深度學習在數(shù)學教學中的生成與進階

【摘 要】 《中國高考評價體系說明》要求數(shù)學考查轉向，實現(xiàn)學生在數(shù)學教學中的深度學習.學生的深度學習生成與進階可以從四個方面實施，即明確教學三種邏輯，尋找學生最近發(fā)展區(qū);合理設計體驗情境，設計數(shù)學具身活動;把握學生數(shù)學需求，高效進行知識交互;助力學生知識建構，主動回歸現(xiàn)實應用.深度學習的實施還需要教師確立學生體驗為核心的教學理念，優(yōu)化教學環(huán)節(jié).

【關鍵詞】 復數(shù);深度學習;HPM;具身

2019年教育部頒布了《中國高考評價體系說明》，搭建“一核四層四翼”評價結構，其中“四翼”提出了考查要求，即“基礎性、應用性、綜合性、創(chuàng)新性”.2020年高考數(shù)學山東卷以及適應性考試的試題都清晰地體現(xiàn)了考查要求的轉向，由考知識轉向考應用，由考解題轉向考方案，由考問題轉向考創(chuàng)新，這種轉向要求數(shù)學課堂教學能夠實現(xiàn)學生的深度學習.

深度學習是指基于人類探究、創(chuàng)新和有目的行為，旨在激發(fā)學生與教師的活力與激情，讓學生更合乎人類的本性，讓學生更直接、深度地投入、參與到學習中，進而實實在在地改變生活，改變世界[1].主要體現(xiàn)在三方面，一是運用知識解決現(xiàn)實問題;二是反思生活與改變世界;三是促進核心素養(yǎng)的生成.

1 深度學習在復數(shù)教學中的生成與進階

數(shù)學教學作為一個系統(tǒng)，包含靜態(tài)要素：教師、學生、教學內容與教學環(huán)境.四個靜態(tài)要素相互關聯(lián)、相互影響，以學生深度學習為導向的數(shù)學教學需要四個要素協(xié)調運作，教師需要發(fā)揮積極作用，為教學系統(tǒng)提供驅動力，將數(shù)學教學中的靜態(tài)要素串聯(lián)為動態(tài)系統(tǒng)，促進深度學習的生成與進階，圖1為生成深度學習的四要素關系圖.

1.1 明確教學三種邏輯，尋找學生最近發(fā)展區(qū)

最近發(fā)展區(qū)是指學生現(xiàn)有發(fā)展水平和潛在發(fā)展水平之間的距離，教師的教學設計首先要依據(jù)所教學生的學情，尋找學生的最近發(fā)展區(qū)，確立教學目標，即在教師的幫助下學生可以夠得著的潛在發(fā)展水平.教師可以從知識邏輯、教學邏輯、認知邏輯三種邏輯角度，分析并尋找學生的最近發(fā)展區(qū).

案例1 復數(shù)的概念（2019年人教A版）教學分析

學生現(xiàn)有水平：能夠解決判別式大于或等于0的實系數(shù)一元二次方程根的問題，理所當然地認為判別式小于0時的實系數(shù)一元二次方程無實數(shù)根;曾經(jīng)歷過一次數(shù)系擴充，即方程的根從有理數(shù)到無理數(shù)的過程，在沒有無理數(shù)概念時，學生能夠解方程x2-4=0，但是不能求解方程x2-2=0的根.

學生的最近發(fā)展區(qū)：學生學習了對數(shù)的概念，如2x=3中x的對數(shù)表達，通過引入新的數(shù)學符號對概念進行定義.

三種邏輯：①知識邏輯，數(shù)系的擴充已經(jīng)完成了自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)四個過程，每一過程都是在上一數(shù)系基礎上，重新定義新的數(shù)，同時后者的運算規(guī)則兼容前者的運算規(guī)則;②教學邏輯，即類比推理的方法可以得出復數(shù)概念的新定義與運算法則;③認知邏輯，面對方程x2+2=0，可以選擇方程無解，也可以思考無解的原因是我們關于數(shù)的認識局限性，如在整數(shù)域內解方程x2-2=0，也是無解的，但是如果在實數(shù)域內解方程x2-2=0，則是有解的，所以是否有解與所處于的數(shù)域有關，自然得出復數(shù)的定義，這是一種基于自身體驗產(chǎn)生的需求問題，是一種具身認知.

