不同版本高中數(shù)學教材中空間距離內(nèi)容的比較研究

【摘 要】 《普通高中數(shù)學課程標準》（2017年版）增加了空間距離的內(nèi)容，如何教成為教師面臨的新問題. 現(xiàn)有文獻中，都是介紹用多種方法求解具體空間距離問題的，幾乎沒有關于如何教空間距離的文章. 于是教材成為一線教師重要的教學資源. 從編排順序、引入方式、空間距離公式推導、例題配比等方面對2020年人教A版《數(shù)學》、2020年人教B版《數(shù)學》、2020年北師大版《數(shù)學》教材中關于空間距離內(nèi)容進行比較研究，最后對空間距離的教學提出具體建議.【關鍵詞】 空間距離;教材比較;投影向量;自然發(fā)生

1 問題的提出

距離是一種非常重要的幾何度量，是培養(yǎng)學生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)的很好的載體.《普通高中數(shù)學課程標準》（2017年版）增加了空間距離的有關內(nèi)容，“能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.”[1]對于新增加的空間距離應該如何教、如何學呢？

通過知網(wǎng)查閱相關文獻，發(fā)現(xiàn)中學數(shù)學教師的文章都是介紹用多種方法求解具體空間距離（特別是點到平面距離）問題，而關于點到平面距離公式推導方法的文章都出自高等院校，而且都是用高等數(shù)學的方法進行推導，對高中教學幾乎沒有參考價值.幾乎沒有關于在中學如何教空間距離的文章.

于是教材成為一線教師重要的教學資源.本文對2020年人教A版《數(shù)學》、2020年人教B版《數(shù)學》、2020年北師大版《數(shù)學》教材中關于空間距離內(nèi)容進行比較研究，并對空間距離的教學提出建議.

2 三個版本教材的比較

2.1 編排順序的比較

平面解析幾何、空間向量與立體幾何是高中數(shù)學幾何與代數(shù)主題的重要內(nèi)容，三個版本教材都將平面解析幾何、空間向量與立體幾何安排在選擇性必修第一冊.人教A版、人教B版教材都是先學習空間向量與立體幾何，后學習平面解析幾何;而北師大版教材是先學習平面解析幾何，后學習空間向量與立體幾何，而且在平面解析幾何中推導點到直線距離公式時，用的就是向量法.

人教A版教材中，空間距離安排在空間夾角之前，先學習點到直線距離，再學習點到平面距離.

人教B版教材中，空間距離安排在空間夾角之后，按照兩點間距離、點到直線距離、點到平面距離、相互平行的直線之間、相互平行的平面與平面之間的距離的順序?qū)W習.

北師大版教材中，空間距離安排在空間夾角之后，先學習點到平面距離，后學習點到直線距離.

2.2 引入方式的比較

人教A版教材直接提出問題：“我們知道，立體幾何中的距離問題包括點到直線、點到平面、兩條平行直線以及兩個平行平面的距離問題等，如何用空間向量解決這些距離問題呢？”[2]

人教B版教材在“情境與問題”欄目中，列舉生活中的幾個與“距離”有關的實際情境.提出問題：“到目前為止，你學習了哪些平面內(nèi)的距離，這些距離定義有什么共同點？你能得到空間中任意兩個圖形之間的距離具有的性質(zhì)嗎？”教材回顧已經(jīng)學過的距離的定義，概括出“這些距離都可以歸結(jié)為點與點的距離，而且是所有的點與點之間最短連線的長度.空間中任意兩個圖形之間的距離也具有類似的性質(zhì)，此距離要小于等于兩個端點分別在這兩個圖形上的線段長.”[3]

北師大版教材首先給出距離的一般概念：“幾何學中，經(jīng)常需要計算兩個圖形間的距離，一個圖形內(nèi)任一點與另一個圖形內(nèi)任一點的距離中的最小值，通常叫作這兩個圖形的距離.”[4]然后提出問題：“計算距離是空間度量最基本的問題，如何用向量方法求解這些距離呢？”接著回顧平面內(nèi)點到直線距離的幾種求解方法，即綜合幾何法、解析幾何法、平面向量法.指出“所有距離都可以概括為垂線段的長度.垂直反映了距離的本質(zhì)，用向量方法求解距離，也要抓住這一點，法向量是反映垂直方向的最為直觀的表達形式，因此可以通過一個向量在法向量方向上作投影向量的方法來求解距離.”

