一例不定積分的多種計(jì)算方法

【摘 要】不定積分是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重難點(diǎn)之一，不定積分有多種計(jì)算方法，如直接積分法、換元積分法、分部積分法等，對(duì)于不同類(lèi)型的積分可采用不同的方法。本文通過(guò)一道不定積分例題，使用不同的方法來(lái)解決問(wèn)題，通過(guò)探究多樣性的解題方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);不定積分;一題多解

【中圖分類(lèi)號(hào)】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）16-0011-02

高等數(shù)學(xué)教學(xué)尤其強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生邏輯思維、創(chuàng)新思維、抽象思維的培養(yǎng)。而通過(guò)研究不定積分題目解法的多樣性，可以打破傳統(tǒng)思維，開(kāi)拓新思路，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性[1-6]。

1? ?一例不定積分的多種計(jì)算方法詳解

例題：解不定積分。

方法1：第一類(lèi)換元積分法，分子分母同乘cos x，從而可以湊微分，再進(jìn)行換元。

接下來(lái)令 sin x=t，

原式=

換元后根據(jù)有理函數(shù)的不定積分進(jìn)行拆項(xiàng)，分別計(jì)算不定積分，

最后，將元進(jìn)行回代，即

。

方法2：利用三角恒等式 sin2x+cos2x=1進(jìn)行變形，，然后拆項(xiàng)，分別計(jì)算不定積分，拆項(xiàng)后為：

接著單獨(dú)計(jì)算一下這部分不定積分，首先進(jìn)行換元，

令 sin x=t ，上式，此時(shí)的三角積分轉(zhuǎn)換為有理函數(shù)的積分，我們利用有理函數(shù)積分的計(jì)算方法來(lái)求解，

最后，注意將元進(jìn)行回代，將t= sin x帶回原式，則

方法3：利用導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系進(jìn)行湊微分，

即。

這個(gè)方法對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，但同時(shí)也是最簡(jiǎn)便的一種計(jì)算方法。

方法4：利用二倍角公式得，

再進(jìn)行換元，令，則

再換元，令 tan t=u ，則

最后，將元進(jìn)行回代，則

方法5：利用萬(wàn)能公式求解，令，cos x=

，，則

現(xiàn)在將三角函數(shù)的不定積分轉(zhuǎn)換為有理函數(shù)的不定積分，用待定系數(shù)法繼續(xù)求解。

最后，將元進(jìn)行回代，則

2? ?一題多解的教學(xué)意義

數(shù)學(xué)的魅力在一題多解中得以彰顯，一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高思維的靈活性，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，同時(shí)能引導(dǎo)學(xué)生在探索中學(xué)習(xí)，在探索中提高，有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)和成長(zhǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

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[5]陳賢峰.一道隱函數(shù)不定積分的多種解法[J].高等數(shù)學(xué)研究，

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[6]張玥，鄒健.一道不定積分的幾種解法[J].科技風(fēng)，2020（6）.

【作者簡(jiǎn)介】

宋小平（1994～），女，漢族，山東煙臺(tái)人，碩士，助教。研究方向：高等數(shù)學(xué)。

Calculation Methods for an Indefinite Integral

Xiaoping Song

（Department of Public Education， Shandong College of Traditional Chinese Medicine， Yantai， Shandong， 264001）

Abstract： Indefinite integral is one of the important and difficult points in higher mathematics learning. There are many kinds of calculation methods for indefinite integral， such as direct integral method， substitution integral method， partial integral method， etc. Different methods can be used for different types of integrals. By an indefinite integral example， this paper deals with solving one problem with different methods and explores the diversity of problem-solving methods， so as to cultivate students divergent thinking.

Key words： advanced mathematics; indefinite integral; multiple solutions to one problem