2021年高考“數(shù)列”專題解題分析

張文濤

摘? 要：通過對(duì)2021年高考數(shù)列試題的解題分析，給出典型試題的解法、分析和歸納，并由此給出備考建議.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);數(shù)列;解法分析

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理等素養(yǎng)起著重要作用，能夠較好地考查學(xué)生的能力與素養(yǎng). 因此，該內(nèi)容一直是高考考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn).

綜觀2021年高考數(shù)學(xué)試卷，所有試卷均對(duì)數(shù)列內(nèi)容進(jìn)行了考查. 本文針對(duì)2021年高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)的數(shù)列試題進(jìn)行解法分析，整理出基本類型和特點(diǎn)，提出本專題教學(xué)與備考的建議.

一、試題分析

2021年高考數(shù)學(xué)數(shù)列試題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，題型包括選擇題、填空題和解答題，圍繞等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)及基本量的運(yùn)算，等差數(shù)列的證明，等差（比）數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求通項(xiàng)、求和，數(shù)列的應(yīng)用等多方面進(jìn)行考查. 同時(shí)，側(cè)重對(duì)分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、類比、歸納等重要數(shù)學(xué)思想的考查.

1. 等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)及基本量的運(yùn)算

等差（比）數(shù)列基本量的運(yùn)算是等差（比）數(shù)列中的一類基本問題，等差（比）數(shù)列涉及五個(gè)基本量[a1，n，dq，an，Sn]，一般可以“知三求二”通過列方程（組）來解決.

例1 （全國新高考Ⅱ卷·17）記[Sn]是公差不為0的等差數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和，若[a3=S5]，[a2a4=S4].

（1）求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式;

（2）求使[Sn>an]成立的[n]的最小值.

解：（1）設(shè)等差數(shù)列[an]的公差為[d d≠0].

由題意，知[a1+2d=5a1+10d，a1+da1+3d=4a1+6d.]

解得[a1=-4，d=2.]

所以[an=2n-6].

（2）由（1），得[Sn=n2-5n].

要使[Sn>an]，即[n2-5n>2n-6]，

解得[n<1]或[n>6].

由[n∈N*]，得[n≥7].

所以使[Sn>an]成立的[n]的最小值為7.

【評(píng)析】該題第（1）小題為等差數(shù)列的通項(xiàng)及基本量的運(yùn)算，可以根據(jù)題意直接聯(lián)立方程組，求解等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式. 第（2）小題的本質(zhì)是解關(guān)于[n]的不等式，并由此確定[n]的最小值，求解過程中特別要注意[n∈N*].

2. 等差（比）數(shù)列的性質(zhì)

等差數(shù)列的常見性質(zhì)主要有以下四個(gè)方面.

（1）如果[an]為等差數(shù)列，則當(dāng)[n≥2，n∈N*]時(shí)，[an]為[an-1，an+1]的等差中項(xiàng).

（2）如果[an]為等差數(shù)列，則[am+an=ap+aq?][m+n=p+q].

（3）已知等差數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和為[Sn]，則相鄰[k]項(xiàng)的和[Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…]成等差數(shù)列.

（4）已知[an]，[bn]為等差數(shù)列，則[λan+μbn+m]也為等差數(shù)列.

等比數(shù)列也有類似的常見性質(zhì).

例2 （全國甲卷·文9）記[Sn]為等比數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和. 若[S2=4]，[S4=6]，則[S6]的值為（? ? ）.

（A）7? ? （B）8? ? （C）9? ? （D）10

解：[Sn]為等比數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，知[S2]，[S4-S2]，[S6-S4]成等比數(shù)列.

因?yàn)閇S2=4]，[S4-S2=6-4=2].

所以[S6-S4=1].

解得[S6=1+S4=1+6=7].

故答案選A.

【評(píng)析】該題考查等比數(shù)列的基本性質(zhì). 根據(jù)試題條件和等比數(shù)列的性質(zhì)，可知[S2]，[S4-S2]，[S6-S4]成等比數(shù)列，求出[S6-S4=1]，從而進(jìn)一步求解答案. 當(dāng)然，該題也可以通過解含基本量的方程組而得到答案.

例3 （北京卷·6）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種. 這五種規(guī)格黨旗的長[a1，a2，a3，a4，a5]（單位：cm）成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為[b1，b2，b3，b4，b5]（單位：cm）， 且長與寬之比都相等. 已知[a1=288]，[a5=96]，[b1=192]，則[b3]的值為（? ? ）.