可見，人教A版和北師大版教材在引入環(huán)節(jié)就明確了用向量法解決距離問題，其中北師大版教材還進一步明確通過一個向量在法向量方向上作投影向量的方法來求解距離，人教B版教材沒有明確用什么方法來求解距離.人教B版和北師大版教材都給出了空間兩個圖形之間距離的概念.

2.3 空間距離公式推導方法的比較

2.3.1點到直線距離公式的推導方法

方法1 如圖1，已知直線l的方向向量為u，A為直線l外一點，B為直線l上的已知點，向量BA′是向量BA在u上的投影向量，則BA′=BA·uu，點A，B為已知，則AB可求，在Rt△ABA′中，由勾股定理，得，AA′=BA2-BA′2=BA2-BA·uu2

方法2 如圖2，P為直線AB外一點，在直線AB上取一點Q，

令AQ=λQB，通過PQ⊥AB求得參數(shù)λ，以確定Q的位置，則PQ即為點P到直線AB的距離.

方法3 如圖3，P為直線l外一點，u0是直線l的單位方向向量，點A是直線l上任意給定的一點，對于直線l上任意一點Q，總存在實數(shù)λ，使得AQ=λu0，于是PQ=PA+AQ=PA+λu0，

PQ2=PA2+λ2+2λPA·u0，當λ=-PA·u0時，PQ2最小，最小值為PA2-PA·u02.

所以點P到直線l的距離為PA2-PA·u02.

2.3.2 點到平面距離公式的推導方法

如圖4，已知平面α的法向量為n，B是α內(nèi)的已知點，A是α外一點，過點A作平面α的垂線，垂足為點A′，點A到

平面α的距離就是BA在法向量n上的投影向量A′A的模，因此AA′=BA·nn=BA·nn.

在點到直線距離公式的推導中，人教A版和北師大版教材用的是方法1，人教B版用的是方法2，北師大版教材還提供了方法3供學有余力的學生參考.方法1利用向量投影求解距離主要是運用距離的幾何屬性，方法3利用距離的最小性求解則主要是運用代數(shù)方法.在點到平面距離公式的推導中，三個版本教材的方法是完全一樣的，都利用向量投影求解距離.

2.4 例題數(shù)量和內(nèi)容的比較

人教A版教材僅有一個例題，以正方體為載體，求點到直線、直線到平面的距離.然后總結(jié)得到用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾角等問題;（3）把向量運算的結(jié)果“翻譯”成相應的幾何結(jié)論.

人教B版教材有四道例題.例1是以平行六面體為載體，求對角線的長（兩點間的距離），由于幾何體相對復雜，教材沒有建立空間直角坐標系，而是將相關向量用一組基底表示，運用向量的一般運算求解，充分體現(xiàn)了向量在解決較為復雜的立體幾何問題時的便利性和應用的廣泛性.緊跟著教材有一段話：“例1也可以不借助向量而通過構造三角形來求解，請讀者自行嘗試，并分別總結(jié)出不同解法的一般步驟和聯(lián)系.”例2是以正方體為載體，求點到直線的距離.在空間直角坐標系內(nèi)，利用向量工具，先求出垂足的坐標，將點到直線距離轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離.例3是以四棱錐為載體，求點到平面的距離，利用距離公式求解.例4是以正方體為載體，求直線與平面的距離.

北師大版教材有四個例題.例1是以正方體為載體，求點到平面的距離.例2是以正方體為載體，求直線到平面的距離;例3是利用點到平面距離定義解決問題，綜合運用向量的知識，有一定難度.教材總結(jié)出用向量方法求點到平面距離問題的一般步驟：（1）確定法向量;（2）選擇參考向量;（3）確定參考向量在法向量方向上的投影向量;（4）求投影向量的長度.例4是以長方體為載體，求點到直線的距離.

