情境源于生活 設(shè)問歸于建模

陳文陽

摘? 要：數(shù)學建模素養(yǎng)是數(shù)學學習評價的重要內(nèi)容. 以一道期末考試題的命制和測評為例，談?wù)勅绾螐膶W生的實際生活出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)計問題. 結(jié)合測評結(jié)果，從“在熟悉情境中發(fā)現(xiàn)問題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的水平;選擇合適數(shù)學模型表達要解決的數(shù)學問題的水平;創(chuàng)造性地改進數(shù)學模型精準解決數(shù)學問題的水平;運用數(shù)學語言準確表達建模過程和結(jié)果的水平”這四個方面分析學生的數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展水平.

關(guān)鍵詞：題目命制;生活情境;數(shù)學建模

數(shù)學建模素養(yǎng)是衡量學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的標準之一，是數(shù)學學習評價體系的重要組成部分. 如何命制題目才能有效評價學生的數(shù)學建模素養(yǎng)水平呢？筆者的做法是使題目情境源于生活、設(shè)問歸于建模，即從學生的生活情境中尋找素材，圍繞某個數(shù)學知識以考查學生的數(shù)學建模能力為目標設(shè)計問題，根據(jù)學生在解決問題過程中所表現(xiàn)的能力衡量學生的數(shù)學建模素養(yǎng)水平. 下面以一道期末考試題的命制和測評為例，談?wù)劰P者的一得之見，求教于大方.

一、題目命制過程

1. 命題背景

筆者曾參與區(qū)域性八年級下學期期末考試試卷的命制，需編寫一道有關(guān)一次函數(shù)的實際問題作為試卷第23題（全卷共25道題），題目難度為中等偏上. 題目擬以實際生活情境為問題背景，考查學生綜合運用一次函數(shù)、方程或不等式等數(shù)學知識分析和解決問題的能力，評價學生的數(shù)學建模素養(yǎng)水平，凸顯數(shù)學知識的融會貫通和實用價值.

2. 確定母題

基于題目的教學導向性，筆者確定母題為人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》八年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第102頁的問題1. 該問題的背景是上網(wǎng)收費方式，是一次函數(shù)的實際應(yīng)用題，其中蘊涵了分類討論思想.

母題? 怎樣選取上網(wǎng)收費方式？

選取哪種方式能節(jié)省上網(wǎng)費？

3. 選擇背景

共享單車的出現(xiàn)為人們的出行提供了便利，且學生對其較為熟悉. 于是，筆者決定把共享單車的收費方式作為題目的背景. 首先，筆者在互聯(lián)網(wǎng)上查閱并分析不同品牌共享單車的收費方式;然后，選定了A品牌和B品牌共享單車的收費方式作為問題的原始材料. A品牌和B品牌共享單車的收費方式如表2所示.

4. 創(chuàng)設(shè)情境

根據(jù)網(wǎng)絡(luò)資料，并參考教材中相關(guān)的語言敘述，初步創(chuàng)設(shè)問題情境為：2016年下半年開始，共享單車的風潮迅速席卷全國各大城市，各種品牌的共享單車似乎一夜之間就出現(xiàn)在廣州的大街小巷. 現(xiàn)已知A品牌共享單車的計費方式為：初始費用為1元 / 時. 內(nèi)設(shè)邀請機制，每邀請1位好友加入，1小時收費減少0.1元，最低減至0.1元 / 時，不足1小時按1小時計算;B品牌共享單車的計費方式為：0.5元 / 時，不足1小時按1小時計算.

5. 設(shè)計問題

基于題目既要考查基礎(chǔ)知識、基本技能，還要考查思維過程、創(chuàng)新意識，以及分析問題、解決問題的實際能力，初步將問題設(shè)計如下.（1）甲同學準備使用A品牌的共享單車，設(shè)該同學邀請x（x為整數(shù)，[x ≥ 0]）名好友加入騎行，該同學每小時的車費為y元，試寫出y與x的函數(shù)解析式;（2）若有A，B兩種品牌的共享單車供甲同學選擇使用，試根據(jù)甲同學已邀請好友的人數(shù)，給出經(jīng)濟實惠的選擇建議.

