單元起始課應緊扣“知識從何而來”

【摘 要】 問題情境是否合適的關鍵在于其設置是否有利于學生的學，以及如何讓學生會學，它既要能引領整個單元的學習，還要讓學生知道新知識的必要性，發(fā)生、發(fā)展的方向，探究方法等，教師在設置問題情境時，應關注其能否在大單元教學中起到一以貫之的引領作用，能否揭示數學概念的本質，特別是概念的內在邏輯結構，并關注在探究的過程中提升學生的數學能力，發(fā)展學生的學科素養(yǎng).

【關鍵詞】 ?單元起始課;新知識;來龍去脈

單元教學對發(fā)展學生核心素養(yǎng)有著重要的積極作用，我們在關注如何全局把握、整體規(guī)劃單元教學時，更應該關注如何上好單元起始課，關注單元起始課應緊扣“知識從何而來”這一中心問題.《普通高中數學課程標準（2017版2020年修訂）》[1]指出：在教學實踐中，要不斷探索和創(chuàng)新教學方式，不僅要重視如何教，更要重視如何學，引導學生會學數學，養(yǎng)成良好的學習習慣.因此從落實如何學和如何會學這一目標的角度，教師在教學實踐中更應強調學習的必要性和緊要性，讓學生充分了解知識的發(fā)生、發(fā)展過程，厘清數學概念的邏輯結構，從而激發(fā)學生學習動力，并促進學生有條理的自主學習與探究.

那么，如何緊扣“知識從何而來”這一中心問題呢？知識當然是從問題情境中來，更是從一個“合適”的問題情境中來.《課標》[1]明確指出：基于數學學科素養(yǎng)的教學活動應該把握數學的本質，創(chuàng)設合適的教學情境，提出合適的數學問題，引發(fā)學生的思考與交流，形成和發(fā)展數學學科素養(yǎng).何謂“合適”？本文以“隨機變量及其概率分布”（蘇教版選修2-3）的教學設計和實錄為例談談自己的認識.

1 教材分析與學情分析

1.1 單元教學目標

在必修課程已經學習概率的基礎上，本單元將學習某些離散型隨機變量的分布列及其均值、方差等內容，使學生初步學會利用離散型隨機變量思想描述和分析某些隨機現象的方法，并能用所學知識解決一些簡單的實際問題，進一步體會概率模型的作用及運用概率思考問題的特點，使學生初步形成用隨機觀念觀察、分析問題的意識.

1.2 目標分析解讀

通過本單元的學習，讓學生學會從定量的角度來刻畫離散型隨機變量，這是隨機觀念從定性到定量的一次提升，有助于學生思維的發(fā)展.在教學實踐中，通過對具體問題的分析，理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，認識分布列對于刻畫隨機現象的重要性，通過實例理解超幾何分布及其推導過程，了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，理解取有限值的離散型隨機變量的均值、方差的概念等.

1.3 單元設計意圖

本單元以學生熟悉的實例為背景，按照“問題情境—數學活動—意義建構—數學理論—數學應用—回顧反思”的順序結構來展開.通過對實際問題的分析、歸納，激發(fā)學生開展活動，促使學生對現實世界中蘊涵的數學模型進行思考，進而作出理性判斷，使學生能夠更注重應用數學的觀念、方法和語言去提煉、分析和解決問題，從而達到培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和理性思維的目的，同時拉近新知識與學生的距離，提高學生的興趣，降低學生的難度.

1.4 學情分析

學生已經掌握了古典概型的相關知識，會求簡單的概率問題，在上一單元里又系統學習了排列、組合、二項式定理的相關知識，從知識層面，如何將兩者融合對學生來說是陌生的;給出較為復雜的概率問題，學生受限于閱讀能力和分析問題能力，很難構建新的數學模型解決問題;將問題數學化，并用數學觀點進行抽象，特別是上升到變量描述問題，更是學生欠缺的能力.從能力層面，學生需要經歷一個從抽象概括到數學建模以及數學應用的過程.

2 教學設計與實錄

2.1 教學目標[2]

1）在對具體問題的分析中，了解隨機變量、離散型隨機變量的意義;

2）理解取有限值的離散型隨機變量及其概率分布的概念與性質;

3）理解取離散型隨機變量服從兩點分布的概念;

4）認識概率分布對于刻畫隨機現象的重要性.

2.2 教學重難點

1）理解離散型隨機變量的意義;

2）理解離散型隨機變量及其概率分布的概念與性質.

