手執(zhí)無(wú)形尺，心向“度量”思

翟育敏

摘 要：六年級(jí)備課加上新世紀(jì)組織的辯課活動(dòng)，讓我研究網(wǎng)絡(luò)辯課時(shí)對(duì)方的課程《生活中的比》，于是先向自己提問(wèn)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);生活;案例研究

案例研究背景：

①常規(guī)發(fā)問(wèn)：什么是比？回答：兩個(gè)數(shù)相除就是這兩個(gè)數(shù)的比。

②進(jìn)階追問(wèn)：比有什么用處？回答：表示兩個(gè)量之間倍數(shù)的關(guān)系。

③思維叩問(wèn)：除法能表示兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系，為什么還要學(xué)比？這個(gè)問(wèn)題，也來(lái)自于張丹教授對(duì)學(xué)生的提問(wèn)。

④定向質(zhì)問(wèn)：新世紀(jì)將“比”歸于“度量”，何意？

于是，個(gè)人認(rèn)為自己去尋找一個(gè)能說(shuō)服自己的答案，才能幫助、引導(dǎo)、說(shuō)服學(xué)生，所以需要對(duì)此進(jìn)行研究。

本課研究是《生活中的比》第一課時(shí)，只研究同類量的比。

關(guān)于度量的研究：

①查閱、搜集資料，得到與自己以往相同的認(rèn)知。

② 思考，產(chǎn)生與以往不同的認(rèn)知。

比、比率的概念與比例推理是度量的核心思想之一。

案例過(guò)程描述：

經(jīng)過(guò)課前自己的學(xué)習(xí)、探究，對(duì)上課內(nèi)容的多次調(diào)整，上課時(shí)刻意關(guān)注了學(xué)生的狀態(tài)。

一、像不像與比。

本節(jié)課問(wèn)題串第一個(gè)問(wèn)題就是“哪幾張圖片與圖A比較像”，所以咱們的研究也從“像不像”這個(gè)問(wèn)題入手，如何界定像不像？借助方格圖，我們完成了問(wèn)題串第二個(gè)問(wèn)題關(guān)于“長(zhǎng)和寬有什么關(guān)系”的探究。既可以橫向比較又可以縱向比較，兩張圖片長(zhǎng)與長(zhǎng)的商、寬與寬的商相同就像，或者兩張圖片各自長(zhǎng)與寬的商相同就像。無(wú)論哪一種比較方式都得到一個(gè)結(jié)論：商相同就像。像這樣，兩個(gè)數(shù)相除又叫這兩個(gè)數(shù)的比。于是將剛剛所說(shuō)的兩個(gè)數(shù)相除通通換成兩個(gè)數(shù)的比，長(zhǎng)與長(zhǎng)的比、長(zhǎng)與寬的比是最基本的長(zhǎng)度之間的比，商相同就變成了了比值相同，也就是“比”相同，于是知道“比相同的兩張圖片像”。

二、源于生活的比。

《生活中的比》一定是源自于生活的，于是大量的生活中的例子為學(xué)生呈現(xiàn)出來(lái)，這是在解決問(wèn)題串中第四個(gè)問(wèn)題“你能聯(lián)系實(shí)際說(shuō)說(shuō)生活中有哪些比嗎”。學(xué)生在說(shuō)之前我們可以先提供一些生活中的比，促進(jìn)學(xué)生聯(lián)想與理解。

①洗手液與水的體積比為2：1的泡泡水。

②咖啡粉與水的質(zhì)量比為4：1的咖啡。

③“一硝二磺三木炭”的黑火藥最初配方。

④《考工記》中關(guān)于青銅器中銅、錫的成分比例。

⑤中餐的“少許”、“適量”與西餐嚴(yán)格的配比。

……

這些生活中的比體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，也為之后我們體會(huì)“為什么要學(xué)比”“比有什么作用”打下知識(shí)與情境的基礎(chǔ)。

三、變與不變的規(guī)則。

剛剛我們舉例中的體積比、質(zhì)量比其實(shí)就是“按比分配”，當(dāng)然這都是同類量的比。為什么要“按比分配”？不過(guò)就是為了保證規(guī)格始終不變，改變咖啡粉的質(zhì)量就得改變水的質(zhì)量只為保證口味不變，如何變，是有規(guī)則的，這個(gè)規(guī)則就是比，所以在“變與不變”中讓學(xué)生體會(huì)，不變的是兩個(gè)數(shù)量的比，而這個(gè)“比”保證了咖啡質(zhì)量不變。其實(shí)這也是呼應(yīng)開課時(shí)的“像不像”。

