基于數學史的圓周率探究活動的設計與實施

狄邁 余慶純 汪曉勤

【摘 要】一個數學主題背后的歷史往往揭示了歷史上數學家對該主題的探究過程，為教師設計探究活動提供了參照。HPM工作室學員以及來自上海不同學校的兩位數學教師分別設計了“圓的周長”的教學。他們都基于數學史設計了圓周率的探究活動，但數學史的運用方式互不相同，各具特色。

【關鍵詞】數學史;探究活動;圓的周長;圓周率

【作者簡介】狄邁，華東師范大學教師教育學院在讀碩士研究生，主要從事數學史與數學教育研究;余慶純，華東師范大學數學科學學院在讀博士研究生，主要從事數學史與數學教育研究;汪曉勤，華東師范大學教師教育學院教授、博士生導師，主要從事數學史與數學教育研究。

【基金項目】上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W重點研究基地之數學教育教學研究基地研究項目——數學課程與教學中落實立德樹人根本任務的研究（A8）

一、引言

荷蘭數學家、數學教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）曾指出，數學學習應該是有指導的再創(chuàng)造的過程。要實現“再創(chuàng)造”，教師在課堂上需要設計探究活動，讓學生經歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程或數學思想方法的運用過程。一個數學主題背后的歷史往往揭示了歷史上數學家對該主題的探究過程，為教師設計探究活動提供了參照[1]。當代許多西方HPM學者，如福韋爾（J.Fauvel）、詹克韋斯特（U.Jankvist）等，均指出數學史為學生提供了探究機會[2]。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求，學生通過操作，了解圓的周長與直徑之比為定值，掌握圓的周長公式[3]。圓周率作為“圓的周長”主題中的重要內容，是引導學生實現從有限到無限跨越的重要知識載體，因而其教學一直受到人們的重視。考慮到六年級學生的認知水平，圓周率的探究式教學不可能完全采用演繹幾何的方式，而只能定位在實驗幾何與演繹幾何之間。

歷史上，古希臘數學家安提豐（Antiphon）首次提出用圓內接正多邊形面積來逼近圓面積的思想。公元前3世紀，阿基米德（Archimedes）運用同樣的思想，通過依次求出圓內接和外切正六邊形、正十二邊形、正二十四邊形、正四十八邊形和正九十六邊形的周長，獲得圓周率的不足和過剩近似分數[4]，即22371<π<227。公元3世紀，中國數學家劉徽利用割圓術，計算出圓內接正一百九十二邊形的面積，得到圓周率的近似值為15750。公元5世紀，中國魏晉時期數學家祖沖之求得圓周率的兩個近似分數，第一個分數稱為“約率”，即阿基米德的227，第二個分數稱為“密率”，即355113，這是祖沖之首創(chuàng)的。據推測，祖沖之可能是用天文學家何承天的“調日法”得到上述兩個分數[5]。

阿基米德和劉徽的正多邊形逼近方法，以及祖沖之的圓周率近似分數求法為來自上海市兩所不同初級中學的教師A和教師B的教學設計提供了參照?；贖PM的視角設計的“圓的周長”的教學，教師A擬訂的教學目標如下。

（1）在“觀察—猜想—實驗—歸納—驗證”過程中，探索出圓周長C與直徑d的關系，歸納圓的周長公式，并學會運用圓的周長公式進行簡單計算。

（2）在實驗操作中，體驗“化曲為直”“以直代曲”的數學方法;在運用“調日法”計算圓周率的過程中，感悟“無限逼近”的數學思想。

（3）在探索過程中增強學生合作、交流的意識;了解中國古代數學家的事跡，增加學生的文化自信。

教師B擬訂的教學目標如下。

（1）經歷操作、歸納與合情推理的過程，探究圓周長與直徑的數量關系，得出圓的周長公式，掌握數學學習過程中“操作—猜想—歸納—推理”的研究方法。

（2）在測量折紙等操作實驗中，感悟與掌握“以直代曲”“無限逼近”的數學思想，同時通過幾何畫板等技術手段的逼近過程，理解圓周率的數值及其數學本質。

（3）深刻領會古代數學家在求圓周率過程中所運用的數學思想方法，感受數學家堅韌不拔的鉆研精神與一絲不茍的嚴謹態(tài)度，品味多彩的數學文化。

二、教學過程

表1概括了教師A和教師B的教學過程。由表1可知，兩位教師均從數學外部引出課題，基于數學史，從“正多邊形的逼近”“圓周率近似值的探求”兩方面設計探究活動。

在“正多邊形的逼近”活動中，教師A由飛鏢盤教具演示，重現阿基米德內接正多邊形的窮竭過程，引導學生體會“無限逼近”與“以直代曲”的數學思想;教師B則引導學生通過不斷對折、剪裁圓形紙片，感受“以直代曲”的思想，進一步通過展開紙片，觀察折痕，體會“無限逼近”的數學思想方法。

