2021年高考“不等式”專題解題分析

莊艷俠

摘? 要：從不等式的常見問題、不等式的交會問題兩個方面，對2021年全國各地高考數(shù)學(xué)試卷中與不等式相關(guān)的試題的解法進行簡要評析與綜述，并給出解題指導(dǎo)和備考建議.

關(guān)鍵詞：不等式;解題分析;備考建議

不等關(guān)系在現(xiàn)實世界中廣泛存在、貫穿著數(shù)量關(guān)系研究的始終，不等式是不等關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型、是高考考查的重點. 綜觀2021年全國各地高考數(shù)學(xué)試卷，對不等式的考查兼具基礎(chǔ)性和綜合性：基礎(chǔ)性方面，直接考查不等式的基本性質(zhì)、解不等式、基本不等式模型、線性規(guī)劃問題等基礎(chǔ)知識;綜合性方面，不等式作為基礎(chǔ)知識和基本工具，在高考中往往滲透在集合、常用邏輯用語、平面向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、解析幾何、數(shù)列等交會問題中，且涉及的深度和廣度不斷提高. 本文將從不等式的常見問題、不等式的交會問題兩個方面，對2021年全國各地高考數(shù)學(xué)試卷中與不等式相關(guān)的試題的解法進行簡要評析與綜述.

一、不等式的常見問題

1. 解不等式

例1 （全國甲卷·理16）已知函數(shù)[fx=2cosωx+φ]的部分圖象如圖1所示，則滿足條件[fx-f-7π4 ·][fx-f4π3>0]的最小正整數(shù)[x]為? ? ? ? .

[x][y][O][圖1]

解：由圖1可知，[34T=13π12-π3=3π4，]

即[T=2πω=π.]

所以[ω=2.]

因為[f13π12=2，]

所以[2cos13π6+φ=2.]

可得[13π6+φ=2kπ，k∈Z，]

即[φ=-π6+2k-1π，k∈Z.]

所以[fx=2cos2x-π6.]

所以[f-7π4=fπ4=2cosπ2-π6=1，f4π3=][fπ3=0，]

所以由[fx-f-7π4fx-f4π3>0，]

可得[fx-1fx-0>0，]

即[fx>1]或[fx<0.]

接下來確定滿足條件的最小正整數(shù)[x]的方法有如下3種.

（方法1）結(jié)合圖2可知，滿足[fx>1]的離[y]軸最近的正數(shù)區(qū)間為[0， π4，] 無整數(shù)，滿足[fx<0]的離[y]軸最近的正數(shù)區(qū)間為[π3， 5π6.] 最小正整數(shù)[x=2.]

[x][y] [O][圖2]

（方法2）因為[π4<1<π3，] 結(jié)合圖2知，[0

故最小正整數(shù)應(yīng)該滿足[fx<0，]

即[cos2x-π6<0.]

解得[kπ+π3

令[k=0，] 可得[π3

故滿足條件的最小正整數(shù)[x]為[2].

（方法3）因為[f1=2cos2-π6<2cosπ2-π6=1，]

結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足[f（x）<0.]

因為[f2=2cos4-π6<0，] 符合題意，

所以滿足條件的最小正整數(shù)[x]為[2].

故答案為2.

【評析】此題把解一元二次不等式與三角函數(shù)結(jié)合，最終落腳點在解三角不等式. 方法1和方法2均為利用圖象法解不等式，面對不等的問題，我們往往需要用相等的方法來解決，[fx<0]對應(yīng)的圖象在[fx=0]下方部分，[fx>1]對應(yīng)的圖象在[fx=1]上方部分. 方法3開門見山驗證[f1，f2]的符號，相對快捷. 此題綜合性較強、難度較大，求解過程中蘊涵著轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

例2 （全國乙卷·文 / 理23）已知函數(shù)[fx=x-a+][x+3.]

（1）當[a=1]時，求不等式[fx≥6]的解集;

（2）若[fx>-a，] 求[a]的取值范圍.

解：（1）（方法1）當[a=1]時，[fx=x-1+x+3.]

因為[x-1+x+3]表示數(shù)軸上的點到[1]和[-3]的距離之和，

所以[fx≥6]表示數(shù)軸上的點到[1]和[-3]的距離之和不小于[6.]

如圖3，當[x=-4]或[x=2]時所對應(yīng)的數(shù)軸上的點到[1]，[-3]所對應(yīng)的點距離之和等于[6.]

[-6][-5][-4][-3][-2][0][1][2][3][4][5][-1][5][1][1][5][x][圖3]

所以[fx≥6]的解集為[-∞，-4?2，+∞.]

（方法2）當[a=1]時，[fx=x-1+x+3，]

即求[x-1+x+3≥6]的解集.