四、一把有用尺。

有了變與不變的基礎(chǔ)，再往深挖掘，詢問(wèn)學(xué)生：“既然除法可以表示倍數(shù)關(guān)系為什么還要學(xué)比呢？”生1：“多學(xué)一點(diǎn)也無(wú)妨?！鄙?：“比簡(jiǎn)單，看起來(lái)很清楚?！鄙?：“除法只能表示兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系，但是比可以表示很多個(gè)量之間的關(guān)系，比如硫磺、硝石、木炭就是三個(gè)量的比。”很好，又解決了一個(gè)問(wèn)題③?！氨染哂兄庇^表示的特點(diǎn)，比可以表示多個(gè)量之間的關(guān)系?！北仁怯杏玫?、有價(jià)值的，區(qū)別于除法的價(jià)值或者說(shuō)是優(yōu)于除法的價(jià)值。

五、一把無(wú)形尺。

說(shuō)了比的有點(diǎn)，展開想象，詢問(wèn)學(xué)生：“你覺得比像什么？”生1：“比像一把尺子，測(cè)量了咖啡的口味?！鄙?：“比像一個(gè)模具，做出了一樣的東西?！鄙?：“比像一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，比就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，不符合這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，做出來(lái)的就是不合格的產(chǎn)品。”于是，問(wèn)題②④解決，“比”就是一個(gè)度量的工具，不過(guò)是無(wú)形的工具。就此，比的度量?jī)r(jià)值就特別充分了。

六、碰撞“萬(wàn)千思”。

課堂總結(jié)階段，引導(dǎo)學(xué)生談收獲，說(shuō)想法。同學(xué)們想探討的問(wèn)題還很多。

請(qǐng)接受自學(xué)生的“靈魂拷問(wèn)”：

①多個(gè)量比時(shí)每個(gè)量有沒(méi)有具體名稱呢？

②如何計(jì)算多個(gè)量的比值呢？

③比能為負(fù)的嗎？

④比的后項(xiàng)不能為0，那么前項(xiàng)呢？

案例研究分析：

一、舊識(shí)引新知。

1、舊識(shí)依舊在，且無(wú)錯(cuò)誤言。

“度量”是中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的一條主線。度量是指用一個(gè)帶單位的數(shù)值來(lái)描述可測(cè)量物體或現(xiàn)象的某一個(gè)屬性，從而形成某個(gè)含有特殊含義的量，如長(zhǎng)度、面積、體積、角度、重量（質(zhì)量），方位、溫度、時(shí)間、貨幣等。這些都是“可測(cè)量”屬性，是借助工具得到的，是人實(shí)踐的結(jié)果。我們常說(shuō)的“度量”該是指工具度量，這是我已有的舊識(shí)，這也是說(shuō)起度量學(xué)生們的認(rèn)知。

2、舊識(shí)發(fā)深思，且思且新知。

問(wèn)題的產(chǎn)生讓我思考，于是我想長(zhǎng)度能度量、面積能度量、體積能度量、角度能度量，顏色能度量嗎？顏色也是物體的屬性，它該如何度量？是的，這就得借助“比”這個(gè)工具了。黃色和綠色顏料調(diào)配在一起一定是藍(lán)色嗎？我想要的藍(lán)色是你配出來(lái)的藍(lán)色嗎？所以這就需要有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，而這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，就是比。如此，比就體現(xiàn)了自己的價(jià)值，不用去做除法，它就像一把尺子一樣存在于那里?！氨取辈辉偈呛?jiǎn)單的兩個(gè)數(shù)相除了。思考引發(fā)了新知。對(duì)于學(xué)生而言亦是如此，學(xué)生在想“比”的時(shí)候不再是簡(jiǎn)單地認(rèn)為就是兩個(gè)數(shù)相除，他對(duì)于比的理解更加深刻。

二、新知解舊識(shí)。

1、新知讓舊識(shí)更加全面。

常規(guī)發(fā)問(wèn)①的深度思考，“兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比”這是數(shù)學(xué)世界里比的數(shù)學(xué)意義，揭示的是數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，或者說(shuō)在數(shù)學(xué)世界里除法是比的來(lái)源。我們“兩個(gè)數(shù)相除”與“兩個(gè)量的比”并不是等價(jià)的概念，兩個(gè)量的比可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)數(shù)相除，但兩個(gè)數(shù)相除不能籠統(tǒng)地說(shuō)就是這兩個(gè)數(shù)的比。

2、新知讓舊識(shí)更加理性。

以比的概念形成發(fā)展過(guò)程縱觀：最先是同類量的簡(jiǎn)單倍數(shù)比較，如甘蔗飲料的配比1：5;接著是同類量的復(fù)雜比，如樹高與其影長(zhǎng)之比，具有函數(shù)對(duì)應(yīng)的背景;再次是不同類量的比較，具有量綱，如速度;最后，則是從“量”到“數(shù)”，引出兩個(gè)無(wú)量綱的數(shù)的比。我們從比的數(shù)學(xué)定義入手，讓學(xué)生思考，既然比與除法、分?jǐn)?shù)都能表示兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，那為什么還要學(xué)習(xí)比呢？素材的借助，小組探究的開展，讓學(xué)生們逐步理解比在表示多個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系時(shí)更具優(yōu)勢(shì)，更加直觀;讓學(xué)生體會(huì)到比就像模子一樣，它表示了變化量中不變的關(guān)系，它可以對(duì)應(yīng)許多的量。學(xué)生的感受是我們最應(yīng)該關(guān)注到的，與去年所帶六年級(jí)學(xué)生相比較，這一級(jí)的孩子，對(duì)于“比”的了解從是什么、怎么用，上升到了有什么優(yōu)勢(shì)、為什么要用、可以怎樣更好地用。