在“圓周率近似值的探求”活動中，教師A引導學生結合數軸，運用“調日法”，由有理數不斷逼近圓周率，達成對圓周率這一無理數的深刻理解;教師B通過測量正多邊形周長，計算其與直徑的比值，得出圓周率的范圍，并通過幾何畫板等技術手段呈現更精確的數值，在此過程中讓學生再次感受“無限逼近”的思想。

三、圓周率探究活動

為更好地進行教學研究，以下是兩位教師圓周率探究活動的教學片段。

（一）正多邊形的逼近

【教師A的教學片段1：飛鏢盤模型】

師：古希臘數學家阿基米德通過“窮竭法”，運用“無限逼近”的思想得出了圓周率的近似值，他是怎么做的呢？老師通過飛鏢盤給大家簡單演示一下。首先，在直徑為2的圓周上選取六個點，將圓周六等分，連接各個點得到一個正六邊形。此時正六邊形的周長等于6。現在這個正六邊形的周長與其直徑的比值是多少？

生：3。

師：它能代替圓周率的值嗎？

生：不能。

師：為什么？

生：差得太多了。

師：沒錯。阿基米德也覺得這樣不行，于是他又繼續(xù)分割，這樣能夠得到正幾邊形？（如圖1）

生：正十二邊形。

師：這樣求出的比值會怎么樣？

生：更接近圓周率的值。

師：是的。但是阿基米德還是不滿意，就繼續(xù)分割成正二十四邊形，正四十八邊形……這體現了什么思想？

生：體現了“無限逼近”的思想。

【教師B的教學片段1：剪紙】

師：請同學們拿出課前發(fā)的圓形紙片，通過不斷對折、剪裁，得到一個正多邊形[HTSS]（教師示范對折兩次紙片并加以剪裁的效果，如圖2）。

師：請問得到的是什么圖形呢？

生：正方形。

師：很好。接下來請同學們增加對折的次數，并加以剪裁，看看能得到什么圖形？

生：對折三次，得到了正八邊形，四次后得到正十六邊形……

師：（在黑板上展示學生探究所得的不同形狀的紙片）請仔細觀察，隨著對折次數的增加，你能發(fā)現什么規(guī)律？

生：對折次數越多，剪裁后的紙片就越像圓。

師：沒錯。因為操作折紙的對折次數是有限的，下面通過幾何畫板演示，觀察一下當對折次數逐漸增加時，所裁剪的正多邊形的變化。

師：當正多邊形的邊數無限增加時，還能看到正多邊形嗎？

生：看不到了。

師：不錯。當圓的內接正多邊形的邊數無限增加時，可以看到正多邊形的周長無限趨近于圓的周長，此時圓的周長即近似為正無限邊形的周長。用多邊形的每一條邊近似取代它們所對的弧，在數學上我們把這種思想叫作“以直代曲”。

（二）圓周率近似值的探求

【教師A的教學片段2：“調日法”】

師：我國著名數學家祖沖之將圓周率的值計算到了在3.1415926與3.1415927之間，但是他的偉大不僅僅局限于進一步計算出圓周率的近似值，而是發(fā)現了用圓周率的小數形式計算圓的周長很麻煩，于是通過探索發(fā)現了“約率”227與“密率”355113，他是如何探索出來的呢？

師：其實該方法現在還在使用，這就是“調日法”（教師介紹“調日法”的計算，考慮用“調日法”逼近π。）。

師：為什么一開始的范圍是31<π<41？

生：π的取值在3和4之間。

師：是的。實際上古人是從幾何方面來看的。當在圓內接正六邊形時，根據其周長與直徑關系，得到圓周率π大于3;當外切正方形時，得到圓周率π小于4。請問誰來介紹一下41<72<31是如何探究出來的？（如圖3）

生1：將31與41的分母與分子分別相加，得到41<72<31。

師：很好。那么數軸上41與72哪個數更逼近π？

生：72。

師：根據數軸的“逼近”，應該舍棄哪個數呢？

生：舍棄41。

師：很好，下面我們繼續(xù)探究。

【教師B的教學片段2：測量與幾何畫板】

師：通過剛剛的探索，知道當圓內接正多邊形邊數無限增加時，正無限多邊形的周長便是圓的周長。由此，可以通過正多邊形與直徑的比值來求解圓周率的值嗎？

生：可以。

師：下面請同學們測量手中圓形紙片內接正方形、正八邊形與正十二邊形的周長，計算它們與圓直徑之間的比值，并請每個小組分享一下你們的發(fā)現。

生：計算出來的多邊形周長與直徑的比值與3.14相差比較大。

師：為什么？

生1：因為在測量過程中存在一定的誤差。

生2：但是計算的數值是介于3與4之間。

師：是的。由于測量誤差，計算得出的圓周長與直徑的比值與3.14有一定的距離，但是它們均介于3與4之間。接下來，通過幾何畫板客觀精確地感受當正多邊形邊數增加時，其周長與直徑比值之間的關系。（如圖4）

