基于過程性教學的“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象”教學設計

董麗平 劉錫光

【摘 要】 數(shù)學教學不僅要注重知識性目標的達成，更要關(guān)注過程性目標的落實，實現(xiàn)過程性目標需要強調(diào)學生自主參與學習過程，經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程，并獲得經(jīng)歷與體驗，由此提升數(shù)學核心素養(yǎng).本文以“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”教學設計為例，分析課堂教學環(huán)節(jié)如何實現(xiàn)過程性目標，體會數(shù)學教學中的過程性意義.

【關(guān)鍵詞】 過程性教學;三角函數(shù);教學設計

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出“高中數(shù)學教學以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)”.數(shù)學教學不僅要讓學生掌握知識，還要經(jīng)歷知識的形成過程，理解知識的本質(zhì)，提高發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的能力，這就需要開展“過程性教學”，本文以“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”教學設計為例，旨在研究其教學中的過程性意義.

1 過程性教學的要義

過程性教學是指在數(shù)學課堂中落實過程性目標的教學.過程學鼻祖懷特海在《過程與實在》中提出：“實體如何形成的方式構(gòu)成了實體是什么內(nèi)容……它的‘存在由它的‘形成性所組成，這就是過程的原則”[1].并且進一步指出：“教學設計的學習目標必須源于對生命價值和意義提升的沖動，其目的是引起和指導思維和思想自由的展開，而具體目標是不可知的，只有這個思維和思想的展開過程是實在的”[2].這種過程性教育思想為教學設計展示了不同的視角.當今的學習心理學也認為，學生的數(shù)學學習是基于學生已有認知結(jié)構(gòu)基礎之上的主動建構(gòu)過程，并且這一過程是一個動態(tài)的再創(chuàng)造學習過程.所以，過程性教學揭示了數(shù)學發(fā)生發(fā)展的過程，揭示了人類思維發(fā)展的過程，其教學反映學生數(shù)學學習的心理過程和認知規(guī)律，真正體現(xiàn)了學生數(shù)學知識的建構(gòu)過程.

2 教學設計要素分析

2.1 內(nèi)容及教學重點

“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”選自北師大版高中數(shù)學必修四第一章第八節(jié)的內(nèi)容.是在研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)基礎之上，進一步研究生活中常見的函數(shù)類型，本節(jié)課將學習函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象及參數(shù)A、ω、φ對函數(shù)圖象的影響，進一步理解函數(shù)圖象變換的本質(zhì)，是后續(xù)學習“三角函數(shù)的應用”和“三角恒等變換”的重要基礎與鋪墊.基于以上分析，確立本節(jié)課的教學重點為：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象以及參數(shù)A、ω、φ對圖象變換的影響.

2.2 學情及教學難點

學生在之前學習中已掌握“五點作圖法”，了解借助單位圓用正弦線作圖的原理，教師也使用過幾何畫板直接作圖.但高一學生抽象概括能力較低，需借助具體事物幫助理解建立模型，抽象概括出圖象變換的規(guī)律.學生雖對“左加右減”“上加下減”有粗略的淺顯認識，但要理解函數(shù)圖象變換的本質(zhì)及三個參數(shù)對函數(shù)圖象的影響且圖象變換方法不唯一，這對學生來說理解掌握起來難度較大.

2.3 教學目標及教學方法

（1）教學目標：

①通過具體勻速圓周運動實例，抽象并建立函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的數(shù)學模型;

②理解A、ω、φ對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響，經(jīng)歷y=sinx到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）圖象變換的過程，體會化歸和數(shù)形結(jié)合思想，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng);

③通過觀察圖象、代數(shù)論證，理解函數(shù)圖象變換的本質(zhì)，通過對問題的自主探究、合作交流，培養(yǎng)獨立思考能力和團結(jié)協(xié)作的精神.

（2）教學方法：采用探究發(fā)現(xiàn)為主，啟發(fā)誘導為輔的教學方法.