（A）64? ?（B）96? ?（C）128? ?（D）160

解：由題意，知[288192=a1b1=a5b5=96b5].

解得[b5=64].

由等差數(shù)列的性質(zhì)，得[2b3=b1+b5=192+64].

所以[b3=128].

故答案選C.

【評(píng)析】該題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)，根據(jù)題意可以解出[b5]，進(jìn)而根據(jù)等差中項(xiàng)求出[b3]，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3. 利用[Sn]與[an]的關(guān)系求通項(xiàng)

數(shù)列[an]的通項(xiàng)[an]與前[n]項(xiàng)和[Sn]的關(guān)系是[an=][S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.]

例4 （全國乙卷·理19）記[Sn]為數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和，[bn]為數(shù)列[Sn]的前[n]項(xiàng)積，已知[2Sn+1bn=2].

（1）證明：數(shù)列[bn]是等差數(shù)列;

（2）求[an]的通項(xiàng)公式.

解：（1）由已知[2Sn+1bn=2]，得[Sn=2bn2bn-1]，且[bn≠0]，[bn≠12].

取[n=1]，由[S1=b1]，得[b1=32].

由[S1S2…Sn=bn]，[S1S2…SnSn+1=bn+1]，得[Sn+1=bn+1bn].

而由[Sn=2bn2bn-1]知，[Sn+1=2bn+12bn+1-1]，

所以[bn+1bn=2bn+12bn+1-1]，[bn+1≠0].

所以[22bn+1-1=1bn]，即[bn+1-bn=12]，其中[n∈N*].

所以數(shù)列[bn]是以[32]為首項(xiàng)、以[12]為公差的等差數(shù)列.

（2）由（1），得數(shù)列[bn]是以[32]為首項(xiàng)、以[12]為公差的等差數(shù)列，

所以[bn=32+12n-1=1+n2].

所以[Sn=2bn2bn-1=2+n1+n].

當(dāng)[n]=1時(shí)，[a1=S1=32]，

當(dāng)[n≥2]時(shí)，[an=Sn-Sn-1=2+n1+n-1+nn=-1nn+1].

顯然，[an=-1nn+1]對(duì)于[n=1]不成立.

故[an=32，n=1，-1nn+1，n≥2.]

【評(píng)析】該題考查等差數(shù)列的證明、數(shù)列前[n]項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系、數(shù)列前[n]項(xiàng)積與項(xiàng)的關(guān)系等，利用前[n]項(xiàng)和（積）與數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系，消和（積）得到項(xiàng)（或項(xiàng)的遞推關(guān)系），或者消項(xiàng)得到和（積）的遞推關(guān)系是常用解題策略.

4. 利用錯(cuò)位相減法求和

一般地，如果數(shù)列[an]是等差數(shù)列，[bn]是等比數(shù)列，求數(shù)列[anbn]的前[n]項(xiàng)和時(shí)，可以采用錯(cuò)位相減法求和. 方法是和式兩邊同乘以等比數(shù)列[bn]的公比，然后作差求解. 書寫[Sn]與[qSn]的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊，以便下一步準(zhǔn)確寫出[Sn-qSn]的表達(dá)式.

例5 （全國乙卷·文19）設(shè)[an]是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列[bn]滿足[bn=nan3]. 已知[a1]，[3a2]，[9a3]成等差數(shù)列.

（1）求[an]和[bn]的通項(xiàng)公式;

（2）記[Sn]和[Tn]分別為[an]和[bn]的前[n]項(xiàng)和. 證明：[Tn

（1）解：因?yàn)閇an]是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，且[a1]，[3a2]，[9a3]成等差數(shù)列，

所以[6a2=a1+9a3]，即[6a1q=a1+9a1q2].

所以[9q2-6q+1=0]，解得[q=13].

所以[an=13n-1].

所以[bn=nan3=n3n].

（2）證明：由（1），得[Sn=1 · 1-13n1-13=321-13n]，[Tn=13+232+…+n-13n-1+n3n].

所以[13Tn=132+233+…+n-13n+n3n+1].

故[Tn-13Tn]=[23Tn]

[=13+132+133+…+13n-n3n+1]

[=131-13n1-13-n3n+1]

[=121-13n-n3n+1]，

所以[Tn=341-13n-n2 · 3n].