點評 ①教師的教學不僅僅是將知識告訴學生，還應在學生已有認知基礎上構建新認知，所以教學首先要清楚學生關于所要學習知識的最近發(fā)展區(qū)，讓新知識的構建有錨點，案例一中針對學生已經(jīng)學過的數(shù)系擴充進行了分析，同時對一些數(shù)學概念進行了回顧，準確尋找到學生知識體系中的生長點.②三種邏輯中，知識邏輯基于數(shù)學大概念，教學邏輯基于歸納推理的嚴格邏輯證明，認知邏輯中學生的體驗是教學的核心，三種邏輯的正確理解與應用是教學高效的保證.

1.2 合理設計體驗情境，設計數(shù)學具身活動

情境體驗是學生從“他心”到“我心”轉化的環(huán)節(jié)，在體驗前教師所展示的問題或學生所處的情境，對于學生而言，是與自身無關的身外情境，在經(jīng)歷過具身活動（物理具身、思維具身、想象具身與情感具身）后，學生成為情境的主角，問題的解決成為其自身的需求.

具身活動指身體、思想、情感與想象協(xié)調參與的活動，不能狹隘地理解為必須身體參與的教學活動才是具身活動.教學中的具身活動需要根據(jù)教學內容與學情進行情境設計，學習內容直接來源于現(xiàn)實生活，可以設計從現(xiàn)象到學科知識的全過程體驗;學習內容來源于其它數(shù)學模塊知識的，可以從HPM（數(shù)學史）的角度進行體驗，這種體驗是“像數(shù)學家一樣學習數(shù)學”，是從數(shù)學舊知生成數(shù)學新知的體驗.

案例2 復數(shù)的概念（2019年人教A版）情境活動

學生活動1：問題1：已知方程組x+y=10，

xy=40，分別求x，y的值.

生1：代入消元，可得一元二次方程x2-10x+40=0，其中判別式Δ=-60<0，所以方程無解，即原方程組無解.

師：歷史上曾經(jīng)有人給出了方程的解，早在五百多年前意大利數(shù)學家卡爾丹研究的問題“把分成兩部分，使其乘積為”這一問題，卡爾丹給出兩個“數(shù)”5+-15和5--15，認為這兩個數(shù)就是題中方程組的解.

生2：根式下面是負數(shù)沒有意義的.

師：很長一段時間大家都這么認為，但是如果將這兩個數(shù)當作有意義，通過檢驗，它們是滿足原方程組的.所以這種寫法有其合理的一面，即原有范圍內的數(shù)不能解決這一問題.回想數(shù)的幾次擴充，我們用什么樣的視角理解這兩個看似沒有意義的數(shù).學生活動2：

問題2：在整數(shù)范圍內求解方程x2-2=0;在有理數(shù)范圍內求解方程2x=3.

生3：求出的解都不滿足要求，第一個方程求出是x=±2，第二個方程的根是log23，前者不是整數(shù)，后者不是有理數(shù).

師：那么如何改編問題，就可以順利地求出解？

生4：將題中的數(shù)域進行擴張就可以了.

學生活動3：

問題3：請同學們參考問題2中的數(shù)域擴張，對問題1也進行一次數(shù)域擴張.（同學討論、自學）

點評 復數(shù)來源于解方程時的困境，它并非是身體物理參與發(fā)生的.①上述活動基于HPM，即數(shù)學史角度重現(xiàn)復數(shù)概念的發(fā)生發(fā)展，讓學生在解題中既感受到復數(shù)出現(xiàn)的合理性，又感受到復數(shù)定義的迫切性;②在教學邏輯上，采用類比的方法，在歷史上，每一次數(shù)域的擴充都伴隨著新概念的出現(xiàn)，讓學生重走數(shù)學家的探索之旅.

1.3 把握學生數(shù)學需求，高效進行知識交互

傳統(tǒng)教學由教師端單向供給知識，深度課堂中教學首先由學生端對知識產(chǎn)生強烈需求，教師再進行知識靶向供給.前者是一種大水漫灌式的教學，與學生需求無關，是教師完成教學任務，對知識的自我構建;后者是精準地滴灌，學生需求是教師教學的方向，是基于學生對知識的自我構建.在知識交互中，教師與學生分別處于知識的上下游，當教師進行知識傳遞時，學生只有處于積極開放的狀態(tài)才能更好地對知識進行內化，所以深度學習的各環(huán)節(jié)呈前后邏輯關系.

