數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題題型分類與方法歸納

摘 要：所謂動(dòng)點(diǎn)問題是指在線段上、射線上、圓上、立體圖形中、函數(shù)圖象中存在一個(gè)或者幾個(gè)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，這些點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題就是動(dòng)點(diǎn)問題。[1]作為歷年中考第24題的必考內(nèi)容，動(dòng)點(diǎn)問題在中考中占有重要地位，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)問題的求解方法也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)重點(diǎn)和難度內(nèi)容。本文通過對近年來大連市中考試題進(jìn)行分析，根據(jù)問題提出維度，將中學(xué)階段動(dòng)點(diǎn)問題分為求線段、求面積兩種題型，根據(jù)題型的不同，相對應(yīng)地，總結(jié)出不同的解題方法。旨在更好地服務(wù)于中學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題教學(xué)實(shí)踐。

關(guān)鍵詞：動(dòng)點(diǎn)問題;題型分類;解題方法

一、求線段類動(dòng)點(diǎn)問題

（一）例題

例1 （2014年大連市中考24題） 在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8。折疊紙片，使點(diǎn)B落在AD上，落點(diǎn)為點(diǎn)B′。B′從點(diǎn)A開始沿AD進(jìn)行移動(dòng)，折痕所在的直線l，位置也隨之發(fā)生改變，當(dāng)直線l經(jīng)過A時(shí)，B′停止移動(dòng)，連接BB′。設(shè)直線l與AB相交于E，與CD所在直線相交于F，B′移動(dòng)的距離為x，點(diǎn)F與點(diǎn)C的距離為y。

（1）求證：∠BEF=∠AB′B;

（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍.[2]

（二）題目共性特征

1.借助圖形變換，考察學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)線段或角之間的特殊數(shù)量關(guān)系的能力;

2.圖形中包含諸如等腰三角形、直角三角形、矩形等特殊圖形，便于考察特殊圖形的相關(guān)性質(zhì)定理。[3]

（三）求解共性方法

1.通過觀察圖形中的相關(guān)幾何變換，利用這些幾何變換的性質(zhì)，得出相等的邊或角。例如，在常見的幾何變換中，平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后，圖形中的對應(yīng)線段、對應(yīng)角依然相等，

2.通過分析題目中的圖形和已知條件，得出特殊圖形，在利用特殊的性質(zhì)，推導(dǎo)出邊或角的特殊數(shù)量關(guān)系。例如，等腰三角形的三線合一，直角三角形可以利用勾股定理，矩形的邊、角的特殊性質(zhì)等等。

3.利用上述邊或角的相等關(guān)系，得出圖形的全等或相似，在利用全等或相似的性質(zhì)，得出線段的表示方法，即為所求。[4]

二、求面積類動(dòng)點(diǎn)問題

（一）例題

例2? （2016年大連市中考24題） 如圖1，△ABC中，∠C=90°，線段DE在射線BC上，且DE=AC，線段DE沿射線BC進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)，D與B重合，D到達(dá)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，過D作DF=DB，與射線BA相交于F，過E作BC的垂線，與射線BA相交于G.設(shè)BD=x，四邊形DEGF與△ABC重疊部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0

（二）題目共性特征

1.與函數(shù)圖象相聯(lián)系設(shè)定已知條件;

2.借助運(yùn)動(dòng)過程和分段函數(shù)圖像，考察分情況討論的數(shù)學(xué)思想方法;[7]

3.借助求面積公式，啟發(fā)學(xué)生構(gòu)造平行或垂直的輔助線;

4.借助特殊的圖形或特殊的位置關(guān)系，考察相關(guān)的性質(zhì)定理;

5.借助圖形變換，給出特殊的線段或角的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而考察學(xué)生對于全等或相似相關(guān)知識的運(yùn)用;[8]

6.考察求特殊圖形面積公式或割補(bǔ)法求不規(guī)則的圖形的面積。

（三）求解共性方法

1.觀察圖像，得出特殊值。如例2中（1）的求解，由圖象可知BC=3，故答案為3。

2.分析題目已知的運(yùn)動(dòng)過程，以及分段函數(shù)圖像中，每一段所對應(yīng)的自變量所在區(qū)間，進(jìn)行分情況討論。如例2中（2）的求解分為三種情況，分別是：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，當(dāng)1

3.在利用面積公式過程中，通過分析圖形，構(gòu)造垂直或平行的輔助線。如例2中（2）第①種情況中，為求△BFD的面積，作DM⊥AB于M。[10]

4.分析題目中已知的特殊圖形或特殊位置關(guān)系，運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理，[8]如在例2中，運(yùn)用平行線分線段成比例，直角三角形勾股定理等等，求相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系或線段長度。

5.分析已知條件中的圖形變換，得出特殊的線段或角的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得出全等或相似，運(yùn)用全等或相似的性質(zhì)，求出相關(guān)線段的長，再代入特殊的圖形的面積公式或利用割補(bǔ)法求不規(guī)則的圖形的面積來求解。

結(jié)語

回顧歷年中考第24題，動(dòng)點(diǎn)問題在中考中占有重要地位，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)問題的求解方法也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)重點(diǎn)和難度內(nèi)容?？偨Y(jié)近年來大連市中考試題，中學(xué)階段動(dòng)點(diǎn)問題根據(jù)問題提出的維度，分為：求線段和求面積兩種題型，題型的不同，其對應(yīng)得解題方法也不同，在實(shí)際的問題求解和教學(xué)過程中，可以根據(jù)題型，進(jìn)行對應(yīng)方法套用。

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作者簡介：張馨月（1987-）滿族，女，遼寧大連人，碩士，大連市第三十九中學(xué)數(shù)學(xué)教師，中學(xué)一級教師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

基金項(xiàng)目：大連市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度一般課題“動(dòng)點(diǎn)問題中培養(yǎng)初中生邏輯推理素養(yǎng)策略研究”，課題編號：ND2018111。