2.3 教學過程

1）問題情境

問題1：在現實生活中，我們會遇到許多較為復雜的概率問題.

（1）某工廠生產的一批產品共N件，其中有M件不合格產品，在隨機取出的n件產品中，嘗試研究“取到不合格品數”的概率問題.

（2）語文老師要從10篇古文中隨機抽3篇不同的古文讓學生背誦，規(guī)定至少背出其中兩篇才能過關，某位同學只能背誦出其中的6篇，他能過關的概率是多少？某同學想知道要會背誦幾篇“性價比”最高？

我們可以用怎樣的數學模型來刻畫這些復雜的概率問題？如何運用這些數學模型解決問題？

設計意圖 提出較為復雜的概率問題，讓學生觀察、分析，在嘗試解決問題的過程中感到困難和知識的匱乏，激發(fā)新的求知欲望，提高學習動力.問題設置具有單元引領作用，又有一定的梯度，讓學生在探究中獲得新知識，并有目的、有方向地進行.

2）學生活動

師：情境2雖然發(fā)生在我們身邊，但面對我們陌生的問題，很多同學甚至無法理解題意，情境1卻讓我們感到熟悉，因為在組合的學習中，我們見過類似的例子，但是為什么大家還倍感困難呢？

生1：因為N，M，n這些字母的值不能確定，甚至不合格品M與抽取產品件數n之間的大小關系也不知道，要分類討論吧？我沒有想清楚.

生2：可以特殊化，先解決簡單的問題，如N=100，M=3，n=10，即：

某工廠生產的一批產品共100件，其中有3件不合格產品，在隨機取出的10件產品中，嘗試研究“取到不合格品數”的概率問題.

設計意圖 特殊化思想是高中數學學習中的一種重要的基本思想和方法，對于分析問題、解決問題等都有著很重要的作用.從一般到特殊，降低思維要求，尋求規(guī)律方法，再從特殊到一般，將所尋規(guī)律方法升華.

師：你認為解決這個問題最應該關注什么？怎么處理？

生3：取到不合格品數會有變化，可能是0個、1個、2個、3個，所以要分四種情況分別計算.

記“抽取產品，取到0個不合格品”的事件為A;

“抽取產品，取到1個不合格品”的事件為B;

“抽取產品，取到2個不合格品”的事件為C;

“抽取產品，取到3個不合格品”的事件為D，再分別計算概率.

師：很好，計算我們暫時放后處理，先來反思以上的處理過程，通過特殊化，令N=100，M=3，n=10，當然它還可以取其它值，如M=15怎么辦？

生4：需要記16個事件，記到字母P后再計算概率.

師：有危機感吧？26個字母用完了怎么辦？

生5：可以接著用希臘字母.（學生們在開心的大笑后陷入思考）

生6：我發(fā)現，列出的事件只有不合格品數在改變，可以用數字0、1、2、3來表示事件.這樣即使事件再多也夠用了.（學生們表示贊許，有了成功的喜悅）

師：將隨機事件的結果與實數一一對應的做法非常有效的簡化了事件的記法，同學們能否再進一步，又可以用什么刻畫數的變化呢？

經過一段思考后，多位學生說出字母，變量，其他人表示認同.

教學過程如下圖所示.

設計意圖 學生利用已有知識解決較為復雜的問題，會遇到無法克服的障礙，教師作為教學的引導者通過問題的設疑，激發(fā)學生的求知欲，讓學生經歷兩個重要的抽象過程，一是從具體的問題情境抽象出數字，將事件結果與實數一一對應，二是將實數抽象為字母，進行變量化，從而構建隨機變量模型.

3）建構模型

定義：一般地，如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量.隨機變量通常用大寫拉丁字母X，Y，Z表示.也通常用小寫拉丁字母ξ，η，ζ表示.

師：你能再舉出一些這樣的例子嗎？

生7：擲骰子，出現的結果可以與數字1，2，3，4，5，6一一對應，也可以用隨機變量X表示，變量X可能取值是1，2，3，4，5，6.

生8：打靶，出現的結果可以與數字0，1，2，3，4，5，6，…，10一一對應，也可以用隨機變量Y表示，變量Y可能取值是0，1，2，…，10.

