例談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中模型思想的培養(yǎng)

陸開芹

[摘? 要] 從當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)的變革發(fā)展中不難看出，“數(shù)學(xué)模型”是數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子以及數(shù)量關(guān)系對現(xiàn)實原型簡化的本質(zhì)的描述。因此，要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生形象的數(shù)學(xué)模型思想，就得重視基本生活原型的引入，并結(jié)合書本知識體系的學(xué)習(xí)，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用符號、式子等建構(gòu)對應(yīng)的思考模型和解答模型，真正使學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的學(xué)習(xí)過程。

[關(guān)鍵詞] 模型思想;數(shù)學(xué)活動;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義。”

一、滲透模型思想于情境中

無論從事怎樣的教學(xué)活動，我們都得為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)搭建適宜的平臺。創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境、教學(xué)情境就是提供最基本的平臺。因此，教學(xué)中要善于解讀知識內(nèi)容，依托教材的編排規(guī)律，科學(xué)地把現(xiàn)實生活中與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相關(guān)聯(lián)的素材引入教學(xué)之中，促使學(xué)生能夠在較為輕松活潑的氛圍中運用知識去分析問題、研究問題，從而引發(fā)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)思考，促使學(xué)生進(jìn)行必要的抽象、概括，促使數(shù)學(xué)模型的建立。

如構(gòu)建“多減要加”的解題模型時，需要運用生活中“付整找零”的經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)購物付錢的學(xué)習(xí)活動情境。一是提供一組商品的模型與單價，籃球98元，足球97元，排球97元。二是組織部分學(xué)生開展購物實踐活動，每個人都付出100元，體會到籃球值98元，營業(yè)員還得找回2元等。通過真實的商品交易活動，讓學(xué)生體會到多付出的還得要回來，使對應(yīng)的思維變得清晰起來。三是提供運用感知的實踐嘗試，如231-99，453-198等，讓學(xué)生真正理解231-99=231-100（? ）（? ），453-198=453-（? ）（? ）（? ）。四是引導(dǎo)學(xué)生對練習(xí)進(jìn)行反思與總結(jié)，使得“多減要加”的數(shù)學(xué)思想在具體情境中獲得理解，得到建構(gòu)。

像上述這種以學(xué)生熟悉的生活原型為切入口，讓學(xué)生通過在既有的經(jīng)驗支持下的學(xué)習(xí)與反思獲得新的領(lǐng)悟，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在自然狀態(tài)下走向深邃，其本質(zhì)就是從“常識”上升為“數(shù)理”的蛻變過程，就是一個有效的數(shù)學(xué)建模過程。

二、感知模型思想于活動中

幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，不僅需要精選數(shù)學(xué)原型，為學(xué)生的探求問題解決方法提供經(jīng)驗、知識、技能的保障，更要引導(dǎo)學(xué)生參與知識形成的研學(xué)活動，讓學(xué)生在真實的活動中獲得更為豐富的感性材料，能夠多維度、立體地感知某類事物的特征或數(shù)量間的內(nèi)在關(guān)系，使數(shù)學(xué)建模成為一種必然。

如“湊十法”的模型建構(gòu)教學(xué)思考。首先，組織學(xué)習(xí)“9加幾”，讓學(xué)生體驗真實的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。把9根小棒和1根小棒捆在一起，或者是9個圓片和1個圓片摞在一起等，變成一個“十”。通過活動，使學(xué)生明白9+1=10，10就是1個十，使“十”的表象建立起來。其次，引導(dǎo)學(xué)生拓展視角，去尋找更多的成“十”的例子。學(xué)生會在學(xué)習(xí)交流中，逐步認(rèn)識到9個人+1個人是10個人，9本練習(xí)本+1本練習(xí)本是10本練習(xí)本等，讓學(xué)生在不同的感知中獲得最真切的感悟，形成“十”的認(rèn)知。再次，采取半扶半放的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生在活動中學(xué)習(xí)“8、7加幾”的算法，并通過擺小棒、擺圓片等活動，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步感知“湊十法”，從而體會到“湊十法”在加法學(xué)習(xí)中應(yīng)用是非常多的。最后，放手讓嘗試學(xué)習(xí)“6、5、4加幾”的算法，促使學(xué)生在不自覺中運用“湊十法”去解決問題。

當(dāng)我們采取這種循序漸進(jìn)的策略進(jìn)行教學(xué)時，學(xué)生就一定能夠在相應(yīng)的活動中逐步把握“湊十法”，并理解其價值。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，給學(xué)生合作的機(jī)會，給學(xué)生交流的時空，讓學(xué)生有機(jī)會進(jìn)行必要的觀察、操作、實踐等，有助于學(xué)生在活動中體驗“湊十法”的內(nèi)涵，為形成“湊十法”的模型奠定了堅實的基礎(chǔ)。

三、建立模型思想于應(yīng)用中

不管是數(shù)學(xué)概念的形成，還是數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，其核心的內(nèi)容還是在于數(shù)學(xué)思想方法的運用。也就是說，要使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成技能、技巧，形成模型，就得讓學(xué)生學(xué)會活用“數(shù)學(xué)模型”，通過真實的問題研究，使他們能夠更科學(xué)地把握概念、規(guī)律的實質(zhì)，順利構(gòu)建新的認(rèn)知體系，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)在研究問題中實現(xiàn)提升。

