Hardy空間上的斜Toeplitz算子的極小約化子空間

杜巧玲，許安見

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院， 重慶 400054)

本文中的T表示復(fù)平面上的單位圓周，μ表示其上規(guī)范化的弧長測度，Lp(T)表示相應(yīng)于μ的Lebesgue空間，L∞(T)表示在T上的所有本性有界函數(shù)全體。Hardy空間Hp為Lp(T)的閉線性子空間[1]：

當(dāng)p=2時，H2(T)是Hilbert空間。Hardy，Riesz等在20世紀(jì)30年代最先引入并研究了Hardy空間[2-3]。

Toeplitz算子[4]的研究源于德國數(shù)學(xué)家Toeplitz研究對角線上為常數(shù)的矩陣，其可表示為H2(T)上的算子。用P表示L2(T)→H2(T)的正交投影算子，對φ∈L∞(T)，以φ為符號的Toeplitz算子Tφ[5]定義為：

Tφ∶H2(T)→H2(T)

Tφf=P(φf)，f∈H2(T)

Toeplitz算子研究主要致力于用符號的性質(zhì)刻畫Toeplitz算子的算子理論性質(zhì)。20世紀(jì)中葉以來，Toeplitz算子理論研究得到了很大的發(fā)展。眾多研究者對Hardy空間上的Toeplitz算子的有界性、緊性、譜和Fredholm算子進(jìn)行了深入的研究[6-11]。此外，Zhu等[12]主要研究了Hardy空間和Bergman空間上Toeplitz算子、Hankel算子、復(fù)合算子等，取得了大量重要的研究成果。

對于Hardy空間，Nordgren[13]給出了Toeplitz算子Tφ有一個非平凡約化子空間的一個充分條件；C.Cowen[14]證明了對f∈H∞，若存在α∈D，f-f(α)的內(nèi)函數(shù)部分是有限Blaschke乘積φ，則Tf與Tφ具有相同的交換子，所以Tf與Tφ具有相同的約化子空間。

對于Bergman空間，孫善利[15]從Thomson[16]的結(jié)果出發(fā)，完全刻畫了符號為兩個Blaschke乘積的解析Toeplitz算子的約化子空間。2000年，Zhu[17]證明了以2階Blaschke乘積φ為符號的乘積算子Mφ有且僅有2個非平凡極小約化子空間；Hu等[18]把Bergman 空間嵌入雙圓盤Hardy空間中考慮，證明了Bergman空間上以有限Blaschke乘積φ為符號的解析Toeplitz算子Tφ總是可約的；Guo等[19]證明了以3階Blaschke乘積φ為符號的乘積算子Mφ總是可約的，并且該算子的約化子空間的個數(shù)與φ的黎曼面的連通分支個數(shù)有關(guān)；Douglas等[20]證明了對有限階Blaschke乘積φ為符號的乘積算子的極小約化子空間個數(shù)等于φ-1°φ的Riemann曲面的連通分支數(shù)。

在1995年，HO[21]引入并研究了Lebesgue空間上的斜Toeplitz算子。近年來，斜Toeplitz算子已被推廣到Hardy、Bergman空間。最近Munmun Hazarika和Sougata Marik[22]研究了Lebesgue空間上斜Toeplitz算子的約化子空間，證明了斜Toeplitz算子在Lebesgue空間上有無窮多個極小約化子空間，并且每個極小約化子空間都由唯一的一個N-transparent函數(shù)f∈L2(T)生成。本文將研究Hardy空間上以zN為符號的斜Toeplitz算子的約化子空間。

1 預(yù)備知識

?n∈N，We2n=en;We2n-1=0

計算可得，對于?n∈N：

W*en=e2n

PWe2n=Pen=en=We2n=WPe2n

PWe2n+1=P0=0=We2n+1=WPe2n+1

PW*en=Pe2n=e2n=W*en=W*Pen

從而P約化W[21]，定義斜Toeplitz算子為：

Bφ=PWMφ

如果V是H2(T)上的一個有界線性算子，X是H2(T)的一個閉子空間，并且VX?X，則稱X是V的不變子空間；如果X既是V的不變子空間又是其伴隨算子V*的不變子空間，則稱X是V的約化子空間。如果X是算子V的約化子空間并且X的任意非平凡閉線性子空間都不是V的約化子空間，則稱X是算子V的極小約化子空間。

2 Bφ的極小約化子空間

定義1設(shè)N∈N，定義

引理1設(shè)N∈N，φ(z)=zN，則HN是Bφ的一個極小約化子空間。

證明：

BφeN=PWMφeN=PWe2N=PeN=eN

BφeN-K=PWMφeN-K=PWe2N-K=

其中

當(dāng)K′?E1時，有

注意：

2)K為整數(shù)且K∈Et0時，有

由簡單的計算可得

Bφe0=e2，Bφe2=e3，Bφe3=0

Bφe1=e3，Bφe3=e4，Bφe4=0

(2k-1)2tk≤N<(2k-1)2tk+1

證明：這里不妨令k=1，

若t=0：

BφeN-20=PWMφeN-20=PWe2N-20=0

0

BφeN-2t=PWMφeN-2t=PWe2N-2t=eN-2t-1

若0≤q≤log2N-1，

若q>log2N-1，

接下來證明它是極小的約化子空間。

由假設(shè)有以下等式成立：

eN-(2i-1)2t1=eN-(2j-1)2t2

當(dāng)t1=t2時，

N-(2i-1)2t1=N-(2j-1)2t2

即i=j，從而得出矛盾。

當(dāng)t1≠t2時，不妨設(shè)t1>t2，則

(2i-1)2t1-t2=2j-1

N-m=(2h-1)·2t0

則有

當(dāng)t=0時，

BφeN+(j-N)20=Bφej=PWMφej=PWeN+j=0

當(dāng)t>0時，

BφeN+(j-N)2t=PWMφeN+(j-N)2t=

PWe2N+(j-N)2t=eN+(j-N)2t-1

綜上：

引理3對?j，k∈SN，j≠k有

3 結(jié)論