因?yàn)閇Tn-Sn2=341-13n-n2 · 3n-341-13n=-n2 · 3n<0]，

所以[Tn

【評(píng)析】該題主要考查數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)和錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 對(duì)于數(shù)列不等式的證明，常見的做法有：作差法、作商法和放縮法等，關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列不等式的結(jié)構(gòu)做出靈活選擇.

例6 （全國新高考Ⅰ卷·16）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為[20 dm×12 dm]的長方形紙，對(duì)折1次共可以得到[10 dm×12 dm]，[20 dm×6 dm]兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和[S1=240 dm2]，對(duì)折2次共可以得到[5 dm×12 dm]，[10 dm×6 dm]，[20 dm×3 dm]三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和[S2=180 dm2]，依此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為? ? ? ;如果對(duì)折[n]次，那么[k=1nSk]等于? ? ? .

解：（1）對(duì)折4次可以得到[54×12]，[52×6]，[5×3]，[10×32]，[20×34]，共5種不同規(guī)格.

（2）由于每次對(duì)折后的圖形的面積都減小為原來的一半，故其面積是首項(xiàng)為120、公比為[12]的等比數(shù)列，第[n]次對(duì)折后的圖形面積為[12012n-1]，因而猜想[Sn=120n+12n-1].

設(shè)[S=k=1nSk=120×220+120×321+120×422+…+120n+12n-1]，

則[12S=120×221+120×322+…+120n2n-1+120n+12n].

兩式作差，得

[12S=240+12012+122+…+12n-1-120n+12n]

[=240+601-12n-11-12-120n+12n]

[=360-120n+32n].

因此，[S=720-240n+32n=720-15n+32n-4].

答案：[5];[720-15n+32n-4 dm2].

【評(píng)析】該題重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)列求和能力，以及數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

5. 數(shù)列的奇偶項(xiàng)問題

數(shù)列的奇偶項(xiàng)是高考中的?？紗栴}. 解決此類問題的難點(diǎn)在于清楚數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差（比）等，重點(diǎn)考查分類討論思想.

例7 （上海卷·8）已知無窮遞縮等比數(shù)列[an]和[bn]，滿足[a1=3]，[bn=a2n]，[an]的所有項(xiàng)和為9，則數(shù)列[bn]的所有項(xiàng)和為? ? ? .

解：因?yàn)閇S=limn→+∞a1+a2+…+an=a11-q=31-q=9]，

所以[q=23].

所以[an=323n-1].

所以[bn=a2n=3232n-1=249n-1].

所以數(shù)列[bn]的首項(xiàng)[b1=2]，公比[q=q2=49].

故[S=limn→+∞b1+b2+…+bn=b11-q=185].

答案：[185].

【評(píng)析】該題主要考查數(shù)列的基本問題——等比數(shù)列與無窮遞縮等比數(shù)列的各項(xiàng)和的概念，同時(shí)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

6. 數(shù)列中的恒成立問題

數(shù)列與不等式知識(shí)相結(jié)合的內(nèi)容是數(shù)列中的難點(diǎn). 考查方式主要有三種：一是判斷或證明數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系;二是考查數(shù)列不等式的恒成立問題;三是考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明.

例8 （浙江卷·20）已知數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和為[Sn]，[a1=-94]，且[4Sn+1=3Sn-9 n∈N*].

（1）求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)數(shù)列[bn]滿足[3bn+n-4an=0 n∈N*]，記[bn]的前[n]項(xiàng)和為[Tn]，若[Tn≤λbn]對(duì)任意[n∈N*]恒成立，求實(shí)數(shù)[λ]的取值范圍.

解：（1）當(dāng)[n=1]時(shí)，有[4a1+a2=3a1-9].

所以[4a2=94-9=-274]，解得[a2=-2716].

當(dāng)[n≥2]時(shí)，由[4Sn+1=3Sn-9]，得[4Sn=3Sn-1-9].

兩式相減，得

[4an+1=3an]，即[an+1an=34 an≠0].

所以[a2a1=34].

所以[an]是以[-94]為首項(xiàng)、[34]為公比的等比數(shù)列.

故[an=-9434n-1=-334n].

（2）由[3bn+n-4an=0]，得

[bn=-n-43an=n-434n].

所以[Tn=-3 · 34-2 · 342-1 · 343+0 · 344+…+n-4?34n]，

則[34Tn=-3 · 342-2 · 343-1 · 344+…+n-534n+][n-434n+1].

