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    高中數(shù)學應(yīng)用題中最值問題的探析

    2021-09-17 00:32:09李文娟
    關(guān)鍵詞:最值問題應(yīng)用題高中數(shù)學

    李文娟

    摘要 :數(shù)值最大問題不僅是高中數(shù)學教育的重點,也是大學入學考試中出現(xiàn)頻率較高的重要考試點之一,但在其實際授課中,面臨著授課時間少、類型多、知識難、方法繁雜等問題。許多高中生對最有價值的問題類型缺乏全面認識,無法靈活地使用該方法解決問題。本文通過高中數(shù)學應(yīng)用題中最值問題的解題步驟、與圓有關(guān)最值問題、與二次函數(shù)有關(guān)最值問題、不等式中最值問題、與幾何模型有關(guān)最值問題、與概率統(tǒng)計有關(guān)最值問題等方面進行探析高中數(shù)學應(yīng)用題中的最值問題。

    關(guān)鍵詞 :高中數(shù)學;應(yīng)用題;最值問題

    中圖分類號:G633.6;G434? 文獻標識碼:A 文章編號:1992-7711(2021)16-069

    研究表明,在實際的教學過程中,學生對高中數(shù)學應(yīng)用題中的最值解析興趣缺乏、得分點掌握不明、應(yīng)用題解法存在誤區(qū);此時,教師應(yīng)在課堂教學中予以重點指導,注重啟發(fā)與探究雙管齊下,發(fā)揮教師課堂導學者的功能,以學生為主體,傳授知識的同時也要讓學生感受到數(shù)學文化,將思想滲透到教學中去,發(fā)散思維,研究多種解題思路,有效地提升學習成績。本文將從高中數(shù)學應(yīng)用題中最值問題的解題步驟、與圓有關(guān)最值問題、與二次函數(shù)有關(guān)最值問題、不等式中最值問題、與幾何模型有關(guān)最值問題、與概率統(tǒng)計有關(guān)最值問題等方面來探析高中數(shù)學應(yīng)用題中的最值問題。

    一、高中數(shù)學應(yīng)用題中最值問題的解題步驟

    1.審題

    審題是高中數(shù)學應(yīng)用題中最值問題解題步驟的第一步。審題是解決最值問題的開端也是必要的關(guān)鍵點。高中數(shù)學應(yīng)用題的題目大多都很復雜,文字內(nèi)容較多,高中學生在解題時一定要認真審題,不要讀錯題目的含義,要明確題目中的已知條件、已知結(jié)論以及所有數(shù)字之間的聯(lián)系。教師在平時可以通過一些方法來培養(yǎng)學生的審題能力,例如“引導高中學生多進行課外閱讀,提高學生的閱讀能力和對文字信息的敏感程度”“在平時的高中數(shù)學的教學中,帶領(lǐng)學生熟悉了解數(shù)學模型,如一次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型以及三角函數(shù)模型等”等,通過這些方法都能夠提高學生的審題能力,讓學生在做題時能夠更加輕松和快捷。

    2.構(gòu)建數(shù)學模型

    構(gòu)建數(shù)學模型是高中數(shù)學應(yīng)用題中最值問題解題步驟的第二步。構(gòu)建數(shù)學模型可以更直觀地將數(shù)學問題中的文字題目轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,讓學生能夠看到更加明顯和直觀。對數(shù)學模型的正確構(gòu)建與否很大程度地影響了解決數(shù)學應(yīng)用問題的順利程度和成功與否,對中數(shù)學應(yīng)用題中的最值問題來說是至關(guān)重要的。數(shù)學模型包含有概念、公式、符號以及方法等,是一種可以很好的數(shù)學結(jié)構(gòu)。在解決高中數(shù)學應(yīng)用題中最值問題時,可以先找到所有數(shù)字之間的聯(lián)系,觀察這些聯(lián)系和哪一個數(shù)學模型貼合,從而準確地進行數(shù)學模型的構(gòu)建。

    3.求解

    求解是高中數(shù)學應(yīng)用題中的最值問題解題步驟的第三步。在進行了對數(shù)學模型的成功構(gòu)建之后,需要對問題進行求解,從而順利地解決這個應(yīng)用問題。在進行求解時,要重視理解數(shù)學模型中的各個數(shù)字的具體含義,從而選擇最合適實用的解題過程。教師在平時的教學中要重視培養(yǎng)高中學生的變化和轉(zhuǎn)換代數(shù)式的能力,做到更靈活地運用自身的變形推理,更加成功地解決高中數(shù)學應(yīng)用題中的最值問題。