問題設(shè)計的目標是考查學生建立數(shù)學模型描述實際問題（即寫出函數(shù)的解析式）和分析問題、解決問題（即通過列、解方程或不等式給出問題解決的方案）的能力.

6. 修改情境

為了保證題目情境的真實性和適切性，筆者通過A品牌共享單車的APP了解到邀請好友的收費規(guī)則為：每邀請1位好友注冊認證并充值押金成功，雙方騎行單價均降低0.1元，騎行單價最少為0.1元 / 時，好友申請退押金后雙方享受優(yōu)惠失效. 參考收費規(guī)則，修改問題情境：把“初始費用”改為“初始騎行單價”，增加“注冊認證并充值押金成功，則騎行單價”“騎行單價最低可降至”等文字語言.

為了減少學生的審題障礙，又添加例子對A品牌共享單車的收費方式進行說明——例如，某用戶邀請了3位好友注冊認證并充值押金成功，則騎行單價為0.7元 / 時. 為了避免無關(guān)信息對學生造成干擾，把問題的引入簡寫為“不同品牌的共享單車出現(xiàn)在城市的大街小巷”，使問題的表述更為簡潔.

題目情境最終確定為：2016年下半年開始，不同品牌的共享單車出現(xiàn)在城市的大街小巷. 現(xiàn)已知A品牌共享單車計費方式為：初始騎行單價為1元 / 時，不足1小時按1小時計算. 內(nèi)設(shè)邀請機制，每邀請1位好友注冊認證并充值押金成功，騎行單價降低0.1元，騎行單價最低可降至0.1元 / 時. 例如，某用戶邀請了3位好友注冊認證并充值押金成功，則騎行單價為0.7元 / 時. B品牌共享單車計費方式為：0.5元 / 時，不足1小時按1小時計算.

7. 修改設(shè)問

對于設(shè)問，將騎行單價統(tǒng)一表述為“y元 / 時”，同時根據(jù)對情境的調(diào)整，完善設(shè)問的說法. 題目設(shè)問最終確定為：（1）甲同學準備使用A品牌的共享單車，設(shè)甲同學邀請x名好友（x為整數(shù)，x ≥ 0）注冊認證并充值押金成功，甲同學的騎行單價為y元 / 時，試寫出y與x的函數(shù)解析式;（2）甲同學要從A，B兩個品牌的單車中選擇一種使用，試根據(jù)甲同學已邀請好友注冊認證并充值押金成功的人數(shù)，給出經(jīng)濟實惠的選擇建議.

二、題目測評分析

此題著重考查學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，測評學生對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題和用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決問題的能力. 測評的結(jié)果顯示：此題滿分8分，平均分為3.61分，難度為0.45（全卷難度為0.65），得分率比第24題和第25題還低，滿分率低于2%，約有50%的學生得分低于4分. 此題的測評結(jié)果反映了學生數(shù)學建模素養(yǎng)的水平還有待提高，主要體現(xiàn)在以下四個方面.

1. 在熟悉情境中發(fā)現(xiàn)問題并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的水平

若要解決此題，學生首先要從數(shù)學的角度分析共享單車的計費方式，理解各個數(shù)據(jù)的含義和數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，并把數(shù)學關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.

很多學生不會解此題的原因是不理解題意. 由于題目構(gòu)思新穎、信息量大，學生不能從中提取出有效的數(shù)學信息，無法將實際問題和數(shù)學形式聯(lián)系起來. 數(shù)學建模素養(yǎng)薄弱的學生，不能正確理解“雙方騎行單價均降低0.1元”中單價的變化情況，以及“好友人數(shù)x”和“騎行單價y元 / 時”中參數(shù)x，y的實際含義，無法準確建立數(shù)學模型.

在實際問題的教學中，教師應(yīng)當注重訓練學生提取信息和轉(zhuǎn)換信息的能力，培養(yǎng)學生閱讀、領(lǐng)會和理解數(shù)學問題的習慣，這樣才能提升學生在熟悉的情境中發(fā)現(xiàn)問題并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的水平.

2. 選擇適當數(shù)學模型表達要解決的數(shù)學問題的水平

能夠在熟悉的實際情境中，模仿學過的數(shù)學建模過程，選擇適當?shù)臄?shù)學模型表達所要解決的數(shù)學問題，是解決此題的關(guān)鍵.