綜上所述，三個版本教材都很好地落實了課標理念，又反映出明顯的版本特色.在編排順序上，北師大版教材將平面解析幾何安排在立體幾何之前，符合學生認知發(fā)展規(guī)律，先學二維空間后學三維空間，同時平面幾何中用向量法推導點到直線距離又為空間距離學習做好了方法的準備;人教B版教材先學習立體幾何，是為了必修課程與選擇性必修課程的自然銜接（必修課程中最后一個內(nèi)容是立體幾何初步），保證立體幾何學習的完整性.在空間距離處理上，北師大版和人教A版教材更突出向量法，注重方法的一致性，強調(diào)通性通法，學習主線清晰明確;而人教B版教材，更突出方法的多樣性、選擇性，引導學生從不同角度看待和解決問題.北師大版和人教A版教材在正文中都給出了用向量法（投影向量）求點到平面、點到直線距離的一般方法和基本步驟，人教B版教材正文中沒有給出用向量法（投影向量）求空間距離的基本步驟，只是提醒學習者自己整理，特別是人教B版教材正文中沒有介紹利用投影向量求點到直線距離的方法.

3 教學建議

3.1 加強對不同版本教材的比較研究，體會編寫意圖，開闊視野，提高對數(shù)學本質(zhì)的理解.結(jié)合學生實際，靈活處理教材，合理參考其他版本教材，真正做到用教材教，而不是教教材.

3.2 建議三個版本教材在練習、習題中適當增加有實際背景的題目，讓學生感受數(shù)學的應用價值.人教A版和北師大版可以“鼓勵學生靈活選擇運用向量方法與綜合幾何方法，從不同角度解決空間距離問題，通過對比體會向量方法的優(yōu)勢”;對于人教B版教材強烈建議增加用投影向量法研究點到直線距離的內(nèi)容，歸納出用向量研究空間距離的一般步驟，強調(diào)通性通法.

3.3 空間距離的教學建議（以人教B版教材為例）

三個版本教材中點到平面距離公式的推導都是利用投影向量的方法，非常簡短，既反映了距離的本質(zhì)，也體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美.但是，筆者認為對于學習者來說不太自然，非常突兀.在已經(jīng)進行的一輪教學實踐中，絕大部分教師就是按照教材提供的方式來教學，學生能接受，而且能套用公式解決簡單問題.但是在對學生進行訪談時發(fā)現(xiàn)學生只注重套公式解決求距離問題，把立體幾何簡單地理解為“算的幾何”，對公式推導中的數(shù)學邏輯、思想方法等沒有深刻理解.

筆者發(fā)現(xiàn)，在學習用向量法推導點到平面距離的過程中，學生有兩點困惑，一是在研究距離時為什么要在平面上任取一點，二是怎么想到將距離和投影向量建立聯(lián)系（學生對投影向量的認識不太深刻）.為了突破這兩個難點，筆者建議通過設計一系列問題或任務展開學習，為學生提供獨立思考、合作交流的空間，讓學習自然地發(fā)生.

圖5

首先讓學生畫出點到平面距離的基本圖形（圖5），明確學習任務是用向量法求點到平面的距離.

問題1 如何用向量語言描述已知條件和所要解決的問題？

不同層次的學生會給出不同的回答：

學生1：已知平面α和點A，求線段AA′的長;

學生2：已知平面α的法向量和點A的坐標，求線段AA′的長;

學生3：已知平面α的法向量和點A的坐標，求向量A′A的模;

（如果學生沒有提前預習教材，一般只能達到這個程度.）

教師可以提示或追問：點A可由其坐標唯一確定，平面α能由其法向量唯一確定嗎？

學生4：不能.平面α由它的法向量和α上一點唯一確定.在平面α上任取一點B，現(xiàn)在的問題就是，已知點A，B的坐標和平面α的法向量，求向量A′A的模（圖4）.

到此，已知條件才算找足，才達到教材中研究問題的思維起點.

