數(shù)形結合思想在高中函數(shù)中的應用

劉來

摘 要：數(shù)形結合思想在高中學習階段對函數(shù)板塊的學習發(fā)揮十分關鍵的作用，通過結合幾何圖形和代數(shù)關系，糅合直觀與抽象，不但能夠讓學生加強關于圖像、概念的認知，又可以協(xié)助學生選擇不同的解題方法，繼而形成嚴謹?shù)臄?shù)學思維。

關鍵詞：高中函數(shù)學習;數(shù)形結合;數(shù)學思維

高中階段數(shù)學的學習對學生的要求是扎實的基本功、對于原理理解透徹、公式運用能夠舉一反三，還需要形成獨立的數(shù)學思維方法。歷年的高考考題也充分的體現(xiàn)了這一點，考題不但注重對數(shù)學能力、數(shù)學知識、解題技巧的考查，更關注的是考生數(shù)學能力、思想方法的形成。課程標準明確指出，高中數(shù)學課程的理念是側重于數(shù)學的主線，培養(yǎng)形成獨立完整的邏輯體系，凸顯數(shù)學思想。思維方法的建立受到學生核心素養(yǎng)的極大影響，因此高中課程提出要培養(yǎng)學生的六個核心素養(yǎng)，分別是想象力、邏輯能力、建模、計算對數(shù)據(jù)分析以及抽象。在此其中，數(shù)學抽象是指構建數(shù)學邏輯的方式以及思維過程，它是通過圖像特點以及代數(shù)關系進行的。直觀想象指的是根據(jù)給出的圖案分析事物對應的變化，通過圖形正確理解問題，而且實際處理問題的整個過程所以數(shù)形結合思想和想象力以及抽象兩種素養(yǎng)有關。新課標指出要學好高中數(shù)學，那么便要具備對數(shù)學和圖形結合的問題進行分析處理的能力。

一、數(shù)形結合思想的內涵

數(shù)形結合指的是解決問題時，結合直觀的圖像以及抽象的代數(shù)關系，對實際問題進行研究，繼而轉化圖形特點和代數(shù)關系。代數(shù)關系的重點是抽象的方程式、函數(shù)，圖形特點指的是在坐標系下從圖形、圖像獲得的關系。在函數(shù)問題方面，主要指的是根據(jù)圖像發(fā)生變化的特征和代數(shù)關系，對問題進行分析處理。

二、數(shù)形結合思想在高中函數(shù)的應用

（一）以形助數(shù)

“以形助數(shù)”指的是按照圖像的特點處理函數(shù)問題。要求學生對函數(shù)圖像進行分析，找出圖像的幾何特征，進而根據(jù)直觀圖像得出函數(shù)的性質，并且轉換函數(shù)性質成詳細的代數(shù)關系，繼而讓數(shù)的問題得到解決。如題：

已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（ ）

A.1 B. C. D.0

在本題中通過函數(shù)圖像反映的信息，結合三角函數(shù)知識我們可以得到以下代數(shù)關系：①，②，③，聯(lián)立方程①②③可求解出A，ω，φ，進而求出。

本題突出對學生提取圖像信息和將圖像特征其轉化代數(shù)關系的能力的考查。學生首先要利用圖像得到函數(shù)周期，然后利用特殊點坐標（0，）得出代數(shù)方程，第三利用函數(shù)圖像的極值點得到代數(shù)方程解出φ。本題解決函數(shù)問題的方法是代數(shù)關系以及圖像特征的彼此轉化。

（二）以數(shù)輔形

“以數(shù)輔形”指依據(jù)函數(shù)所包含的代數(shù)關系，理解或得出函數(shù)的具體圖像特征。代數(shù)關系是解決問題的工具，通過對數(shù)的分析，來對形進行研究，達到“形”的目的。形的模糊往往使用精確的數(shù)表達，如題：

例如下圖，在邊長為2的等邊三角形ABC中，一條和ab呈90度角關系的直線L由a點出發(fā)從左往右移動，把三角形ABC分為兩部分，假如線段AD=x

（1）把直線L左邊圖形面積的函數(shù)解析式寫出來

（2）在直角坐標系中把函數(shù)圖像畫出來.

本題從平面圖形的面積出發(fā)，讓學生探究直線L左邊圖形的面積和線段AD的代數(shù)關系。通過圖形的形狀和平面圖形的面積公式得出相應的代數(shù)關系即函數(shù)解析式，并根據(jù)解析式畫出函數(shù)圖像。正確解題思路是當0

（三）數(shù)形結合

“數(shù)形結合”指利用函數(shù)解析式，作出函數(shù)的圖像，然后根據(jù)函數(shù)圖像的“圖像特征”得到具體的“代數(shù)關系”來解決數(shù)學問題。如題：

已知a是常數(shù)，函數(shù)的導函數(shù)y=f′（x）的圖像如右圖所示，則函數(shù)的圖像可能是（ ）

A.

B.

C.

D.

本題應當先對參數(shù)a的取值范圍進行確認，主要通過函數(shù)解析式以及二次函數(shù)性質進行確定，根據(jù)取值將g（x）圖像畫出。畫圖像時，要跟指數(shù)函數(shù)性質聯(lián)系起來，按照參數(shù)的取值對它的加減性進行判斷，最后通過絕對值性質轉換圖像。本題通過“代數(shù)關系”與“圖像特征”的互相轉換可以快速解決問題。

結束語

在學習高中函數(shù)的過程里，數(shù)形結合思想是一種重要的數(shù)學思維，發(fā)揮著十分關鍵的作用。它著重于幫助學生從不同角度對概念進行深入理解，形成一定的思維能力，延伸探索解決問題的方法。在數(shù)形結合過程中，圖形的直觀使得函數(shù)性質一目了然，而數(shù)據(jù)的表示又可使圖形更具意義。學生在解決函數(shù)問題時將函數(shù)的相關性質、概念與函數(shù)圖像結合起來，利用“代數(shù)關系”與“圖像特征”的互相轉換，從而找到解決問題的方法。

參考文獻

[1]鄭毓信.數(shù)學教育哲學[M].四川教育出版社，1995.

[2]徐斌艷.數(shù)學課程與教學論[M].杭州：浙江教育出版社，2003.

[3]孫寶恩.高中數(shù)學教學與解題中數(shù)形結合法的應用.數(shù)理化解題研究[J]，2019。