當[x≥1]時，[x-1+x+3≥6.]

解得[x≥2;]

當[-3

此時無解;

當[x≤-3]時，[1-x+-x-3≥6.]

解得[x≤-4.]

綜上，[fx≥6]的解集為[-∞，-4?2，+∞.]

（2）依題意，[fx>-a，] 即[fxmin>-a.]

（方法1）由絕對值的幾何意義，即求[x]到[a]和[-3]距離之和的最小值，

當[x]在[a]和[-3]之間時最小，

此時[fxmin=a+3，]

故[a+3>-a.]

所以[a+3>-a]或[a+3

解得[a>-32.]

所以[a]的取值范圍是[-32，+∞.]

（方法2）[x-a+x+3≥a-x+x+3=a+3，]當且僅當[a-xx+3≥0]時取等號，

所以[fxmin=a+3.]

故[a+3>-a.]

所以[a+3>-a]或[a+3

解得[a>-32.]

所以[a]的取值范圍是[-32，+∞.]

【評析】此題考查絕對值不等式的解法及絕對值三角不等式. 處理含有絕對值的問題，常見的思路有兩種：一種是利用絕對值的幾何意義，解含有兩個絕對值且其中[x]的系數(shù)相等時，可以考慮利用數(shù)軸上絕對值的幾何意義求解;另一種是借助分類討論，去掉絕對值符號，分類討論后需要在每類的自變量取值范圍內(nèi)求出對應(yīng)的解集，然后求并集. 對于第（2）小題，可以將[fx>-a]恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解，即求[fxmin>-a.] 方法1由絕對值的幾何意義求[fxmin，] 方法2利用絕對值三角不等式求[fxmin，] 最后落腳點都在解絕對值不等式[a+3>-a.] 體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)運算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的考查.

2. 不等式的基本性質(zhì)

例3 （全國新高考Ⅱ卷·7）若[a=log52，b=log83，] [c=12，] 則（? ? ）.

（A）[c

（C）[a

解：因為[a=log52log88=12，]

所以[a

故答案選C.

【評析】此題根據(jù)已知條件先將[a，b]與[12]進行比較，再利用不等式的傳遞性進行比較. 提示我們要注意對函數(shù)圖象和基本性質(zhì)的熟練應(yīng)用，對比較大小的基本方法足夠重視，作差、作比、與中間量比較、利用函數(shù)的單調(diào)性法、利用函數(shù)的圖象法等方法都要掌握到位.

3. 基本不等式及其應(yīng)用

例4 （全國乙卷·文8）下列函數(shù)中最小值為[4]的是（? ? ）.

（A）[y=x2+2x+4] （B）[y=sin x+4sin x]

（C）[y=2x+22-x] （D）[y=ln x+4ln x]

解：對于選項A，[y=x2+2x+4=x+12+3≥3.]

當[x=-1]時，[y]取最小值[3，]

故選項A不符合題意.

對于選項B，因為[0

所以[y=sinx+4sinx≥24=4，] 當且僅當[sinx=][2]時取等號.

因為等號取不到，所以其最小值不為[4，]

故選項B不符合題意.

對于選項C，因為函數(shù)定義域為[R，] 所以[2x>0.]

所以[y=2x+22-x=2x+42x≥24=4，] 當且僅當[2x=][2，] 即[x=1]時取等號.

所以其最小值為[4.]

故選項C符合題意.

對于選項D，當[0

所以[y=ln x+4ln x<0，]

所以選項D不符合題意.

故答案選C.

例5 （天津卷·13）若[a>0，b>0，] 則[1a+ab2+b]的最小值為? ? ? ?.

解法1：因為[1a>0， ab2>0，]

所以[1a+ab2+b≥21a ? ab2+b=2b+b，] 當且僅當[1a=][ab2]時取等號.

因為[2b>0，b>0，]

所以[2b+b≥22，] 當且僅當[2b=b]時取等號，

故[1a+ab2+b≥22.]

解法2：[1a+ab2+b2+b2≥41a ? ab2 ? b2 ? b24=22，]當且僅當[1a=ab2=b2]時取等號.

故答案為[22.]

【評析】上面兩道題注重對基礎(chǔ)知識的考查. 解決此類問題的關(guān)鍵：一是明確是否滿足基本不等式的形式;二是靈活運用基本不等式的使用條件，明確“一正、二定、三相等”的意義.

4. 簡單的線性規(guī)劃問題

例6 （上海卷·7）已知實數(shù)[x，y]滿足約束條件[x≤3，2x-y-2≥0，3x+y-8≥0，] 則[z=x-y]的最大值為? ? ? ?.

解：將目標函數(shù)[z=x-y]轉(zhuǎn)化為[y=x+-z，] 由約束條件可得如圖4所示的可行域.