案例3 復數(shù)的概念（2019年人教A版）知識交互

問題4：如圖2，觀察歷史上曾經(jīng)發(fā)生過的數(shù)域擴張，說明數(shù)域擴張的特點.

生5：數(shù)域擴張的特點有兩個，一是擴張均來源于解方程的需要，二是都加入了新數(shù).

師：總結的非常到位，我們來看一下歷史上的復數(shù)是如何定義的.由數(shù)學家歐拉引入字母i來表示方程x2+1=0的解，規(guī)定i2=-1，其中i叫做虛數(shù)單位.

視頻介紹：①復數(shù)的產(chǎn)生：“虛數(shù)”是17世紀數(shù)學家笛卡爾創(chuàng)設，當時認為它不是真實存在的數(shù)字，后來發(fā)現(xiàn)虛數(shù)可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數(shù)同樣真實，虛數(shù)軸和實數(shù)軸構成的平面稱復平面，復平面上每一點對應著一個復數(shù).歐拉與復數(shù)，1746年歐拉在給哥德巴赫的一封信中提到虛數(shù).1748年，歐拉發(fā)表了對復數(shù)的發(fā)展具有重要作用的歐拉公式：eix=cosx+isinx，并用這個結果處理大量問題.②高斯與復數(shù)：1831年高斯發(fā)表有關復數(shù)幾何表示的相關論文，1831年高斯在論文《雙二次剩余理論》以及 1831年的《哥廷根學報》論文中，對復數(shù)進行清晰的幾何表示.高斯認為虛數(shù)是客觀存在的[2].

師：復數(shù)的定義、復數(shù)的分類、復數(shù)相等（略）

點評 復數(shù)在其發(fā)生發(fā)展過程中備受爭議，許多學者均認為它虛無縹緲，沒有實際價值.在教學過程中，有些學生也存在這種認識，如何克服這種心理，是教學的重點.所以本節(jié)課依據(jù)數(shù)學史觀（HPM）處理，幫助學生迅速完成數(shù)系擴充的合理性建構，教學過程讓學生像數(shù)學家一樣研究擴充過程.

1.4 助力學生知識建構，主動回歸現(xiàn)實應用

傳統(tǒng)數(shù)學教學往往強調數(shù)學知識的邏輯性及抽象性，忽視數(shù)學知識的實際應用，這既容易造成學生對數(shù)學學習產(chǎn)生畏難心理，又容易形成數(shù)學只停留在學習場景中的局面，因此高中數(shù)學教學迫切需要讓數(shù)學走進現(xiàn)實生活.

案例4 復數(shù)的概念（2019年人教A版）回歸體驗

師：復數(shù)在量子力學、系統(tǒng)分析、信號分析中有著廣泛地應用，但是在初等數(shù)學以及日常生活中很少涉及，在教學中應對學生指出，它現(xiàn)在還處于認識狀態(tài)，我們生活中的手機信號處理都需要復數(shù)知識，它在物理學中有著廣泛應用，當前需要從基礎學起.問題6：當m為何實數(shù)時，復數(shù)z=m2+m-2+（m2-1）i分別是_______.

（1）實數(shù); （2）虛數(shù);（3）純虛數(shù);（4） 0.

問題7：解方程 x3-1=0.

生：略.

點評 復數(shù)知識的特殊性，使得我們找不到符合學生已有認知的現(xiàn)實世界實例，教師需要指出復數(shù)的發(fā)展方向，讓學生明白學習知識的必要性，此時數(shù)學是抽象的、脫離現(xiàn)實生活的.在體驗中設計兩個問題，分別回顧復數(shù)的基礎知識與解方程的應用，其中問題7是復數(shù)的具身體驗.

2 深度學習在數(shù)學教學中的思考

數(shù)學是一門高度抽象的學科，其發(fā)生發(fā)展需要依據(jù)嚴謹?shù)倪壿嬐评?，?shù)學也是許多學科的基礎，所以數(shù)學的教與學需要教師厘清教學內容的知識邏輯，遵循學生的認知邏輯，明晰教學邏輯，促進學生的深度學習.

