巧用類比進(jìn)行高中立體幾何解題

蘇寧

摘 要：立體幾何內(nèi)容在多次課改后仍作為數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，而且從高中內(nèi)容和高考試題所占的比重來看，進(jìn)行立體幾何解題研究是非常必要的。已有研究表明，類比是立體幾何解題眾多思想中的一種。本文將圍繞如何運(yùn)用類比進(jìn)行立體幾何解題展開研究。

關(guān)鍵詞：類比;立體幾何;解題

作為自然科學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的發(fā)展一直被人們看重。這表現(xiàn)為數(shù)學(xué)一直是我國基礎(chǔ)教育階段的基礎(chǔ)學(xué)科之一，也表現(xiàn)為在各級各類形式的考試中，數(shù)學(xué)都是一門必考科目。尤其是高考，數(shù)學(xué)作為高考的一門必考科目，考慮到它在高考中所占比重，數(shù)學(xué)的重要性不言自明。數(shù)學(xué)涵蓋了眾多的知識模塊，每個(gè)模塊都應(yīng)被深入地進(jìn)行解題研究。其中立體幾何歷經(jīng)數(shù)次課改，仍占據(jù)著高中數(shù)學(xué)無可撼動(dòng)的重要地位?？紤]到一些實(shí)際原因，現(xiàn)實(shí)表明立體幾何一直是學(xué)生們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。

基礎(chǔ)教育階段教材的編制也考慮到這個(gè)問題，為分解學(xué)習(xí)難度，我們從小學(xué)階段就開始接觸到立體幾何。國內(nèi)在每個(gè)階段都安排有立體幾何知識的學(xué)習(xí)，循序漸進(jìn)式學(xué)習(xí)是非常好的，但是學(xué)習(xí)難度仍然存在。具體來說，空間幾何的抽象性較大，真正解決立體幾何問題主要集中在高中階段，這要求學(xué)生必須具有一定的演繹推理能力與空間想象能力，但這又是學(xué)生欠缺的。好的立體幾何教學(xué)策略固然會得到好的教學(xué)效果，掌握立體幾何解題方法非常重要。如果按照波利亞的說法，掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題的話，那么，我們也可以說，衡量掌握好立體幾何的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)就是要擅長立體幾何解題。

眾所周知，類比是一種重要的數(shù)學(xué)思想。它可以加強(qiáng)數(shù)學(xué)新舊知識間的聯(lián)系，梳理數(shù)學(xué)知識，深化對問題的認(rèn)識，開闊自身的視野，進(jìn)而深化學(xué)生對于這種思想的認(rèn)識，提高學(xué)生自身發(fā)現(xiàn)問題的能力。已有研究表明，類比是立體幾何解題眾多思想中的一種。姚宗貴在其文章中提出，在立體幾何中，類比這種思想方法的應(yīng)用也是比較廣泛的，并列舉了大量例子。在立體幾何的相關(guān)解題中，如果巧妙使用類比，可以降低問題的難度，方便學(xué)生解答。以下將列舉一些具體題目供讀者體會：

例1：通過類比將平面幾何命題推廣到空間得到立體幾何命題如：在平面幾何中，正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值。類比到立體幾何中有什么結(jié)論呢？分析“正三角形”類比到空間“正四面體”任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值類比到空間為“任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和”是否也是一個(gè)定值呢？

解析：類比平面的線到空間的面，平面的面到空間的體。結(jié)論：任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值。解決方法：聯(lián)想平面中結(jié)論的證明應(yīng)用的是等面積，則空間中使用等體積來處理。

例2：類比平面直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想，并證明。

解析：類比線的關(guān)系得到面的關(guān)系。猜想面積的平方之間具有某種等量關(guān)系。類比平面中的直角三角形，得出的結(jié)論是適用于特殊的空間四面體，即直三棱錐（也就是俗稱的“墻角”）。猜想：三個(gè)兩兩互相垂直的面構(gòu)成的四面體中，剩余的面的面積的平方為這三個(gè)兩兩互相垂直的面的面積的平方和。