對于數(shù)學建模素養(yǎng)水平不足的學生，雖然能參照此題中的提示或模仿教材中的問題1，選擇并建立了一次函數(shù)模型，寫出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) = 1 - 0.1x，也能建立方程模型1 - 0.1x = 0.5表達A，B兩種品牌的共享單車的騎行單價一樣，但卻不能建立不等式模型1 -0.1x < 0.5或1 - 0.1x > 0.5來比較騎行單價的大小，只能采用特殊值的方法驗證說明. 這反映了其不能從運動變化的觀點分析具體問題中變量間的關(guān)系，并用數(shù)學符號把問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系.

在實際問題的教學中，教師應(yīng)當注重滲透函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學思想，讓學生感悟數(shù)學表達對數(shù)學建模的重要性，進而提升學生選擇適當數(shù)學模型表達要解決的數(shù)學問題的水平.

3. 創(chuàng)造性改進數(shù)學模型精準解決數(shù)學問題的水平

此題非常規(guī)的地方是問題中的變量[x]的取值為整數(shù)，函數(shù)的圖象是一些離散的點，而且當[x≥9]時，函數(shù)模型是常數(shù)函數(shù). 這對學生來說是新的情形，要求學生能夠根據(jù)問題的實際意義來驗證結(jié)果，同時創(chuàng)造性地改進數(shù)學模型，得出新的函數(shù)關(guān)系. 在解題過程中，數(shù)學建模素養(yǎng)水平較高的學生能夠在新的情境中創(chuàng)造性地寫出常數(shù)函數(shù)[y=0.1，] 進一步得到分段函數(shù)，同時也能夠準確地寫出自變量的取值范圍. 例如，[y=1-0.1x 0≤x≤9，0.1 x≥10] 或[y=1-0.1x 0≤x<9，0.1 x≥9.] 試卷分析顯示，70%的學生不能寫出常數(shù)函數(shù)[y=0.1，] 這反映了學生缺乏創(chuàng)新意識，對新情境的應(yīng)變能力不足.

在實際問題的教學中，教師應(yīng)當注重編制不落俗套的創(chuàng)新性應(yīng)用問題，培養(yǎng)學生數(shù)學建模的遷移能力，使學生能夠在解決非常規(guī)問題的過程中生成超越教材規(guī)定內(nèi)容的數(shù)學知識，進而提升學生創(chuàng)造性改進數(shù)學模型，精準解決數(shù)學問題的水平.

4. 運用數(shù)學語言準確表達建模過程和結(jié)果的水平

此題對學生的數(shù)學語言表達能力有較高的要求. 數(shù)學建模素養(yǎng)薄弱的學生出現(xiàn)的表達錯誤主要有兩個方面：一是模型的約束條件表達不正確，即漏寫或錯寫了自變量x的取值范圍;二是解決問題的表述不完整，僅簡單下結(jié)論，即只回答選擇某一種品牌共享單車實惠，而沒有說理的過程或沒有分情況說明選擇建議的依據(jù).

在實際問題的教學中，教師應(yīng)當注重對學生數(shù)學語言表達能力的訓練，強化說理和分類的意識，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性，指導學生完整地表述自己的結(jié)論，逐漸提升學生運用數(shù)學語言準確表達建模過程和結(jié)果的水平.

三、結(jié)束語

《教育部關(guān)于加強初中學業(yè)水平考試命題工作的意見》指出，試題命制要充分考慮城鄉(xiāng)學生學習和生活實際，增強情境創(chuàng)設(shè)的真實性、典型性和適切性. 創(chuàng)設(shè)合理的實際情境，目的是引導學生用數(shù)學眼光看待生活中的問題;而設(shè)計蘊含數(shù)學模型的實際問題，目的是引導學生用數(shù)學方法分析和解決問題. 題目情境源于生活、設(shè)問歸于建模，能有效評價學生的數(shù)學建模素養(yǎng)水平. 但如何命制題目才能對學生的數(shù)學建模素養(yǎng)水平給予精準評價，還有待進一步研究.

參考文獻：