如“雞兔同籠”的問題模型建構(gòu)教學(xué)思考。引導(dǎo)學(xué)生研究常規(guī)的雞兔同籠問題：“雞兔同籠，上有頭20個，下有腿50條。問雞兔各有多少個？”讓學(xué)生自主選擇策略去分析、研究、解決問題。組織學(xué)習(xí)反饋，有的學(xué)生采用畫圖策略，畫出20個圓圈代表總個數(shù)，先給每一個圓圈按上2條腿，會發(fā)現(xiàn)多出10條腿。因為雞是2條腿，兔是4條腿，所以再補充畫腿時，每一次是畫上2條腿，發(fā)現(xiàn)還需要畫上5次，得到兔有5個，雞有15個。有的學(xué)生采用的是假設(shè)策略，假設(shè)全是雞，腿的條數(shù)只有40條，那么就會多出10條。這時就得用兔子把雞換下來，每換1個就會增加4-2=2條腿，這樣就能得出10÷2=5個兔子，雞則是15個。

組織學(xué)生比較兩種策略時，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)它們的實質(zhì)是一樣的。比較使學(xué)生感悟到雞兔同籠的解決模型。應(yīng)用模型，拓展訓(xùn)練。我們都知道建模的目的是形成解題技能，鞏固思維成果，所以就得把建立模型過程中不可能一一列舉的同類事物通過習(xí)題的方式呈現(xiàn)出來，從而開闊學(xué)生考察視野，使學(xué)生學(xué)會分析不同的情境，學(xué)會運用模型思想去分析研究，進(jìn)而深化對應(yīng)模型的理解，提高穩(wěn)定性。如可設(shè)計：①李老師為學(xué)校買來籃球、足球共80個，一共用去4350元。足球每個60元，籃球每個50元，籃球、足球各有多少個？②甲、乙兩個車間一共用煤126噸。已知甲車間每8天用1噸，乙車間每6天用1噸，兩個車間累計正好用了17天，甲乙車間各用煤多少噸？

通過不同類型的習(xí)題列舉，使學(xué)生明白雞兔同籠模型還有更多的例子，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這樣的設(shè)計思考，也會使雞兔同籠模型的外延不斷得以豐富和拓展。

翔實的模型應(yīng)用實例，不僅為數(shù)學(xué)模型的理解提供了最直接的可能，也為學(xué)生知識體系的建構(gòu)提供了試練場。上述案例，能夠使我們明白，模型的建立不只是知識的傳授，而是一種技能、智慧的積淀。因此，提供真實的訓(xùn)練情境，才能加深學(xué)生的理解，促使學(xué)生更好地把握知識的脈絡(luò)，發(fā)展對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。也許只有當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷這樣的思索、體驗過程，他們對模型的建構(gòu)才會實現(xiàn)由半具體、半抽象的模型向理性的數(shù)學(xué)模型蛻變，完成從物理模型到直觀的數(shù)學(xué)模型再到抽象的數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，從而留下刻骨銘心的記憶。

四、深化模型思想于梳理中

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個不斷積累、不斷升華的過程。因此，在教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生整理和歸納所學(xué)知識，使他們在知識梳理中更好地領(lǐng)悟知識的本質(zhì)、把握知識的真諦，從而形成科學(xué)的認(rèn)知體系。同樣，數(shù)學(xué)模型思想的深化也需要學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程，只有在知識的整理、梳理中才能建構(gòu)更準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。

教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題”，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程中找準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型的原點，從而使模型的來龍去脈更清晰。因此，可以指導(dǎo)學(xué)生回憶和復(fù)述最具代表性的、典型的活動過程，使相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型理解愈加深刻。

如“梯形的面積公式S=（a+b）h÷ 2”模型的深化，就可以通過情境變化的問題來深化。①一堆鋼管共有10層，下面的每一層都比上一層多一根，第一層有2根，最后一層有11根。這堆鋼管一共有多少根？②1+2+3+4+…+100=？③2+4+6+8+…+100=？……情境變化了，但解決問題的模型沒有變化，這樣不僅豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，更拓展了模型的視角，使得梯形面積公式的運用模型外延得以延伸和拓展，有效地促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的積累。

教師引導(dǎo)學(xué)生整理“用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”。如在“正反比例關(guān)系”模型建構(gòu)教學(xué)中，出示鞏固練習(xí)題：

指導(dǎo)學(xué)生解讀數(shù)據(jù)，把握本質(zhì)，從而使對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型在具體的運用中得以深化。

提供模型的運用平臺，引領(lǐng)學(xué)生運用模型去思考、研究解決問題的策略，從而在學(xué)習(xí)反饋交流中感受模型的好處，激發(fā)深入探究的熱情，深化對模型的理解，促進(jìn)模型思想的不斷升華。如在“圓的面積計算方法”教學(xué)中，就可以設(shè)計一組變式題，讓學(xué)生在不同建模的有效素材沖擊下進(jìn)一步深刻理解數(shù)學(xué)模型，也使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿情趣與智慧?！皥D1中正方形面積是8平方厘米，求圓的面積”;“圖2中正方形面積是8平方厘米，求圓的面積”;“圖3中正方形面積是8平方厘米，求圓的面積”……

不同的情境會促使學(xué)生更集中精力關(guān)注學(xué)習(xí)的推進(jìn)。同時，學(xué)生會在問題的研究突破中找準(zhǔn)圓與正方形的內(nèi)在聯(lián)系，從而使原有的數(shù)學(xué)模型得到充實和提升，使數(shù)學(xué)思考變得更加深邃，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿趣味，閃爍著智慧的光芒。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)切實抓牢數(shù)學(xué)模型思想的滲透與孕育，靈活地創(chuàng)設(shè)學(xué)生探索數(shù)學(xué)模型和運用數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)情境，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正成為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)積淀的活動，也使學(xué)生的模型思想在不斷積累中得以成長，模型素養(yǎng)在長期的歷練中得以發(fā)展，直至產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。