數(shù)學(xué)問題解答

2606設(shè)凸四邊形ABCD的邊長和對角線長分別為BC=a,CD=b,DA=c,AB=d,AC=m,BD=n，四邊形的面積為Δ，則

(a+c)2+(c+d)2-m2-n2≥4Δ，

當(dāng)且僅當(dāng)四邊形為正方形時等號成立.

(山東省泰安市寧陽第一中學(xué) 劉才華 271400)

證明如圖，設(shè)P,Q分別為線段BD,AC的中點(diǎn)，直線BD和AC所成角為θ，

則mn(1-sinθ)+2PQ2≥0.

等號當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=1且P與Q重合即四邊形ABCD為正方形時成立.

由托勒密定理ac+bd≥mn知(等號當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形時成立)

①式?2ac+2bd+4PQ2≥4Δ.②

又由結(jié)論：任意四邊形四條邊長的平方和等于兩條對角線長的平方和再加上對角線中點(diǎn)連線長平方和的4倍，知

②式?a2+b2+c2+d2+2ac+2bd-m2-n2

≥4Δ.

故(a+c)2+(c+d)2-m2-n2≥4Δ，

當(dāng)且僅當(dāng)四邊形為正方形時等號成立.

2607設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467001)

證明由{an}的通項(xiàng)公式可知該數(shù)列即為

0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,…,0,0,0,1,1,1,….

這是一個周期T=6的周期數(shù)列，且

a1=a2=a3=0，a4=a5=a6=1.

設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則由周期數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

上式取極限得

(1)

再設(shè)n=6k+rn，其中k，rn均為非負(fù)整數(shù)，

且rn=0,1,2,3,4,5.則

于是

(2)

(3)

由(1)，(2)，(3)三式可得

2608已知a,b,c∈R，且a,b,c中至多一個為0，則有

(云南省大理州漾濞縣第一中學(xué) 秦慶雄 范花妹 672500)

證明因?yàn)?a+b)2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)(a2+b2)

=(a+b)2(a2+b2)+(a+b)2c2-2(ab+bc+ca)(a2+b2)

=(a2+b2)2+(a+b)2c2-2c(a+b)(a2+b2)

=(a2+b2)2-2c(a+b)(a2+b2)+(a+b)2c2

=[(a2+b2)-(a+b)c]2≥0，

所以

(a+b)2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)(a2+b2)，

同理可證

將以上三式兩邊分別相加，可得

(浙江臺州市洪家中學(xué) 鄔天泉 318015)

證明設(shè)A(acosθ,bsinθ)，B(acosφ,

bsinφ)(θ-φ≠kπ,k∈Z)，則

聯(lián)立(1)(2)得

設(shè)Q(acosγ,bsinγ)，同理可得

=(X1,Y1)，

同理，得

=(X2,Y2).

=(X1Y2-X2Y1)2，

2610設(shè)任意△ABC的三邊長及對應(yīng)的三中線分別為a、b、c、ma、mb、mc，則有

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時等號成立.

(安徽省太和縣第二小學(xué) 任迪慧 張小林 236630)

(1)

(2)

(3)

(1)+(2)+(3)整理得

(4)

一方面在△ABC中 ，易證

(5)

另一方面

(6)

由(4)、(5)和(6)可證得

2021年7月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2611設(shè)△ABC的外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑，三邊長分別為R,r,a,b,c,三個內(nèi)角∠BAC,∠ABC,∠ACB對應(yīng)的旁切圓圓心分別為D,E,F，證明：

(安徽省岳西縣湯池中學(xué) 蘇岳祥 楊續(xù)亮 246620)

2612如圖1，△ABC的內(nèi)切圓⊙I與AB邊相切于點(diǎn)D，⊙O，⊙O1和⊙O2分別為△ABC，△ACD和△CDB的旁切圓，設(shè)⊙O，⊙O1，⊙O2的半徑分別為r，r1，r2，⊙O與AC相切于點(diǎn)E，則

圖1

(四川省成都華西中學(xué) 張?jiān)迫A 610051)

(江蘇省徐州市第一中學(xué) 張培強(qiáng) 221140)

(河南省方城縣教研室 邵明憲 473200)