shù)：0.377…=[310] + [7100] + [71000] +……

無限不循環(huán)小數(shù)：3.14159…= 3 + [110] + [4100] +[11000] + [510000] + [9100000] +……

[5]=2.23606…=2 + [210] + [3100] + [61000] + [010000] +[6100000] +……

一般地，對于任意純小數(shù)：[0.a1a2a3a4…ak]= [a1101] + [a2102] + [a3103] + [a4104] + … + [ak10k] =[i=1kai10i]。也就是說，當(dāng)k是定值時(shí)，有限小數(shù)“[0.a1a2a3a4…ak]”可以用若干個(gè)十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的和“[i=1kai10i]”來表征;當(dāng)k趨于正無窮時(shí)，無限循環(huán)小數(shù)“[0.a1a2a3a4…ak]”可以用無限個(gè)分子循環(huán)出現(xiàn)的十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的和“[i=1kai10i]”來表征;當(dāng)k趨于正無窮時(shí)，無限不循環(huán)小數(shù)“[0.a1a2a3a4…ak]”可以用無限個(gè)無規(guī)律的十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的和“[i=1kai10i]”來表征。綜上所述，用“把十進(jìn)制分?jǐn)?shù)（有限或無限個(gè)十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的和）改寫成無分母形式的特異分?jǐn)?shù)，即為小數(shù)（有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、無限不循環(huán)小數(shù)均在此列）”的定義就能將有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)的表征方式統(tǒng)一起來。

三、數(shù)學(xué)本質(zhì)方面

什么是數(shù)？這既是一個(gè)高等數(shù)論問題，又是一個(gè)形而上學(xué)的哲學(xué)問題?！皵?shù)”常常被看成是對“物品數(shù)量”的標(biāo)記。那么，生活中物品數(shù)量是以何種形式存在？人們對同類物品的整理方式分兩種：合并與分割。通過合并累計(jì)，人們形成了整數(shù)的計(jì)數(shù)單位;通過對一個(gè)物品的切分，人們形成了小于1的分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位。

計(jì)數(shù)其實(shí)就是對計(jì)數(shù)單位的數(shù)目進(jìn)行記錄和描述。顯然，這樣的計(jì)數(shù)結(jié)果有三種：第一種是只包含大于或等于計(jì)數(shù)單位“1”的物品數(shù)量記錄信息（整數(shù)）;第二種是只含有小于計(jì)數(shù)單位“1”的物品數(shù)量記錄信息（純小數(shù)）;第三種是既含有大于等于計(jì)數(shù)單位“1”的物品數(shù)量記錄信息，又含有小于等于計(jì)數(shù)單位“1”的物品數(shù)量記錄信息（混小數(shù)）。

據(jù)此，教師可以將這些數(shù)字分門別類。第一種分類方式是分成兩類：一類是只含有大于或等于計(jì)數(shù)單位“1”的數(shù)字，叫作自然數(shù);另一類是既含有大于或等于計(jì)數(shù)單位“1”的計(jì)數(shù)單位，又含有小于計(jì)數(shù)單位“1”的計(jì)數(shù)單位的數(shù)，叫作小數(shù)。第二種分類方式是分成三類（或許這種分類更有效）：第一類是所含計(jì)數(shù)單位大于計(jì)數(shù)單位“1”的數(shù)（整合數(shù)，如250=200+50），第二類是只含有計(jì)數(shù)單位“1”的數(shù)（真正自然狀態(tài)下的數(shù)量狀態(tài)，全部一個(gè)一個(gè)累加起來），第三類是所含計(jì)數(shù)單位全部小于“1”的數(shù)（純小數(shù)，如0.265）。

無論是哪種分類方式，都可以看出不同數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)：自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位只含有“基數(shù)1”，整數(shù)的計(jì)數(shù)單位全部大于或者等于“基數(shù)1”，小數(shù)的計(jì)數(shù)單位全部小于“基數(shù)1”。因此，“含有小于‘基數(shù)1的計(jì)數(shù)單位的數(shù)叫作小數(shù)”，這樣定義，就可以涵蓋有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、無限不循環(huán)小數(shù)等三種小數(shù)類型。這樣一來，不僅為無限不循環(huán)小數(shù)恢復(fù)了小數(shù)身份，而且可以直擊小數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（責(zé)編 吳美玲）