3、新知讓舊識(shí)更加豐滿。

“比”不再是孤單的比，更有其豐滿的意義。

一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，一個(gè)模具，一把尺子，一把無(wú)形的尺子，容納太多。糖水甜不甜，只看糖的多少不行，還要看水的多少，要把糖和水的關(guān)系刻畫出來(lái)，這就是關(guān)于甜不甜的一種度量。比既是“模具”，若為3：5，只需要滿足3份和5份的關(guān)系就可以;比又是一把無(wú)形的“尺子”，可以量一杯水甜不甜，量一個(gè)人走得快還是慢，量這個(gè)商品的價(jià)格貴還是便宜，量斜坡陡不陡，量是不是你想要的湖藍(lán)色，還能量咱倆究竟誰(shuí)胖而不僅僅是誰(shuí)重……有的時(shí)候需要深入研究的不僅僅使我們，更應(yīng)該是要讓孩子們學(xué)會(huì)去思考，不僅僅是我能從書上知道什么，還可以去了解教材中為什么這樣去安排，價(jià)值如何，那么數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)地構(gòu)建就是成功的、深刻的、豐滿的。

我們都是六年級(jí)的老師，我們的學(xué)生們大都面臨著不同程度的小升初，能快速準(zhǔn)確地解決問(wèn)題也是我們希望孩子們所擁有的能力。說(shuō)這個(gè)或許有些老師覺得我有點(diǎn)實(shí)際，但這也是我們靈活應(yīng)用知識(shí)的一個(gè)表現(xiàn)。在上學(xué)期比的認(rèn)識(shí)單元學(xué)習(xí)之后，我們遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題，于小學(xué)六年級(jí)的孩子而言，是比較困難的，因?yàn)楹美斫獾姆椒ú缓糜?jì)算，好計(jì)算的方法不好理解。

（有甲乙兩塊含銅率不等的合金，甲塊重12千克，乙塊重18千克?，F(xiàn)從兩塊合金上各切下重量相等的一部分，將甲塊上切下的部分與乙塊剩余的部分一起熔煉，再將乙塊上切下的部分與甲塊上剩余的部分一起熔煉，得到的兩塊新合金的含銅率相等，從每塊切下的部分各重多少千克？）

方法一：設(shè)三個(gè)未知數(shù)--簡(jiǎn)單的關(guān)系，復(fù)雜的計(jì)算

方法二：設(shè)數(shù)、設(shè)未知數(shù)--大膽地猜想，小心地求證。

方法三：極值--復(fù)雜的思維基礎(chǔ)，簡(jiǎn)單的解題過(guò)程。

往極端想，假如甲塊是100%的純銅，而乙塊是不含銅的金屬，也就是0%的含銅率。聯(lián)想我們的糖水，甲全是糖，乙全是水，那么當(dāng)我們把這12千克的糖和18千克的水完全混合在一起之后，得到的糖水的含糖率為12÷（12+18）=40%。那么這時(shí)，甲杯中的糖就有12×40%=4.8（千克），而原來(lái)有12千克的糖，所以給乙的那部分就該是12-4.8=7.2千克。同樣的，說(shuō)回100%的銅與含銅率0%的金屬，道理是同樣的。所以如果我們采用極值的思想，那么只需簡(jiǎn)單的過(guò)程就可以解決問(wèn)題。

如果我們用第四種方法，“構(gòu)建比的模子關(guān)系，發(fā)揮比的度量作用”，相對(duì)來(lái)說(shuō)就簡(jiǎn)單很多。比就像一個(gè)模子，背后藏著很多符合這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的量。甲塊與乙塊的質(zhì)量比為12比18，也就是2比3，由于要進(jìn)行等質(zhì)量的交換，交換后正好含銅率相同，那么我們只要保證我們分割或者合成的每一塊內(nèi)含有甲乙的質(zhì)量比均為2比3，就能得到一塊塊含銅率相等的合金。所以，新合成的合金中，第一塊只需保證包含的原來(lái)甲乙兩類的質(zhì)量比為2比3，也就是包含甲12÷（2+3）×2=4.8（千克）即可，那么剩下的部分就應(yīng)該來(lái)自原來(lái)乙塊，同樣的甲塊剩下的部分也轉(zhuǎn)移給了乙，也就是12-4.8=7.2（千克）。

一把尺子，有形，是工具，能度量;

一把尺子，無(wú)形，依舊是工具，依舊可度量！

愿每一位老師眼有光、心有思、手執(zhí)尺、“渡”少年！

參考文獻(xiàn)：

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