例3：能否將平面中的中位線定理推廣到立體幾何中？

解析：運(yùn)用類比可將平面幾何中的中位線定理按照下述方式推廣到立體幾何中的關(guān)于棱錐中位面的命題：在一個(gè)四面體中，三個(gè)側(cè)棱的中心所構(gòu)成的三角形即為該四面體的中位面，中位面的面積為底面面積的四分之一。在類比得到命題之后，證明就比較簡單了，這個(gè)問題的關(guān)鍵點(diǎn)是通過類比，構(gòu)建一個(gè)新的命題。

例4：試給出定理：“在同一個(gè)三角形中，任兩邊之和大于第三邊?！痹诹Ⅲw幾何中的一種推廣，并證明推廣后的命題。

解析：類比二維平面中的“三角形”與三維空間中的“四面體”，首先可以做出如下推廣：在同一個(gè)四面體中，任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積。在我們通過類比得到命題后，我們再繼續(xù)進(jìn)行命題的證明就簡單多了。

例5：直線（或線段）可以看成一維，平面是二維的，幾何體是三維。由此：線段的中點(diǎn)平分線段，即分線段的比是1：1，三角形的重心分所在的中線1：2，已知：四面體ABCD，△BCD的重心為E，△ACD的重心為F，AE交BF于點(diǎn)O，則O分EA的比為_____。

解析：類比平面中重心的比例關(guān)系的證明，同樣可以構(gòu)造平行線去證明空間中的比例大小。連接AF、BE、EF即可獲得O分EA的比為1：3。

例6：如圖所示，若從點(diǎn)O所做的兩條射線OM、ON上分別有點(diǎn)M1，M2與點(diǎn)N1，N2，則三角形的面積比為，若從點(diǎn)O所作的不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上，分別有點(diǎn)P1、P2;Q1、Q2;R1、R2，則類似的結(jié)論為______。

解析：新舊知識的類比有內(nèi)容上的對比，有方法上的對比，也有基本結(jié)構(gòu)上的對比，通過類比可以使撲朔迷離的問題明朗化。本題易見是以三角形作為類比對象，將所求的問題遷移到立體幾何中，繼而得出三棱錐的體積比為。

例7：直角三角形ABC中，下述命題是成立的：

①∠A=30°，則其所對邊;

②若CD是斜邊上的中線，則

③若CD⊥AB于D，則CD是BD與DA的比例中項(xiàng)。

在直三棱錐O-ABC（俗稱“墻角”）中，有類似的命題成立：

①若AO與面ABC成30°，則S△BOC_____;

②E、F分別是側(cè)棱AB、AC的中點(diǎn)，則S△EOF______;

③過O作平面ABC的垂直平面β，設(shè)β交面ABC于AD，且OA與面ABC成α角，則_____________。

解析：本題的意圖是在平面中三個(gè)定理的基礎(chǔ)上，根據(jù)相應(yīng)的定理內(nèi)容，運(yùn)用類比推導(dǎo)出空間立體幾何中與之相對應(yīng)的定理的內(nèi)容。設(shè)置的問題既從解題過程中依賴前面的結(jié)論，也從結(jié)果形式上類比前面的結(jié)論得到對應(yīng)形式。①中平面給出的是邊之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)移到空間中去，類比得到面積之間的等量關(guān)系。題目條件有線面角，依據(jù)此尋找面積表達(dá)式中邊長的比例關(guān)系，即S△BOC=S△BOC.②是在第①步的基礎(chǔ)上，繼續(xù)尋找面積計(jì)算公式中邊和高之間的比例關(guān)系。當(dāng)然面積的關(guān)系需要利用平面中線段之間的關(guān)系，進(jìn)一步得到S△EOF=S△ABC.。③小題類比平面中的射影定理，根據(jù)表達(dá)式中的邊長，擴(kuò)展成面積時(shí)，為保持等量關(guān)系，需要平方，這個(gè)是相較前面的稍復(fù)雜一點(diǎn)的類比，即S△OAD2=S△ABD· S△ACD· cos2α.

