從認(rèn)知心理學(xué)的角度談數(shù)學(xué)思維分類問題

羅敏娜

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)主要是思維教學(xué)，在數(shù)學(xué)中思考問題和解決問題都離不開數(shù)學(xué)思維.數(shù)學(xué)思維的分類并不是孤立的，每種思維都是互相聯(lián)系、相互作用的，不同特點的思維在數(shù)學(xué)中起著不同的作用.

【關(guān)鍵詞】認(rèn)知心理學(xué);數(shù)學(xué)思維;基本類型

思維作為一種人類大腦的基本活動方式，是一種對客觀現(xiàn)實的概括和反映.由于各種數(shù)學(xué)活動的目的不同，因此有關(guān)數(shù)學(xué)的思維方式也不同.本文將從思維的方式、廣度、靈活性、復(fù)雜性、結(jié)果等五個角度對數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析.

一、邏輯思維和直覺思維

從思維的方式來分，思維可分為邏輯思維和直覺思維.

（一）邏輯思維

邏輯思維是以思維方式為依據(jù)劃分的一類思維.邏輯思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中是非常重要的一種思維活動，主要特點是以數(shù)學(xué)的基本概念、基本理論、基本公式為依據(jù)，利用分析法、綜合法、概括法、歸納法等多種方法進(jìn)行抽象和演繹，用數(shù)學(xué)符號得出結(jié)論.

例1 一個棱長為8厘米的正方體木塊，表面全部涂上顏料，然后把它分成棱長是2厘米的小正方體若干塊，其中三面涂有顏料、兩面涂有顏料、一面涂有顏料、沒涂顏料的各有多少塊？

分析 首先啟發(fā)學(xué)生說出正方體的特點，最好動手畫出圖形，然后探討把大正方體分成棱長為2厘米的小正方體怎樣分割，最后觀察圖形得出結(jié)論.

解 有8塊三面涂有顏料，有24塊兩面涂有顏料，有24塊一面涂有顏料，有8塊沒有涂顏料[1].

（二）直覺思維

直覺思維是指通過觀察能夠快速領(lǐng)悟到對象的性質(zhì)和特點的一種思維活動，主要是以思維的直觀性為特征.直覺思維不要求有一定的依據(jù)，這樣就可以使學(xué)生跳過邏輯論證的環(huán)節(jié)，立即做出猜想，即是突然認(rèn)知的，在一剎那時間內(nèi)完成的.

（三）邏輯思維與直覺思維的關(guān)系

邏輯思維是對在大量的直覺思維的基礎(chǔ)上提出的大膽猜想的嚴(yán)格論證.直覺思維必須以邏輯思維的方法為基礎(chǔ)，邏輯思維方法作為組成因素滲透在直覺思維的過程中，是更高級的思維形式和方法.

二、孤立思維和網(wǎng)絡(luò)思維

從思維的廣度來分，思維分為孤立思維和網(wǎng)絡(luò)思維.

（一）孤立思維

孤立思維是指在某種單一情境中進(jìn)行的思維活動，主要特點是思維的目標(biāo)方向確定，相互關(guān)聯(lián)的知識點比較單一，思考問題的過程比較簡單.例如，立體幾何中垂線定理這一節(jié)課的例題和習(xí)題，都只能聯(lián)想到垂線定理及其逆定理，學(xué)生只能從這兩個方面思考.

（二）網(wǎng)絡(luò)思維

網(wǎng)絡(luò)思維是在實際環(huán)境中進(jìn)行的思維，它的特點主要表現(xiàn)為能夠根據(jù)題目迅速聯(lián)想，并擇優(yōu)試用.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得的知識越來越多，縱向與橫向形成知識網(wǎng)絡(luò)，擴(kuò)充了知識結(jié)構(gòu)，并在大腦記憶系統(tǒng)中構(gòu)建了數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成了一個條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的有機(jī)體系，從而優(yōu)化解題過程[2].

（三）孤立思維和網(wǎng)絡(luò)思維的關(guān)系

網(wǎng)絡(luò)思維是根據(jù)題目的條件能夠迅速產(chǎn)生很多想法，通過思考擇優(yōu)選出最適合的一種方法的思維過程.而孤立思維只是根據(jù)當(dāng)節(jié)講的內(nèi)容和例題，在做題過程中產(chǎn)生同樣的解題思路，方法單一，縱向與橫向之間沒有形成知識網(wǎng)絡(luò).

三、慣性思維和求異思維

從思維的靈活性來分，思維分為慣性思維和求異思維.

（一）慣性思維

慣性思維是根據(jù)思考的常規(guī)模式或者人的思考習(xí)慣進(jìn)行的思維活動，它的主要特點是與人的常規(guī)下思維方式相一致，思考過程中可以促使我們?nèi)ヂ?lián)想，但思考過程缺乏一定的創(chuàng)新性和多樣性.例如，求最值問題時，我們常常建立一個二次函數(shù)去解答.再如，在題目中出現(xiàn) “至多”“至少”“不大于”等詞語時，我們經(jīng)常想到要用反證法去證明，這些都是一種慣性思維方式的體現(xiàn).

例3 求證：四邊形至少有一個內(nèi)角的度數(shù)小于或等于90°.

分析 對于這樣的問題，我們采用反證法去思考，通過推理得出與已知矛盾，即可證明假設(shè)是錯誤的，所以四邊形至少有一個內(nèi)角的度數(shù)小于或等于90°.

（二）求異思維

求異思維是違反常規(guī)的思維，如反向思維、對立思維、悖向思維等，它的特點是與平時的思維習(xí)慣相反.

在數(shù)學(xué)解題過程中，我們經(jīng)常會想到的是幾何題用幾何方法來做，代數(shù)題用代數(shù)方法解決，這是一種單一思維方式，也是思維的常規(guī)性體現(xiàn).而這里說的求異思維是指幾何題用代數(shù)方法解決，代數(shù)題用幾何方法解決.

（三）慣性思維與求異思維的關(guān)系

求異思維向慣性思維的轉(zhuǎn)換就是建立新的思維定式，慣性思維的打破就是求異思維，對求異思維概括和總結(jié)的結(jié)果可以進(jìn)一步豐富慣性思維.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，對求異思維的訓(xùn)練是思維定式的一個重大突破，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時，要建立新的更高層次的思維模式，求異思維便是很好的體現(xiàn).

四、單一思維和綜合思維

從思維的復(fù)雜性來分，思維分為單一思維和綜合思維.

（一）單一思維

單一思維是在思考問題時運用一種思維方式進(jìn)行思考的思維活動，它的主要特點是思維的難度很低，思維格式單一，思維比較清楚.例如，利用數(shù)學(xué)歸納法證明題時，它的思維格式比較清楚，只要記住并直接套用即可，不容易造成錯誤.

（二）綜合思維

綜合思維是指同時運用多種思維方式進(jìn)行思考的過程，它的主要特點是多種思維方法有機(jī)結(jié)合，多種思維之間的關(guān)系是相互補(bǔ)充.

例6 求證：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

證明 如圖所示，畫一圓，圓心為O，在圓上取兩點A，B，連接AO并延長交圓O于C點，連接CB，OB，∠ACB為劣弧AB所對的圓周角，∠AOB為劣弧AB所對的圓心角.

顯然∠AOB=∠ACB+∠CBO.

因為OC與OB為圓O的半徑，所以O(shè)C=OB，