    4.還原

    還原是高中數(shù)學應(yīng)用題中的最值問題解題步驟的第四步。通過審題、構(gòu)建數(shù)學模型、求解之后會得到一個數(shù)學結(jié)論,通過對這個數(shù)學結(jié)論進行還原,可以得到解決現(xiàn)實生活中實際問題的方法和結(jié)論,真正地達到運用高中數(shù)學知識來解決生活問題的目的,提高高中數(shù)學的生活化,將高中數(shù)學知識融入生活。

    二、與圓有關(guān)最值問題的探析

    在教授與圓有關(guān)的最值問題時,教師往往面臨知識困難,方法復雜,種類多,等問題。首先,教師應(yīng)制定符合學習的指導案例,培養(yǎng)學生的主動學習意識。學生可以提前復習既往知識。通過為問題設(shè)置各種方式,可以引導學生自主探索相關(guān)問題的概念、解法等。然后,教師應(yīng)正確設(shè)置教學時數(shù)分布和對接所對應(yīng)的定向案例。教師對這些方法進行分析總結(jié),逐步進行設(shè)計和組織教學,這樣更有利于學生的理解。例如,人教版高中必修中《與圓有關(guān)的最值問題》教學中,形如μ=(y-b)/(x-a)型的最值問題,可轉(zhuǎn)化過定點(a,b)的動直線斜率的最值問題求解。典型例題如下:

    已知實數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0,求y/x的最大值。在這種最值題型之后中,教師首先應(yīng)提出啟發(fā)性問題提問,“原方程可以轉(zhuǎn)化為我們熟悉的哪種形式?”在教師的啟發(fā)之下,學生會進入已有知識的思索,在思索過程中建立自己的知識建構(gòu)。

    學生1:“原方程可化為(x-2)2+y2=3,y/x也就是我們曾經(jīng)學過的圓上的動直線的斜率,因此,y/x就是求(2,0)為圓心, 3 為半徑的圓的斜率問題?!边@樣的啟發(fā)性問題之下,原題就從抽象的方程式轉(zhuǎn)化為學生熟悉的圓的斜率的問題。

    三、與二次函數(shù)有關(guān)最值問題的探析

    21世紀正處在互聯(lián)網(wǎng)迅速發(fā)展的信息時代,網(wǎng)絡(luò)在線平臺和多媒體技術(shù)的新型教育模式被運用到中學數(shù)學課堂之上,個性化的學習環(huán)境為學生提供自主學習和小組學習的時間和機會,適時因材施教,引導學生自主學習,課堂表現(xiàn)非常好。例如,人教版高一數(shù)學中《二次函數(shù)的基本性質(zhì)》最值問題的教學中,二次函數(shù)是高中學習的重要基礎(chǔ),重難點是:了解并會處理二次函數(shù)含參數(shù)的最值問題。因此,教師可采取分組討論結(jié)合信息化設(shè)備進行數(shù)形結(jié)合的演示來闡釋解題思路。例如,一已知函數(shù)y=-x2-2x+3且x∈[0,2],求函數(shù)的最值?教師可先令學生分組討論,然后由數(shù)學課代表組織觀看網(wǎng)絡(luò)教學視頻,分小組討論,先進行小組內(nèi)討論,進而進行組間談?wù)摚烧n代表并將重難點反饋給教師,教師根據(jù)問題在課堂上予以解決。并以小組為單位畫出函數(shù)的坐標圖,然后在多媒體上展示正確的圖示。解析如下:y=-x2-2x+3=-(x-1)2+4,因為x∈[0,2],繪圖如圖一所示:則ymax=f(0)=3,ymin=f(2)=-5。在求最值時,也可以看所給區(qū)間與對稱軸的距離遠近。開口向上的二次函數(shù),離對稱軸越近,函數(shù)值越小;開口向下的二次函數(shù),離對稱軸越近,函數(shù)值越大。

    在課堂上配置預(yù)習方案,分小組完成預(yù)習內(nèi)容,通過討論解決了大部分的計算問題,在課堂上通過學生展示教師發(fā)現(xiàn)預(yù)習中存在的問題,在課堂上及時糾正,學生理解本節(jié)課堂的重點難點也變得容易多了。