3 教學過程

3.1 創(chuàng)設情境，建立模型

問題1：現(xiàn)實生活中有哪些周而復始的現(xiàn)象？

問題2：如何用數(shù)學的方法來刻畫現(xiàn)實世界中周而復始的現(xiàn)象呢？

選取與學生生活聯(lián)系緊密的例子摩天輪作為引入，利用動畫演示摩天輪的轉(zhuǎn)動，并設置問題：摩天輪半徑為Am（A>0），且按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，角速度為ωrad/min（ω>0），其圓心到地面的高度為b.當摩天輪上的任一點P運動到某點P0處時開始計時.你能確定x（min）時刻時點P的坐標嗎？

圖1

問題3：圓是刻畫周期性運動最簡潔的數(shù)學模型，你還能借助單位圓繼續(xù)發(fā)揮圓的作用來研究摩天輪問題嗎？如圖1，以摩天輪圓心為原點建立平面直角坐標系，并追問：

①該函數(shù)模型的自變量、因變量分別是什么？為什么？

②若要研究摩天輪上某點P的縱坐標y與時間x的關(guān)系，你能試著分析出y關(guān)于x的一般函數(shù)解析式嗎？

設計意圖 過程性教學注重揭示知識的來龍去脈，故以學生熟悉的摩天輪引入，目的在于幫助學生搭建“腳手架”探究出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式，體會學習函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的必要性，感悟其是刻畫自然界周期現(xiàn)象常見的數(shù)學模型.

3.2 探究新知，制定策略

經(jīng)上述探究，讓學生經(jīng)歷得出y關(guān)于x的一般函數(shù)解析式為y=Asin（ωx+φ）+b的過程.為了研究的簡便，先研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ），將其研究清楚后，只要向上平移b個單位即可得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）+b.

問題4：在你以前學習的函數(shù)大家庭中，有函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的“親戚”嗎？

問題5：在y=sinx圖象的基礎上，如何研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象？

在面對多個變量時，要引導學生可采用控制變量法將復雜問題簡單化，接著分小組合作討論，共同制定研究方案，課堂上為了統(tǒng)一意見，將采取由內(nèi)而外的順序，即先探究參數(shù)φ、ω再探究參數(shù)A對函數(shù)圖象的影響.

設計意圖 過程性教學的一個基本原則是靈活運用已有知識，故引導學生建立起函數(shù)y=Asin（ωx+φ）與函數(shù)y=sinx的聯(lián)系，在實現(xiàn)從未知到已知轉(zhuǎn)變的同時讓學生在學習過程中體會感悟問題研究的一般方法.

3.3 操作探究，分析模型探究1 探究參數(shù)φ對函數(shù)圖象的影響

問題6：函數(shù)y=sin（x+φ）與函數(shù)y=sinx的圖象有什么關(guān)系？

函數(shù)y=sin（x+φ）不是一個具體的函數(shù)，是不能直接畫出其函數(shù)圖象的，故引導學生從具體函數(shù)出發(fā)，用三種方法幫助學生理解參數(shù)φ對函數(shù)圖象的影響.

1）“五點作圖法”畫具體函數(shù)圖象

引導學生選取三個不同的φ（φ1>0、φ2=0、φ3<0）值進行探究，用“五點作圖法”畫出函數(shù)y=sinx+π4、y=sinx、y=sinx-π6的圖象，從具體函數(shù)的研究中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而推廣到一般情況，初步得出函數(shù)y=sin（x+φ）的圖象可由函數(shù)y=sinx圖象上所有的點向左（φ>0）或向右（φ<0）平移φ個單位得到.

2）幾何畫板動態(tài)演示

驗證所得結(jié)論是否正確，直觀感受點之間的變化.

3）圖象變換的本質(zhì)即點的變換

設點P（x，y）為函數(shù)y=sinx圖象上任意一點，將點P（x，y）沿x軸向左平移φ（φ>0）個單位，則得點Q（x-φ，y），而點Q（x-φ，y）的坐標滿足函數(shù)y=sin（x+φ），故點Q在函數(shù)y=sin（x+φ）的圖象上，反之同理.探究2 參數(shù)ω對函數(shù)圖象的影響（ω>0）問題7：函數(shù)y=sinωx與函數(shù)y=sinx的圖象有什么關(guān)系？

學生思維容易受到前面影響，繼續(xù)考慮由y=sinx經(jīng)過平移得到函數(shù)y=sinωx，為了突破難點，讓學生繼續(xù)從具體函數(shù)入手，經(jīng)歷動手操作、探究、證明的過程.

1）“五點作圖法”畫具體函數(shù)圖象

選取三個不同的ω（ω>1，ω=1，ω<1）值進行探究，如用“五點作圖法”畫出函數(shù)y=sin2x，y=sinx，y=sinx2的圖象.通過觀察圖象，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象變換并非通過某種平移得來，而是橫坐標之間存在一個倍數(shù)關(guān)系.

2）幾何畫板演示

用幾何畫板動態(tài)演示圖象變換過程，驗證結(jié)論.