[圖4]

當直線[y=x+-z]過[3，-1]時，[z=x-y]取得最大值，最大值為[4.]

故答案為[4.]

【評析】此題是線性規(guī)劃的常規(guī)問題，考查學(xué)生對不等式幾何表達的理解，目標函數(shù)為最基本的截距型，沒有涉及斜率型或距離型. 解決此類問題通常要結(jié)合作出的可行域，根據(jù)目標函數(shù)對應(yīng)直線傾斜程度，找到最優(yōu)解，得到目標函數(shù)的最值. 目標函數(shù)的轉(zhuǎn)化是此類題的突破口和核心. 浙江卷第7題、全國乙卷文科第5題和此題考查方向一致，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)運算、直觀想象等素養(yǎng)的考查.

二、不等式的交會問題

1. 不等式與函數(shù)交會

例7 （全國乙卷·理12）設(shè)[a=2ln 1.01，b=ln 1.02，][c=1.04-1，] 則（? ? ）.

（A）[a

（C）[b

解：因為[a=2ln 1.01=ln 1.012=ln 1+0.012=][ln 1+2×0.01+0.012>ln 1.02=b，]

所以[b

排除選項A，D. 結(jié)合選項B，C，可知只需比較[c]與[a]的大小關(guān)系.

記[fx=2ln 1+x-1+4x+1，x∈0，1，]

則[f0=0，a-c=f0.01.]

[fx=21+x-21+4x=21+4x-1-x1+x1+4x.]

因為[1+4x-1+x2=2x-x2=x2-x，]

所以當[00，]

即[1+4x>1+x.]

所以[fx>0.]

所以[fx]在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增.

所以[f0.01>f0=0，] 即[2ln 0.01>1.04-1.]

所以[b

故答案選B.

【評析】此題考查比較大小問題，首先借助函數(shù)[y=lnx]的單調(diào)性容易得到[b

例8 （全國新高考Ⅰ卷·22）已知函數(shù)[fx=][x1-lnx.]

（1）討論[fx]的單調(diào)性;

（2）設(shè)[a，b]為兩個不相等的正數(shù)，且[bln a-][aln b=a-b]，證明：[2<1a+1b

解：（1）由題意，可知函數(shù)的定義域為[0，+∞.]

因為[fx=1-lnx-1=-lnx，]

所以當[x∈0，1]時，[fx>0;]

當[x∈1，+∞]時，[fx<0.]

所以[fx]在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，+∞]上單調(diào)遞減.

（2）因為[bln a-aln b=a-b，]

所以[bln a+1=aln b+1，] 即[ln a+1a=ln b+1b.]

所以[f1a=f1b.]

設(shè)[x1=1a， x2=1b，] 則[fx1=fx2.]

由（1）可知，不妨設(shè)[0

先證[x1+x2>2.] 若[2≤x22]必成立.

若[x2<2，] 要證[x1+x2>2，] 即證[x1>2-x2.]

而[0<2-x2<1.]

因為[fx]在[0，1]上為增函數(shù)，

即證[fx1>f2-x2，] 即證[fx2>f2-x2，] 其中[1

設(shè)[gx=fx-f2-x，1

則[gx=fx+f2-x=-ln x-ln 2-x=-lnx2-x.]

因為[1

所以[-lnx2-x>0.]

所以[gx>0，] 故[gx]在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù).

所以[gx>g1=0，] 故[fx>f2-x，]

即[fx2>f2-x2]成立.

所以[x1+x2>2]成立，

綜上，[x1+x2>2]成立.

再證[x1+x2

當[1≤x2≤e-1]時，[x1+x2<1+e-1=e]成立.

當[e-1

因為[0

即證[fx2

設(shè)[hx=fx-fe-x，x∈e-1，e，]

則[hx=fx+fe-x=-ln x-lne-x=-ln xe-x，][x∈e-1，e.]

由[hx=0，] 得[x=e+e2-42.]

當[x∈e-1， e+e2+42]時，[hx<0，] 則[hx]單調(diào)遞減;

當[x∈e+e2+42，e]時，[hx>0，] 則[hx]單調(diào)遞增.

由[he-1=e-11-1e-1+ln 1e-1<0 lnx≤x-1，]

[he=0，] 知[hx<0，]

故當[x∈e-1，e]時，[hx=fx-fe-x<0，]

即[fx2-fe-x2<0，]

故[x1+x2

綜上所述，[2<1a+1b

【評析】此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及構(gòu)造函數(shù)證明不等式. 第（1）小題函數(shù)單調(diào)性的求解，離不開解不等式;第（2）小題不等式的證明，解題的關(guān)鍵是變形得到[lna+1a=lnb+1b.] 設(shè)[1a=x1， 1b=x2，]則[fx1=fx2.] 原不等式等價于[2

高考試題中基于不等式的證明大多數(shù)是壓軸題，與數(shù)列或函數(shù)綜合是最主要的形式. 在全國乙卷理科第20題、浙江卷第22題中均出現(xiàn)了證明不等式的身影.