    四、不等式中最值問題的探析

    有關(guān)于證明不等式的對稱型或者輪換型不等式的最值問題,常見于選擇填空中,在實際的教學之中,發(fā)現(xiàn)學生對此類問題的第一反應(yīng)是直接套用已有解題經(jīng)驗,這是解題中的一大誤區(qū),這樣的誤區(qū)要及時地在課堂之中進行解決,要讓學生養(yǎng)成認真審題,而不是在解題中“投機取巧”。例如,在使用不等式的問題“如果實數(shù)x和y滿足x2+y2+xy=1時找到x+y的最大值”中,獲得最大值的條件是內(nèi)部元素相等。在不對稱不等式中,出現(xiàn)了ma=nb的情況,其中a,b是不等式的元素,m,n是系數(shù),尤其是在對稱旋轉(zhuǎn)不等式中,值相等的條件是兩個元素相同,但不是絕對的。特別是在有限的條件下,當?shù)仁揭粋?cè)的常數(shù)與不等式的最大值不同時,可能無法獲得最大值。在上一個問題中,其中的x和y可以旋轉(zhuǎn),并且可以通過設(shè)置x=y以獲得x+y的最大值來獲得x+y的最大值。

    五、與幾何模型有關(guān)最值問題的探析

    與幾何模型有關(guān)的最值問題一般都是光的折射、橋梁設(shè)計以及人造衛(wèi)星等,這種類型的問題一般都是通過先建立直角坐標系,再解決實際問題的程序來解決,既需要利用關(guān)于面積、體積以及空間問題等的數(shù)學知識,也需要利用關(guān)于三角函數(shù)的知識結(jié)合起來進行解決。

    例如,人造衛(wèi)星A與地球地面的電視信號B的傳播方式是直線形式,其中電視信號能夠達到的地球區(qū)域被叫做衛(wèi)星覆蓋區(qū)域。衛(wèi)星A距離地球表面約36 000千米,地球的半徑為6400千米,在衛(wèi)星覆蓋區(qū)域之中取任意兩個點,求這兩個點之間的球面最大距離為多少?想要解決這個關(guān)于幾何模型的最值問題,就需要先建立直角坐標系,再使用關(guān)于面積、體積以及空間問題等的數(shù)學知識和三角函數(shù)的知識結(jié)合起來解決問題。

    六、與概率統(tǒng)計有關(guān)最值問題的探析

    解決與概率統(tǒng)計有關(guān)的最值問題時需要學生擁有關(guān)于隨機變量、概率、抽樣以及頻率分布的知識來解決問題,在進行解題時,要認真理解題目中給出的已知條件,結(jié)合自己掌握的幾何知識,選擇合理的解題方式。概率統(tǒng)計類的最值問題,既具有十分復雜的特質(zhì),也具有比較廣泛的覆蓋程度,但是其解題方式和普通應(yīng)用題的解題方式比較類似,在解題時要十分地認真的審題和思考,避免出現(xiàn)錯誤和紕漏。

    例如,某農(nóng)戶對一塊田地的N個坑進行播種,每一個坑播種三個種子,每個種子的發(fā)芽概率都為二分之一,并且每一個種子是否發(fā)芽都是相互獨立的。對每一個坑來說,如果至少會有兩個種子發(fā)芽,則不需要進行補充播種;反之,則需要進行補充播種。試問,當播種多少時,有三個坑需要補充播種的概率才為最大?當解決這個問題時,要認真審題,理解題目中給出的已知條件,找到數(shù)字之間的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學模型,結(jié)合數(shù)學知識找到最合適的解題方法,從而能夠順利地解決這個問題。

    綜上所述,本文對高中數(shù)學應(yīng)用題中最值問題的解題步驟、與圓有關(guān)的最值、與二次函數(shù)有關(guān)的最值、不等式中的最值、與幾何模型有關(guān)的最值、與概率統(tǒng)計有關(guān)的最值等問題進行了探析,得出了一些有效的觀念。在高中最值問題的教學過程中,教師應(yīng)加強素質(zhì)教育理念,以全面發(fā)展教育為導向,為了更好地實施優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)的方案,應(yīng)把突出數(shù)學主線作為發(fā)展的前提,重視數(shù)學思想方法的培養(yǎng),讓學生學會知識的遷移。高中數(shù)學中的最值問題通常都是以綜合題型出現(xiàn)的,這就對學生的解題能力提出了更高要求,也為教師的教學指明方向。在最值問題的教學上要從教學的整體出發(fā),發(fā)展學生數(shù)學解題全局觀,培養(yǎng)良好的數(shù)學思維和總結(jié)歸納能力。

    參考文獻:

    [1] 向克民.翻轉(zhuǎn)課堂模式在高中最值問題教學中的運用[J].考試與評價,2021(2):81.

    [2]曹鋒.高中數(shù)學最值問題題型與解法未探[J].數(shù)學大世界(下旬),2020(12):13.

    (作者單位:甘肅省天水市甘谷第一中學,甘肅 天水 741200)

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