2.1 改進教學理念，培養(yǎng)學科素養(yǎng)

數(shù)學學科素養(yǎng)的形成需要深度學習.由于深度學習需要學生明晰學習內容的生活價值，即清楚為什么學習，理解學習內容的發(fā)展方向，即學習后能解決什么問題，因此深度學習可以激發(fā)學生學習興趣，強化學生學習內因.同時深度學習中的教師處于顧問的角色，僅在學生解決問題遇到障礙時，才提供幫助，這種幫助可以是知識的交互活動，也可以學生體驗的指導，無論哪一種形式，教師都與學生處于平等狀態(tài)，學生的學習是一種成功的自我建構過程，在建構過程中自然地實現(xiàn)了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析的學科素養(yǎng)培養(yǎng).

傳統(tǒng)教學過分注重靜態(tài)知識的傳遞，忽視數(shù)學學科素養(yǎng)的形成，主要有三個方面原因，一是高中數(shù)學內容處于從直觀向抽象過渡階段，高考內容繁雜且變化多樣，許多學生對數(shù)學有著畏懼心理;二是學生對為何學習這些內容并不清楚，很多時候感覺是教師強加于學生的知識，學生對數(shù)學缺乏興趣，導致許多學生厭學;三是教學質量評價行政化，行政主管部門對教師的考核主要以考試成績?yōu)橹?，為此教師不僅要在有限的時間內完成課本上內容的教學任務，還要補充大量的課外知識，甚至需要超前教學.三重原因導致數(shù)學學科教學打著素質教育的旗幟，走的卻是應試教育.以深度學習為目標的數(shù)學教學可以促進學生高階思維的養(yǎng)成，有助于破解傳統(tǒng)教學中的困境.

2.2 優(yōu)化教學環(huán)節(jié)，實現(xiàn)深度學習

課堂教學中的學生常以兩種狀態(tài)呈現(xiàn)，一是聽眾的狀態(tài);二是基于自身需求的狀態(tài).傳統(tǒng)教學（甲）中學生處于前一種，深度學習的教學（乙）中學生處于后一種.

教師教學順序如圖3：

圖3中，教師甲處于主導地位，教學流程中，教師先將知識傳遞給學生，并對所傳遞知識進行總結，再讓學生利用知識解決問題.教學系統(tǒng)中的教師與學生各自處于高低不同位置，是一種不平等的教學形式;學生的學習動力并非來源于自身需求，更多地是教師的灌輸產(chǎn)生的動力，學生對于知識仍處于自我認知狀態(tài).

教師乙先讓學生體驗問題、發(fā)現(xiàn)問題，主動提出自己遇到的困難，教師針對學生的解題需求組織教學，具有很強針對性.學生對現(xiàn)象問題的體驗形成教學的原動力，學生對知識的困惑與釋疑形成教學的表層主線，學生對知識的感悟與生成形成教學的深層線索，最終實現(xiàn)新知與舊知的融合，有效解決真正問題，提出自己的解決問題方案，形成自己的解題特征，即為深度學習.

深度學習下的教學環(huán)節(jié)需要以學生的具身感知為中心，教師在學生力圖擴充自己的內部視域時出現(xiàn)，在學生體驗知識與生成知識時及時退出，不越位不缺位.3 結語

深度學習強調學習要在知識理解的基礎上發(fā)生，通過對知識的再背景化、再情境化，還原知識的真實面貌，讓學習者與知識的原初與本質相遇;強調學習者認知、情感、態(tài)度、行為的高投入性和學習過程的沉浸性;強調學習者能夠在眾多知識與思想間建立關聯(lián)，把握學科的核心思想、意義與本質[3].教師、學生作為教學系統(tǒng)的兩個核心要素，都需要全新的思想理解深度學習，讓自己成為深度學習的動力源，培養(yǎng)學生的高階思維.

參考文獻

[1] 張良，楊艷輝.核心素養(yǎng)的發(fā)展需要怎樣的學習方式[J].比較教育研究，2019（10）：29-36.

[2] 孫慶華，包芳勛.復數(shù)的歷史發(fā)展及在中國早期的傳播[J].西北大學學報（自然科學版），2006（03）：502-506.

[3] 張曉娟，呂立杰.SPOC平臺下指向深度學習的深度教學模式建構[J].中國電化教育，2018（04）：96-101.

作者簡介 張陽（1976—），男，江蘇蘇州人，中學數(shù)學高級教師.研究方向：數(shù)學現(xiàn)象教學與具身課堂.蘇州市學科帶頭人.