兩式相減，得

[14Tn=-3 · 34+342+343+344+…+34n-n-4?34n+1]

[=-94+9161-34n-11-34-n-434n+1]

[=-n?34n+1].

所以[Tn=-4n34n+1].

由[Tn≤λbn]，得[-4n?34n+1≤λn-434n]恒成立，即[λn-4+3n≥0]恒成立.

當(dāng)[n=4]時(shí)，不等式恒成立;

當(dāng)[1≤n<4]且[n∈N*]時(shí)，[λ≤-3nn-4=-3-12n-4]，得[λ≤1];

當(dāng)[n>4]且[n∈N*]時(shí)，[λ≥-3nn-4=-3-12n-4]，得[λ≥-3].

綜上所述，[-3≤λ≤1].

【評(píng)析】該題考查數(shù)列通項(xiàng)的求法、錯(cuò)位相減求和及數(shù)列相關(guān)的恒成立問題等. 數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前[n]項(xiàng)和的恒成立問題，常用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為數(shù)列最值問題，或利用函數(shù)性質(zhì)并結(jié)合分類討論來解決. 在分離參數(shù)時(shí)，要注意變量的正、負(fù)和0的討論，考查分類討論思想.

二、典型試題解法分析

1. 與數(shù)列求和相關(guān)的不等式放縮問題的典型解法

與數(shù)列求和相關(guān)的不等式放縮問題是高考的難點(diǎn)問題，常見的解法有三種：一是先求出數(shù)列通項(xiàng)，然后對(duì)通項(xiàng)求和，最后再放縮;二是先求出數(shù)列通項(xiàng)，然后將通項(xiàng)進(jìn)行放縮，最后再求和;三是直接應(yīng)用遞推關(guān)系放縮，再求和，最后放縮.

在解題過程中要注意以下問題.

（1）在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手，考慮對(duì)遞推公式進(jìn)行變形，并注意不等式中不等號(hào)的方向.

（2）在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列和可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏.

（3）在有些關(guān)于數(shù)列和的不等式中，將遞推公式放縮變形成為可以“累加”或“累乘”的形式，即[an+1-an

（4）若放縮后求和發(fā)現(xiàn)太大或者太小，即與所證矛盾，通常有兩種解決方案：一是微調(diào)，看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不變，其余項(xiàng)放縮;二是選擇放縮程度更小的方式進(jìn)行嘗試.

（5）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列的技巧：所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰（或相間）兩項(xiàng).

例9 （浙江卷·10）已知數(shù)列[an]滿足[a1=1]，[an+1=an1+an n∈N*]. 記數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和為[Sn]，則（? ? ）.

（A）[32

（C）[4

解法1：因?yàn)閇a1=1，an+1=an1+an n∈N*]，

所以[an>0]，[S100>a1+a2=32].

因?yàn)閇an+1=an1+an]，

所以[1an+1=1an+1an=1an+122-14].

所以[1an+1<1an+122]，即[1an+1<1an+12 ].

故[1an+1-1an<12 ].

根據(jù)累加法，得[1an≤1+n-12=n+12]，當(dāng)且僅當(dāng)[n=1]時(shí)取等號(hào).

所以[an≥4n+12].

所以[an+1=an1+an≤an1+2n+1=n+1n+3an].

故[an+1an≤n+1n+3].

根據(jù)累乘法，得[an≤6n+1n+2]，當(dāng)且僅當(dāng)[n=1]時(shí)取等號(hào).

由裂項(xiàng)求和法，得[an≤6n+1n+2=61n+1-1n+2].

所以[S100≤612-13+13-14+14-15+…+1101-1102=][612-1102<3].

即[32

故答案選A.

解法2：因?yàn)閇a1=1]，[an+1=an1+an n∈N*]，

所以[an>0]，[S100>a1+a2=32].

由[an+1=an1+an]，得[an+11+an=an].

所以[an+1-an=-an+1an<-an+1an+an+12].

所以[?an+1-anan+1+an<-an+1an+an+12].

化簡，得[2an+1-an<-an+1]，

即[an+1<2an-an+1].

所以[S100=a1+a2+…+a100]

[≤a1+2a1-a2+a2-a3+…+a99-a100]

[=a1+2（a1-a100）]

[=3-2a100]

[<3].

故答案選A.

【評(píng)析】該題是數(shù)列中的不等式問題，是一道綜合性較強(qiáng)的試題. 該題數(shù)列通項(xiàng)公式不易求出，故采用直接對(duì)遞推關(guān)系進(jìn)行放縮，解題過程中蘊(yùn)含數(shù)列放縮、累加、累乘和裂項(xiàng)相消等.

