構(gòu)建數(shù)學(xué)演繹圖式，讓說理可視化

林彩蓮

【摘要】推理能力的培養(yǎng)是義務(wù)教育課程改革的重要目標(biāo)?！把堇[”是重要的推理方式之一，“演繹推理用于證明結(jié)論”，人們借助它可以有條理地思考，迅速地解決問題。在“演繹”的幫助下，學(xué)生的數(shù)學(xué)思路往往能夠迅速得以理清。而“理”是抽象的，以形象思維為主的兒童要把“理”說清楚是件難事。本文試圖在“形象”與“抽象”之間，建構(gòu)框架、連線、表格、流程、數(shù)線等數(shù)學(xué)演繹圖式作為直觀支撐，讓兒童把說理的過程以圖式的形式呈現(xiàn)，借助語言與思維、語言與圖式的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換，把抽象的“理”化為看得見的“圖”，讓理據(jù)呈現(xiàn)，讓思維可見，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的構(gòu)建和思維的進(jìn)階。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);演繹推理能力;圖式建構(gòu);說理;可視化;

一、數(shù)學(xué)演繹圖式策略的提出

小學(xué)生的思維，由具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展。因此，在小學(xué)階段要適時(shí)地滲透演繹推理，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)演繹推理的過程，培育學(xué)生的演繹推理能力，體會演繹推理帶來的成功感。學(xué)生的演繹推理能力除了會隨著年齡由低級形式向高級形式發(fā)展以外，更重要的是通過外在的、恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略可以使其相關(guān)知識得到增長的同時(shí)能力也會得到一定的提升。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，對說理規(guī)范開展訓(xùn)練可以提高學(xué)生演繹推理的能力。然而，“理”是抽象的，處于由形象思維逐步向抽象思維發(fā)展的小學(xué)生往往對“是什么”信心滿滿，而一旦問“為什么”則“敬而遠(yuǎn)之”，產(chǎn)生畏難情緒。

近年來，我們通過引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建演繹圖式進(jìn)行說理的實(shí)踐，把“圖式”作為鏈接抽象說理與形象表達(dá)的重要通道，讓兒童的說理可視化，符合小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，是提高小學(xué)生演繹推理能力的有效路徑。

二、數(shù)學(xué)演繹圖式的解讀

所謂圖式，是“人們?yōu)榱藨?yīng)付某一特定情境而產(chǎn)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)”，是信息處理所依據(jù)的最基本單位，是一種視覺思維的方式。數(shù)學(xué)圖式，就是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中形成的一種用來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和解決數(shù)學(xué)問題所特有的認(rèn)知方式。劉秀梅教授從四個角度將其分為九種圖式（見圖1），演繹圖式屬于數(shù)學(xué)論證圖式之一，因此，數(shù)學(xué)演繹圖式是一種數(shù)學(xué)論證方式，是學(xué)生在數(shù)學(xué)分析和問題解決中形成的。常見的數(shù)學(xué)演繹推理圖式思維工具的形式有：框架圖、連線、流程圖、表格和數(shù)線圖。

數(shù)學(xué)圖式是重要的可視化思維方式，和幾何直觀的內(nèi)涵一致，更是一種適合小學(xué)生的生成性學(xué)習(xí)方式，可以促進(jìn)知識由表面認(rèn)知到深層理解，促進(jìn)學(xué)生由被動學(xué)習(xí)到主動建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)習(xí)由整齊劃一到個性體驗(yàn)。使用個性化圖形、符號表征的數(shù)學(xué)圖式比用規(guī)范的幾何圖形表征的幾何直觀更受小學(xué)生的青睞。

根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷就是圖式的不斷增刪、改組和完善的歷程。經(jīng)實(shí)踐驗(yàn)證，在教學(xué)中帶著學(xué)生構(gòu)建適宜的演繹圖式，用好數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，可以幫助學(xué)生說出推理的依據(jù)，說出“為什么”，做到言之有據(jù)，理清法明。

三、演繹圖式策略的教學(xué)運(yùn)用

（一）構(gòu)建框架圖式，讓數(shù)的相等關(guān)系理得清

在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，在“湊十法”、“破十法”、“口算兩位數(shù)加減兩位數(shù)”等計(jì)算教學(xué)中，學(xué)生表達(dá)思考計(jì)算的過程以及單位換算的過程，這都屬于演繹推理。如果在學(xué)生表述算理和算法的過程中配以框架圖式作為可視化工具支撐，有利于算理、算法的深層抽象和自主構(gòu)建，可以推進(jìn)學(xué)生演繹推理能力的發(fā)展。

【教學(xué)片斷1】9+幾

師：同學(xué)們都喜歡把盒子外面的1瓶牛奶放進(jìn)箱子湊成10 ，10 加剩下的3就是13。1和3是怎么得來的？你是怎么想的？

生1：我是這樣想的，把外面的4盒牛奶分成1盒和3盒，1盒加9盒等于10盒，10盒加3盒等于13盒。

生2：我也是把4分為1和3，1和9湊成10，10加3等于13。

師：你為什么要湊十？

生2：因?yàn)?0加幾就得十幾，有了10，計(jì)算就很方便。

師：請你再說一遍，讓我把你的方法記下來。（隨著學(xué)生的再次表述進(jìn)行板書）（見圖2）

師：一起來觀察板書，我們剛才是怎樣計(jì)算9+4=13的？請跟同桌說一說。

師：我們一起說一說計(jì)算過程。

生齊說：把4分成1和3，1和9湊成10，10加3等于13。

師：也就是見到9就想——

生齊說：1。

師：像這樣當(dāng)加法算式中沒有10的時(shí)候，能夠想辦法湊出10 的方法叫做“湊十法”。

以上片斷，通過“湊十法”來計(jì)算“9+幾”的過程，體現(xiàn)了演繹推理的過程。如果僅借助實(shí)物來表達(dá)算法、算理的推理過程，不利于兒童抽象思維的培養(yǎng);如果僅用純粹的語言表達(dá)算法、算理的推理過程，抽象的“理”又會把剛從幼兒園過來的“小不點(diǎn)”搞懵或者閉嘴不說。因此，在讓兒童親自參與“移一移”“算一算”“說一說”等活動的基礎(chǔ)上，教師通過構(gòu)建框架圖，把非形式化的演繹推理直觀呈現(xiàn)出來，呈現(xiàn)并強(qiáng)化了“湊十”的思維過程，加深了學(xué)生對算理的理解，讓學(xué)生在理清思路的過程中，培育了初步的推理意識和能力，以及抽象概括能力，積累了運(yùn)用圖式表達(dá)推理過程的經(jīng)驗(yàn)。

【教學(xué)片段2】3噸50千克 =（? ? ?）千克

師：3噸50千克 =（? ? ?）千克 ，請同學(xué)們獨(dú)立完成，并把自己的思考過程表示出來后跟同桌說一說。

師：誰上來介紹自己的思考過程？

生：（投影學(xué)生框架圖）（見圖3）我是這樣想的，把3噸50千克分為兩部分：3噸和50千克，3噸就是3000千克，3000千克加50千克就是3050千克，那么，3噸50千克就等于3050千克。

上述教學(xué)中，教師創(chuàng)立了可視化的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生用自己樂意的方式來表述思考過程，在一年級“湊十法”“破十法”、兩位數(shù)加減法口算等圖式表達(dá)的類比遷移下，學(xué)生自然而然會使用框架圖呈現(xiàn)自己的推理過程，清楚表達(dá)數(shù)量的相等關(guān)系，有效地提升了思維、表達(dá)的一致性和完整性。