有些學生可能會有疑問，為什么求空間夾角時只用平面的法向量，而求空間距離時要在平面上取一點呢？建議在章節(jié)復習課中進行探討或解釋說明.空間夾角、空間距離的本質(zhì)是用角度、距離來定量刻畫線面的位置關系.角度是度量兩個方向差異的量[5]，刻畫空間夾角時，方向是基本要素.于是直線的方向向量和平面的法向量，就具有很重要的基礎性地位.距離是度量兩個位置差異的量，在研究空間距離時必須明確是哪一條直線、哪一個平面.所以在研究距離問題時，除了直線的方向向量、平面的法向量外，還需要在直線上、在平面上任取一點.問題2 如何利用向量工具求點到平面的距離呢？

已知點A、B的坐標和平面α的法向量n（圖4），在△ABA′中，AB可求，利用直線AB的方向向量和平面α的法向量可求cos∠BAA′=BA·nBA·n，再利用三角函數(shù)求出AA′.

AA′=BAcos∠BAA′=BA·BA·nBA·n

=BA·nn.

這是學生比較自然能想到的方法，到此已經(jīng)得到點到平面的距離公式.但是思考還沒有結(jié)束.

《普通高中數(shù)學課程標準》（2017年版）增加了“了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義”的內(nèi)容.《課標》還指出“除了兩點之間的距離，垂直反映了距離的本質(zhì)，法向量是反映垂直方向的最為直觀的表達形式，法向量的方向和法向量上投影向量的長度既體現(xiàn)了幾何圖形直觀，又提供了代數(shù)定量刻畫，因此利用法向量和投影向量可以研究距離問題.”[1]

那么，該如何比較自然地與投影向量建立聯(lián)系呢？筆者建議可以通過以下兩種方法.

方法1 教師引導學生對上述結(jié)果進行再認識（這種處理辦法在高中數(shù)學教材中多次用到），

即對公式進行適當變形，得到AA′=BA·nn=BA·nn，而nn是單位向量，回憶一個向量與一個單位向量的數(shù)量積的幾何意義，就可以從投影向量的角度解釋公式.

方法2 教師引導學生觀察基本圖形（圖4），分析BA，n，A′A， 這三個向量之間的關系.從圖中發(fā)現(xiàn)AA′⊥BA′，所以A′A是BA在法向量n上的投影向量.A′A的數(shù)量就等于BA與單位法向量的數(shù)量積（單位法向量為nn），向量A′A的模就是點A到平面α的距離.

即 AA′=BA·nn=BA·nn.

問題3：能用類似的方法求點到直線的距離嗎？

學生可以通過類比進行獨立探究，在探究過程中，會遇到一個新問題，直線的法向量不易得到，需要進行調(diào)整.在直線l上任取一點B，于是點A、B的坐標和直線l的方向向量u是已知的（圖1），向量BA′是向量BA在u上的投影向量， 則 BA′=BA·uu.

再由勾股定理，得到AA′=BA2-BA′2=BA2-BA·uu2.

總之，教材為“教”與“學”活動提供了基本線索和具體內(nèi)容，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要教學資源.教師應深入研究教材，靈活使用教材.激活學生已有的知識儲備、活動經(jīng)驗，為學生提供獨立思考、合作交流的空間，讓學習在課堂自然地發(fā)生.

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：43;138.

[2] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.

普通高中教科書·數(shù)學選擇性必修第一冊（A版）[M].北京：人民教育出版社，2020：33-35.

[3] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學教材實驗研究組.

普通高中教科書·數(shù)學選擇性必修第一冊（B版）[M].北京：人民教育出版社，2020：52-58.

[4] 普通高中教科書·數(shù)學選擇性必修第一冊[M].北京：北京師范大學出版社，2020：131-136.

[5] 章建躍.章建躍數(shù)學教育隨想錄上卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017：435.

作者簡介 劉雪明（1969—），女，北京房山人，高級教師，北京市骨干教師.北京市房山區(qū)教師進修學校高中數(shù)學教研員，主要從事中學數(shù)學教學研究與考試評價工作.