2. 等差（比）數(shù)列判定與證明的典型解法

等差（比）數(shù)列的判定與證明是高考中的常見題型，常見的解題方法如下.

（1）如何判斷一個(gè)數(shù)列是等差（比）數(shù)列.

① 定義法（遞推公式）：[an+1-an=d]（等差數(shù)列），[an+1an=q]（等比數(shù)列），[n]≥1，[d]和[q]均為常數(shù).

② 通項(xiàng)公式：[an=kn+m]（等差數(shù)列），[an=kqn][q≠0]（等比數(shù)列）.

③ 前[n]項(xiàng)和：[Sn=An2+Bn]（等差數(shù)列），[Sn=kqn-k]（等比數(shù)列）.

④ 等差（比）中項(xiàng)：數(shù)列從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)均為前后兩項(xiàng)的等差（比）中項(xiàng).

（2）如何證明一個(gè)數(shù)列是等差（比）數(shù)列.

① 通常利用定義法，尋找到公差（公比）.

② 利用等差（比）中項(xiàng)來進(jìn)行證明，即[?n∈N?]，均有[2an+1=an+an+2]（等差數(shù)列），[a2n+1=anan+2]（等比數(shù)列）.

要證明一個(gè)數(shù)列不是等差（比）數(shù)列，只需舉出反例即可，也可以用反證法.

例10 （全國甲卷·理18）已知數(shù)列[an]的各項(xiàng)均為正數(shù)，記[Sn]為[an]的前[n]項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

① 數(shù)列[an]是等差數(shù)列;② 數(shù)列[Sn]是等差數(shù)列;③ [a2=3a1].

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

解：由①②作條件證明③.

設(shè)[Sn=an+b a>0]，則[Sn=an+b2].

當(dāng)[n=1]時(shí)，[a1=S1=a+b2];

當(dāng)[n≥2]時(shí)，[an=Sn-Sn-1=an+b2-an-a+b2=][a2an-a+2b].

因?yàn)閇an]是等差數(shù)列，

所以[a+b2=a2a-a+2b]，解得[b=0].

所以[an=a22n-1]，所以[a2=3a1].

由①③作條件證明②.

因?yàn)閇a2=3a1]，[an]是等差數(shù)列，

所以公差[d=a2-a1=2a1].

所以[Sn=na1+nn-12d=n2a1]，即[Sn=a1n].

因?yàn)閇Sn+1-Sn=a1n+1-a1n=a1]，

所以[Sn]是等差數(shù)列.

由②③作條件證明①.

設(shè)[Sn=an+b a>0]，則[Sn=an+b2]，

當(dāng)[n=1]時(shí)，[a1=S1=a+b2];

當(dāng)[n≥2]時(shí)，[an=Sn-Sn-1=an+b2-an-a+b2=][a2an-a+2b].

因?yàn)閇a2=3a1]，

所以[a3a+2b=3a+b2].

解得[b=0]或[b=-4a3].

當(dāng)[b=0]時(shí)，[a1=a2，an=a22n-1]. 當(dāng)[n≥2]時(shí)，[an-][an-1=2a2]滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)[an]為等差數(shù)列.

當(dāng)[b=-4a3]時(shí)，[Sn=an+b=an-43a]，[S1=-a3<0]不合題意，舍去.

所以[an]為等差數(shù)列.

【評(píng)析】此類試題考查等差數(shù)列的證明，解題時(shí)抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)通項(xiàng)公式、求和公式和性質(zhì)，逐步推演. 等差數(shù)列的證明通常采用定義法或等差中項(xiàng)法. 此題還考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

三、試題解法賞析

分段數(shù)列是一種特殊的函數(shù)關(guān)系，通常所稱分段數(shù)列是指當(dāng)[n]取不同的值時(shí)，其通項(xiàng)公式（或遞推關(guān)系）也不相同，常見以下兩種形式：以某項(xiàng)為界（或首項(xiàng)獨(dú)立）的分段數(shù)列、以奇偶項(xiàng)為界的分段數(shù)列.

分段數(shù)列雖然表現(xiàn)形式不同，但本質(zhì)上還是以等差數(shù)列或等比數(shù)列為原型，處理過程中需要正確使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的性質(zhì)和求和公式等.