師：大家觀察到了什么？

生：當圓的內接正多邊形邊數無限增加時，其周長與直徑的比值越接近圓周率的實際值。

師：實際上，在公元前3世紀，古希臘數學家阿基米德利用“窮竭法”使內接正多邊形與外切正多邊形共同逼近，推求圓的周長進而得到圓周率π的近似值。其通過圓的內接與外切正多邊形，當正多邊形的邊數n無限增加時，兩個正多邊形的周長都會無限接近圓的周長，以此探求圓的周長與圓周率的值。（如圖5）

四、圓周率探究活動評析

由以上分析可知，兩位教師均解析了圓周率的相關歷史，提煉其發(fā)展過程中的重要思想，并基于此設計數學探究活動。現對教師A和教師B在兩個數學探究活動中所運用的數學史及其方式進行分析（見表2）。

教師A順應式地運用阿基米德的“窮竭法”，以飛鏢盤模擬圓內接正多邊形的分割過程，重現“無限逼近”“以直代曲”的數學思想方法;同時，順應式地運用何承天的“調日法”，引導學生用有理數逼近圓周率，促進對π這一無理數的深入了解。在此過程中，教師A忽略了阿基米德“窮竭法”的外切正多邊形這一方面，使該方法在課堂上沒有完整地呈現。由此可見，教師A基于圓周率發(fā)展史上兩個重要階段——阿基米德“窮竭法”的幾何逼近與何承天“調日法”的數值逼近，順應式地設計了相應的探究活動，引導學生完成對圓周率由幾何和數值兩方面的逼近，滲透“無限逼近”的數學思想，達成了本節(jié)課的教學目標。

對于課后學習單中問題“通過這節(jié)課的學習，你能否解釋‘地球是圓的，但是我們感覺自己是行走在平地上，而不是球面上的現象”，大多學生這樣解釋：由于地球太大了，因此我們行走的弧可以看成直線。這反映出學生對“無限逼近”與“以直代曲”思想的深刻理解，能夠運用掌握的數學知識解釋現實現象，解決實際問題，這也從側面反映出教學目標的達成。

另一方面，教師B借鑒阿基米德“窮竭法”，運用順應式，將兩個探究活動有機地連接在一起，進而滲透“無限逼近”的思想。第一階段的剪紙活動引導學生自己動手操作，在剪裁過程中體會“以直代曲”思想，通過制作的正多邊形與圓的比較，感受“無限逼近”的過程與思想，在操作與思維的交互過程中與古人對話;第二階段通過測量與計算，得到圓周率的范圍在3～4之間，學生在得到與自己心目中相差甚遠的答案時實事求是，體現了數學研究過程中的求真意識，達成德育之效[6]。借助幾何畫板呈現數值，使學生在幾何與數值方面體會了“無限逼近”的過程。

在課后的反饋中，部分學生對由“無限逼近”得到的錯誤結論“π=4”的原因進行了思考與闡述?？梢?，通過探究活動，教師B的學生對“無限逼近”與“以直代曲”有了新的思考，并能對其進行拓展與延伸，達成了教師B提出的“感悟與掌握‘以直代曲‘無限逼近的數學思想”的教學目標。

綜上所述，兩位教師均基于圓周率發(fā)展的“幾何逼近”與“數值逼近”兩個方面，開展教學實踐;但從融入的方式來看，兩位教師均采用了順應式而非重構式，即將歷史上探究圓周率的方法作為參照設計探究活動，進行古今對照。

五、教學啟示

對兩位教師設計的基于數學史的圓周率探究活動進行分析，可為今后HPM視角下探究式教學提供以下啟示。

（1）加強歷史研究，提升專業(yè)知識。由上文可知，兩位教師均未采用重構的方法融入數學史，且在圓周率的探究活動上缺乏基本的發(fā)生動因。究其原因是由于教師對圓周率的歷史發(fā)展并未深入了解，也未將其作為參照來開展探究性教學。因此，一線教師要加強歷史研究，解析數學史料，提升數學專業(yè)知識;同時基于教學實踐，提升教學內容，促進數學史自然地融入數學教學。

（2）融入信息技術，優(yōu)化數學教學。在教師B的課堂中，通過對制作的正多邊形的周長進行測量，對周長與直徑的比值進行計算，得出圓周率的范圍，之后再通過幾何畫板的演示，讓學生更加精確地感受圓周率的數值，并在此逼近過程中滲透“無限逼近”與“以直代曲”的思想，引導學生感受知識源流，品味古今數學文化，達成相應的教學目標。

參考文獻：

[1]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，等，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[2]汪曉勤.HPM：數學史與數學教育[M].北京：科學出版社，2017.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]汪曉勤，趙紅琴.阿基米德與圓周率[J].數學教學，2004（1）：40-41，39.

[5]曲安京.祖沖之是如何得到圓周率π=355/113的？[J].自然辯證法通訊，2002（3）：72-77，96.

[6]張冰，蔡春夢，雷沛瑤.HPM視角下的指數函數概念教學設計研究[J].中小學課堂教學研究，2021（6）：5-10.

（責任編輯：陸順演）