問題2：（1）隨機抽查新生嬰兒的性別，抽查的結果可能是男，也可能是女，出現的結果能否用隨機變量表示？若用隨機變量Z表示，則變量Z可能取值是什么？

（2） 隨機抽一副撲克牌中的一張，抽的結果可能是紅桃，也可能是黑桃、方片、梅花，出現的結果若用隨機變量ξ表示，則變量ξ可能取值是什么？

設計意圖 雖然建構了隨機變量的模型，但學生的理解是狹隘的，認為只有結果是數字才可以用隨機變量刻畫，教師及時利用兩個問題拓寬學生對概念的認識，即使結果沒有數字，也可以將樣本點實數化，進而用隨機變量刻畫.

教學過程如圖所示.

2.隨機抽一副撲克牌中的一張，抽的結果可能是紅桃，也可能是黑桃、方片、梅花，出現的結果若用隨機變量ξ表示，則變量ξ可能取值是什么？

說明：P（{ξ=1}）可以簡記為：P（ξ=1）

4）模型應用

問題3：利用所學知識研究下列概率問題.

（1）拋擲一枚質地均勻的硬幣一次;

（2）同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣一次.

生9：設“拋擲硬幣一次出現正面向上”為事件1，“拋擲硬幣一次出現反面向上”為事件2，則隨機變量X可能取值是1，2.P（X=1）=1/2，P（X=2）=1/2.

師：好的，在這個隨機試驗中，隨機變量X是否有實際意義？能否賦予隨機變量X確定的實際意義？

生10：用隨機變量X表示“拋擲硬幣一次，出現正面向上的次數”，則隨機變量X可能取值是1，2.P（X=1）=1/2，P（X=2）=1/2.

第（2）問教學過程略.

設計意圖 建構了隨機變量的模型后，學生的理解依然還是狹隘的，會刻意將實驗結果實數化，再刻意引入變量表示.實際上，隨機變量有著重要的實際意義，而不是簡單地用字母表示數，理解隨機變量的實際意義有助于后續(xù)用數學工具研究概率問題的學習.

5）形成概念

給出概率分布的概念和性質，并給出兩點分布或0-1分布的概念.

概率分布的定義：

一般地，假定隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是x1，x2， …，xn且P（X=xi）=pi，（i=1，2， …，n）則稱之為隨機變量X 的分布列，簡稱為X的分布列，也可以用表格表示，

Xx1x2…xn

Pp1p2…pn

此表叫概率分布表，它和分布列都叫做隨機變量X 的概率分布.

性質：（1）pi≥0（i=1，2，…，n）;

（2）p1+p2+ …+pn=1.

問題4：下列變量中，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量？并說明理由.

（1） 2021年4月6日南京祿口機場候機室中的旅客數量;

（2） 2021年4月6日北京至南京的航班數（正常情況下）;

（3）某乘客在機場游戲廳練習投籃，投中即停止，則他停止時已投籃的次數;

（4） 2021年4月6日北京至南京CA1817次航班到達時間.

設計意圖 隨機變量可分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量，而離散型隨機變量又可以分為取有限值的和取無限值的兩種情況，此處安排目的是讓學生作出正確的辨析.

6）課堂小結

（1）本節(jié)課你學習了哪些知識？學會了什么？有哪些新的認識？談談你學習過程中的重要心得體會.

（2）你認為后續(xù)還會學習哪些知識？你認為會怎樣開展研究？

設計意圖 在實際教學中，不僅老師要有大局觀，整體規(guī)劃，還要讓學生也具有這樣的意識，理解“知識從何處來”，又該“往何處去”，培養(yǎng)他們提出問題、分析問題、解決問題的能力和意識，發(fā)展學生的數學學科素養(yǎng).

3 結 語

問題情境是否合適的關鍵在于其設置是否有利于學生的學，以及如何讓學生會學，它既要能引領整個單元的學習，還要讓學生知道新知識的必要性，發(fā)生、發(fā)展的方向，如何延伸、如何探究？教師在設置時，不能僅從難度、梯度上考慮，更為重要的是設置的問題情境能否揭示數學概念的本質，特別是概念的內在邏輯結構，要關注在探究的過程中怎樣提升學生的數學能力，發(fā)展學生的學科素養(yǎng).

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020：80-81.

[2] 石志群.高中數學教學參考書（選修2-3）配蘇教版普通高中數學課程標準實驗教科書[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2012：53.

作者簡介 孫秉正（1973—），男，安徽淮北人，中學高級教師，教育碩士.2005年榮獲秦淮區(qū)數學學科帶頭人，2008年榮獲南京市優(yōu)秀青年教師，主要從事數學教育和教學研究，發(fā)表論文10余篇.