對(duì)于以奇偶項(xiàng)為界的分段遞推數(shù)列，一般利用已知關(guān)系得到奇數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系或偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，再結(jié)合已知數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式等來求解問題.

例11 （全國新高考Ⅰ卷·17）已知數(shù)列[an]滿足[a1=1]，[an+1=an+1，n為奇數(shù)，an+2，n為偶數(shù).]

（1）記[bn=a2n]，寫出[b1，b2]，并求數(shù)列[bn]的通項(xiàng)公式;

（2）求[an]的前20項(xiàng)和.

解：（1）由題意，得[b1=a2=a1+1=2]，[b2=a4=a3+][1=a2+2+1=5].

因?yàn)閇a2k+2=a2k+1+1]，[a2k+1=a2k+2]，[k∈N*]，

所以[a2k+2=a2k+3].

所以[bn+1=bn+3]，即[bn+1-bn=3].

所以數(shù)列[bn]為等差數(shù)列.

故[bn=2+3n-1=3n-1].

（2）（方法1）設(shè)數(shù)列[an]的前[20]項(xiàng)和為[S20]，

則[S20=a1+a2+a3+…+a20].

因?yàn)閇a1=a2-1，a3=a4-1，…，a19=a20-1]，

所以[S20=2a2+a4+…+a18+a20-10]

[=2b1+b2+…+b9+b10-10]

[=210 · 2+9 · 102 · 3-10]

[=300].

（方法2）由（1），得[a2n=3n-1].

則有[a2n-1=a2n-2+2=3n-2].

當(dāng)[n]=1時(shí)，[a1=1]也滿足.

所以[a2n-1=3n-2].

設(shè)數(shù)列[an]的前20項(xiàng)和為[S20]，

則[S20=a1+a2+a3+…+a20]

[=a1+a3+…+a19+a2+a4+…+a20]

[=300].

（方法3）設(shè)[cn=a2n-1+a2n]，則[c1=a1+a2=3].

而[cn+1-cn=a2n+1+a2n+2-a2n-1+a2n=a2n+1-a2n+][a2n+2-a2n+1+a2n+1-a2n+a2n-a2n-1][=6].

所以數(shù)列[cn]是以3為首項(xiàng)、6為公差的等差數(shù)列.

設(shè)數(shù)列[an]的前20項(xiàng)和為[S20]，

則[S20=a1+a2+a3+…+a20]

[=c1+c2+…+c10]

[=300].

（方法4）由題意，知遞推關(guān)系[an+1=an+1，n為奇數(shù)，an+2，n為偶數(shù)]可以表示為[an+1=an+3+-1n2].

則有[an-an-1=3+-1n-12]，

[an-1-an-2=3+-1n-22]，

……

[a2-a1=3+-112].

所以[an-a1=32n-1+-1--1n4].

即[an=6n-3--1n4].

所以數(shù)列[an]的前20項(xiàng)和為[S20=a1+a2+a3+…+][a20? ? ?=300].

【評(píng)析】該題主要考查分段數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的求和等. 常見的解決方法有：直接求通項(xiàng)公式，分類討論求分段數(shù)列通項(xiàng)公式，并項(xiàng)求和等. 同時(shí)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

四、備考建議

通過對(duì)2021年高考數(shù)列試題的分析，并根據(jù)歷年數(shù)列試題的特點(diǎn)，提出如下復(fù)習(xí)建議.

1. 依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)列專題的考查要求進(jìn)行復(fù)習(xí)

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的要求，緊扣新教材的特點(diǎn)，在高考備考過程中注重對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握.

2. 注重?cái)?shù)列通項(xiàng)公式求解方法的培養(yǎng)

在備考過程中，深度概括數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法，特別注意培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化和化歸能力. 通過引入輔助數(shù)列，將復(fù)雜數(shù)列轉(zhuǎn)換為常見的等差數(shù)列或等比數(shù)列. 注重提升學(xué)生的理性思維能力，注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力.

3. 注重掌握基本問題的典型解法

對(duì)在備考過程中遇到的數(shù)列基本問題，要總結(jié)其常用解法及每種解法的基本步驟. 同時(shí)，應(yīng)特別注重?cái)?shù)列與不等式結(jié)合的問題，注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)方法解決數(shù)列問題的能力，使學(xué)生在高考時(shí)能通過類比和轉(zhuǎn)化，順利解決問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]李葉，薛紅霞. 2020年高考“數(shù)列”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2020（10）：14-20.