例8：由三棱錐S-ABC的底面ABC上任一點(diǎn)O作直線OA'，OB'，OC'分別平行于棱SA、SB、SC與面SBC、SCA、SAB相交于A'，B'，C'。

求證：。

解析：本題的證明與在平面幾何中證明這類式子相類似。通常的處理方式是把左邊的幾個(gè)式子轉(zhuǎn)化為面積比后再證。在立體幾何中，用類比的方法解決問題時(shí)需設(shè)法把等式左邊化為體積之比，在分母相同的情況下，化簡各式證明本題。

例9：如圖所示，ABC-A1B1C1為一斜三棱柱，點(diǎn)P為ABC-A1B1C1其中一條側(cè)棱BB1上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作垂線PM垂直于AA1，PN垂直于CC1，垂足分別為M，N，連接MN。

（1）證明：MN垂直于CC1;

（2）任意給△DEF，由余弦公式知：DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE現(xiàn)將此公式拓展到空間圖形，類比平面三角形的余弦定理，推測斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并給出相應(yīng)證明。

解析：（2）題考查平面中三角形的余弦定理在空間圖形中的推廣，其中聯(lián)系的線索為余弦定理。這里的類比主要是從平面中的線類比到空間中的面，兩條線的交角類比到空間兩個(gè)面所成的二面角。由（1）知，可以使用余弦公式得出 PM2=MN2+PN2-2·PN·MN·cos∠PNM，兩邊同乘以CC12，即可得到斜三棱柱三個(gè)側(cè)面的面積，于是得證。

以上的分析研究對使用類比快速解決立體幾何問題是有重要意義的。學(xué)習(xí)雖苦，但是如何苦中作樂，讓自己從浩瀚的知識海洋中體會獲取知識的快樂，體會解決困難后的喜悅，體會到高效學(xué)習(xí)的痛快，這對學(xué)生來說將是非常珍貴的。具體筆者給出下面幾點(diǎn)建議：

一、不斷建構(gòu)立體幾何知識體系

不斷將所學(xué)知識進(jìn)行關(guān)聯(lián)，在掌握類比和立體幾何的基礎(chǔ)知識后，嘗試建構(gòu)立體幾何知識體系。避免學(xué)生將知識孤立起來學(xué)習(xí)，學(xué)生自己也可以了解，任何待解決的數(shù)學(xué)問題都是可以通過什么樣的知識鏈接起來，而且連接起來的知識之間是通過什么連接起來的，這會給我們一些做題的靈感，在我們平時(shí)的解題中為我們指明方向。

二、挖掘類比和立體幾何知識背后更深的內(nèi)涵

鑒于學(xué)生處理復(fù)雜的類比題目解決立體幾何問題的作答情形，僅僅教授學(xué)生基礎(chǔ)的知識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。單純地形式上的類比，結(jié)果有可能是錯(cuò)誤的。我們需要可靠地借助類比解決問題，這樣自然會收獲到更多的知識。

三、嚴(yán)格要求自己，不斷提高自身能力和素質(zhì)

學(xué)生功利化的學(xué)習(xí)一直是教育中不可規(guī)避的問題，學(xué)生們長久的停留在重復(fù)訓(xùn)練相同的或者相似的題目，難以得到自身能力的提升。要正視學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)是為了不斷地提高自身能力，加強(qiáng)個(gè)人修養(yǎng)。

四、多思多想，養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣

好的解題就要達(dá)到做一反三的地步。如不能靈活挖掘題目的本質(zhì)，則很難達(dá)到很好的解題。有人說數(shù)學(xué)有一種“冷峻而嚴(yán)厲的美”，想要挖掘出數(shù)學(xué)的這種美，需要學(xué)習(xí)者不斷地進(jìn)行思考，將自己對問題的認(rèn)識納入到自己的知識體系中去，只有這樣才能不斷的進(jìn)步。

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