3）圖象變換的本質(zhì)即點的變換

設點P（x，y）為y=sinx圖象上的任意一點，將點P（x，y）的橫坐標變?yōu)閤ω，得到點Qxω，y，而點Qxω，y滿足函數(shù)y=sinωx，故點Q在函數(shù)y=sinωx的圖象上.探究3 探究參數(shù)A對函數(shù)圖象的影響（A>0）

問題8：函數(shù)y=Asinx與函數(shù)y=sinx的圖象有什么關(guān)系？

探究參數(shù)A對函數(shù)圖象的影響相比φ、ω容易些，故讓學生依照上述探究參數(shù)φ、ω的方法，從具體函數(shù)出發(fā)探究總結(jié)規(guī)律，最后教師完善結(jié)論.

設計意圖 創(chuàng)設經(jīng)歷性、體驗性和探究性的數(shù)學活動，用三種不同方法加以解釋驗證，讓學生在活動中經(jīng)歷、體驗、探究數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程，領(lǐng)悟其中的規(guī)律，深化學生的理性思考.探究4 探究參數(shù)簡單復合對函數(shù)圖象的影響

研究完三個參數(shù)對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響后，需將三個參數(shù)進行整合，即探究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象.

下列函數(shù)圖象是如何由函數(shù)y=sinx的圖象變換得到的？

①y=3sin2x;②y=3sinx-π3;③y=3sin2x-π3.

第①、②小題可以幫助學生理解圖象變換需分步驟，思考后口述說出答案，第③小題動手寫出變換過程，由于圖象變換方法不唯一，容易出錯，故在學生中各找一個正確和錯誤的具有代表性的變換過程，讓學生上黑板板演，展示其解法.

畫出變換后函數(shù)的圖象能驗證兩種解法是否正確，根據(jù)解法1中圖象上點P仍在變換后所得函數(shù)圖象上，而解法2中點P不在變換后所得函數(shù)圖象上，故解法2不正確，但學生較難理解其錯誤原因，故用摩天輪問題進行解釋：如圖2，函數(shù)y=sin2x表示初始位置在點A處時點P的縱坐標y與時間x的函數(shù)關(guān)系，函數(shù)y=sin2x-π3表示從點A轉(zhuǎn)動到點P0的縱坐標y與時間x的函數(shù)關(guān)系，點P從點A轉(zhuǎn)動到點P0，轉(zhuǎn)過的角為π3rad，角速度是2rad/min，故轉(zhuǎn)動的時間為π6min，因此平移量為π6，而不是π3[3].

設計意圖 通過具體函數(shù)變換充分暴露學生的思維過程，并從錯誤中發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，進而解決問題，進一步加深對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）變換過程的理解.

3.4 鞏固練習，理解知識

例：畫出函數(shù)y=3sin2x+π6+1的簡圖，并借助摩天輪模型解釋其實際意義.設計意圖 通過畫函數(shù)圖象來鞏固對本節(jié)知識的理解，了解模型的實際意義.

3.5 歸納總結(jié)，反思提升由學生自己回顧本節(jié)課的探究過程，總結(jié)函數(shù)圖象變換的方法.

設計意圖 過程性教學不僅要關(guān)注知識目標，還要關(guān)注過程性目標，幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣，善于反思，使本節(jié)課的總結(jié)成為學生凝練提高的平臺.

3.6 作業(yè)布置，拓展深化

（1）函數(shù)y=2sin3x-π4的圖象是由y=sinx的圖象怎樣變換得到的？

（2）你能試著探究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（其中A<0、ω<0）的圖象嗎？如y=-2sin-2x+π4.設計意圖 作業(yè)的布置應成為過程性教學學生新學習的開端，問題的設置在讓學生繼續(xù)保持濃厚學習興趣的同時還能檢測學生過程性目標的達成情況.

參考文獻

[1] 阿爾弗雷德·諾思·懷特海著.過程與實在[M].楊富斌譯.北京：中國城市出版社，2003：40.

[2] 阿爾弗雷德·諾思·懷特海著.教育的目的[M].徐汝舟譯.北京：三聯(lián)書店，2002：69-72.

[3] 章建躍，李柏青，金克勤，董凱.體現(xiàn)函數(shù)建模思想 加強信息技術(shù)應用——“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”的修訂研究報告[J].數(shù)學通報，2015，54（08）：1-8.

作者簡介 董麗平（1998—），女， 江西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院學科教學數(shù)學專業(yè)在讀研究生.劉錫光，男，江西師范大學《中學數(shù)學研究》雜志主編.