2. 不等式與常用邏輯用語交會

例9 （全國乙卷·文 / 理3） 已知命題[p：?x∈R，][sinx<1;] 命題[q：?x∈R，ex≥1，] 則下列命題中為真命題的是（? ? ）.

（A）[p∧q] （B）[?p∧q]

（C）[p∧?q] （D）[?p∧q]

解：因為[sin0=0，] 所以命題[p]為真命題.

因為[y=ex]在[R]上為增函數(shù)，[x≥0，]

所以[ex≥e0=1.] 所以命題[q]為真命題.

所以[p∧q]為真命題，[?p∧q，p∧?q，?p∧q]為假命題.

故答案選A.

【評析】此題以簡易邏輯用語為命題背景考查不等關(guān)系，落腳點為命題真假性判斷，其中穿插全稱命題和存在性命題的知識交會，由正弦函數(shù)的有界性確定命題[p]的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題[q]的真假性，對學(xué)生的綜合能力有很強的考查價值.

3. 不等式與數(shù)列交會

例10 （浙江卷·10）已知數(shù)列[an]滿足[a1=1，] [an+1=an1+an n∈N?，] 記數(shù)列[an]的前[n]項和為[Sn，] 則（? ? ）.

（A）[32

（C）[4

解：因為[a1=1，an+1=an1+an n∈N?，]

所以[an>0，a2=12，S100>32.]

由[an+1=an1+an，] 得[1an+1=1an+122-14.]

所以[1an+1<1an+122].

所以[1an+1<1an+12，] 即[1an+1-1an<12.]

根據(jù)累加法，得[1an≤1+n-12=n+12，] 當且僅當[n=1]時取等號.

所以[an≥4n+12，an+1≤an1+2n+1=n+1n+3an.]

所以[an+1an≤n+1n+3.]

累乘，得[an≤6n+1n+2=61n+1-1n+2，] 當且僅當[n=1]時取等號.

所以[S100≤612-13+13-14+14-15+ … +1101-1102=][612-1102<3，] 即[12

故答案選A.

【評析】此題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系及其應(yīng)用，以及數(shù)列求和與放縮的技巧等知識，屬于難題. 首先，整理所給的遞推關(guān)系式，利用倒數(shù)法得到[1an+1=][1an+1an=1an+122-14;] 然后，利用放縮法，結(jié)合累加法與累乘法，求得[an≤6n+1n+2=61n+1-1n+2;]最后，根據(jù)裂項相消法，得到[S100<3.] 數(shù)列的前[n]項和大于或小于一個數(shù)的問題，通常需要運用放縮法來解決.

4. 不等式與解析幾何交會

例11 （全國新高考Ⅰ卷·5）已知[F1，F(xiàn)2]是橢圓[C：][x29+y24=1]的兩個焦點，點[M]在[C]上，則[MF1MF2]的最大值為（? ? ）.

（A）[13] （B）[12]

（C）[9] （D）[6]

解：由題意，得[a2=9，b2=4.]

由橢圓的定義，知[MF1+MF2=2a=6.]

所以[MF1MF2≤MF1+MF222=9，] 當且僅當[MF1=MF2=3]時，等號成立.

故答案選C.

【評析】此題主要考查橢圓的定義及最值問題. 由橢圓的定義，得到[MF1+MF2=6.] 此題即為和為定值求積的最值問題，通過基本不等式放縮得到. 此題也可以結(jié)合[MF2=6-MF1]消元轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求最值.

不等式與解析幾何的結(jié)合多出現(xiàn)在求取值范圍的問題上. 例如，求離心率、斜率、角、坐標、距離，以及數(shù)量積等的取值范圍等，絕大多數(shù)求解都與解不等式或均值不等式的應(yīng)用有關(guān)，解答正確與否，主要在于不等式最后的點“睛”效果. 這一點在2021年的高考解析幾何試題中都有所體現(xiàn). 例如，北京卷第21題，全國新高考Ⅰ卷第11題，浙江卷第21題.

5. 不等式與平面向量交會

例12 （浙江卷·17）已知平面向量[a，b，c，][c≠0≠]滿足[a=1， b=2，a ? b=0， a-b ? c=0.] 記向量[d]在[a，b]方向上的投影分別為[x，y，d-a]在[c]方向上的投影為[z，] 則[x2+y2+z2]的最小值為? ? ? ? .

解：由題意，設(shè)[a=1，0，b=0，2，c=m，n，]