2020年高考數(shù)學(xué)北京卷的特點及教學(xué)建議

摘? 要：2020年高考數(shù)學(xué)北京卷的試題有五個特點：在試題的考查過程中，體現(xiàn)了對主干知識、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合考查;在試題的素材中，實現(xiàn)了古典優(yōu)秀文化與現(xiàn)代先進文化的相融;在開放性試題中，為學(xué)生提供了廣闊的思考空間與選擇空間;在探究性試題中，突出了對數(shù)學(xué)實驗的考查;在創(chuàng)新試題中，突出了對關(guān)鍵能力的考查. 基于此，提出相應(yīng)的四點教學(xué)建議：注重數(shù)學(xué)實驗，暴露問題探究的形成過程;重視數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng);貫穿理性思維，提高關(guān)鍵能力;突出應(yīng)用與文化，實現(xiàn)立德樹人的育人價值.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)素養(yǎng);數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)實驗;關(guān)鍵能力;立德樹人

一、數(shù)學(xué)試題的新特點

與2019年相比較，2020年高考數(shù)學(xué)北京卷的試題難度略有上升，入口容易、出口較難，多題把關(guān)，符合不分文理科高考的新要求，較好地區(qū)分了各層次的學(xué)生，既為高校招生提供了較好的參考依據(jù)，又給中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起到了良好的導(dǎo)向作用，是一份令人滿意的試卷，充分體現(xiàn)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）理念的要求，主要呈現(xiàn)出以下幾個新特點.

1. 在試題的考查過程中，體現(xiàn)了對主干知識、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合考查

2020年高考數(shù)學(xué)北京卷的試題，考點的覆蓋面及其廣泛，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心概念與通性、通法重點考查. 考查了交集、三視圖、表面積、圓的方程、最小值、拋物線、等差數(shù)列、充要條件、函數(shù)定義域、雙曲線焦點坐標(biāo)、漸近線、平面向量數(shù)量積、導(dǎo)數(shù)幾何意義、函數(shù)變化率、線面平行、線面角、空間直角坐標(biāo)系、正弦定理、余弦定理、概率、獨立事件概率、頻率、切線方程、函數(shù)極值、函數(shù)極值點、距離等重點數(shù)學(xué)概念;解答題突出了對三角函數(shù)與解三角形、空間幾何、統(tǒng)計概率、圓錐曲線、函數(shù)和導(dǎo)數(shù)、創(chuàng)新問題等六大板塊的考查，體現(xiàn)了對高中數(shù)學(xué)主干知識的考查，對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查覆蓋面比較寬泛，試題中都涉及了高中數(shù)學(xué)的思想方法，如轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)方程、或然與必然等數(shù)學(xué)思想和消去法、構(gòu)造法、遞推法、解析法、反證法等數(shù)學(xué)方法都有所涉及. 在考查主干知識與數(shù)學(xué)思想方法的過程中考查了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 例如，第20題重點考查了消元法、解析法、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)方法，還考查了轉(zhuǎn)化思想，將證明目標(biāo)[PBBQ=1]轉(zhuǎn)化為證明[yP+yQ=0]，這里的轉(zhuǎn)化顯得尤其重要. 與此同時，還綜合考查了數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng). 又如，第18題重點考查了用頻率估計概率、用樣本估計總體的統(tǒng)計思想，還考查了數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

2. 在試題的素材中，實現(xiàn)了古典優(yōu)秀文化與現(xiàn)代先進文化的相融

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，要不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值. 2020年高考數(shù)學(xué)北京卷的試題較好地體現(xiàn)了這些要求，試題的素材比較豐富，既充滿現(xiàn)代特色，又閃爍著傳統(tǒng)文化的光輝. 第10題體現(xiàn)了中國古代優(yōu)秀文化與世界優(yōu)秀文化的融合. 第15題、第18題體現(xiàn)了現(xiàn)代文化特色：第15題以污水治理保護環(huán)境為試題素材，考查函數(shù)變化率和導(dǎo)數(shù)幾何意義等重點知識;第18題通過學(xué)生抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，以反映學(xué)生對兩種活動方案的支持率為背景，考查用頻率估計概率、用樣本估計總體的統(tǒng)計思想，其素材體現(xiàn)了學(xué)生的民主精神，這正是時代的先進文化主題之一，對一個事情決策之前，需要進行調(diào)查研究. 通過這些試題的設(shè)置，既滲透了數(shù)學(xué)的文化價值，又考查了重點知識與數(shù)學(xué)思想方法，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價值與文化價值相結(jié)合的育人目標(biāo)，為學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)價值觀起到了示范作用.

例1 （第10題）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（[π] Day）. 歷史上，求圓周率[π]的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似. 數(shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)[n]充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正[6n]邊形的周長和外切正[6n]邊形（各邊均與圓相切的正[6n]邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為[2π]的近似值. 按照阿爾·卡西的方法，[π]的近似值的表達式是（? ? ）.

該題以“2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（[π] Day）”的國際大背景，提出圓周率的一種計算方法. 在時間層面，實現(xiàn)了由古代到現(xiàn)代的穿越;在文化視野層面，實現(xiàn)了由中國到外國的跨越，展現(xiàn)了自然科學(xué)不分國界的廣義科學(xué)觀;在知識層面，考查了三角函數(shù)的定義、解三角形、圓的內(nèi)接正多邊形與圓的外切多邊形的性質(zhì)、算數(shù)平均數(shù)等重點知識;在方法層面，考查了數(shù)形結(jié)合、分類與整合、數(shù)學(xué)實驗等數(shù)學(xué)方法;在能力與價值層面，考查了應(yīng)用意識、運算能力與直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 讓學(xué)生感受到了中國文化的博大精深，世界文化與中國文化彼此相融，共同推動自然科學(xué)的發(fā)展，為全世界自然科學(xué)的繁榮與發(fā)展做出貢獻.

在該題的解答中，學(xué)生的表現(xiàn)并不樂觀，得分率僅為0.36，是選擇題中得分率最低的一道題，主要失分原因有以下四個. 一是學(xué)生閱讀理解失誤. 例如，有的學(xué)生將“將它們的算術(shù)平均數(shù)作為[2π]的近似值”看成是“將它們的算術(shù)平均數(shù)作為[π]的近似值”而錯選B，選B的學(xué)生比例是22%，這說明學(xué)生的審題失誤率較高，有待于提高審題能力與審題習(xí)慣的培養(yǎng). 二是學(xué)生畫圖能力薄弱，根據(jù)題意的描述，不能正確地畫出正[6n]邊形，導(dǎo)致求解受阻. 三是感性思維作怪，在解三角形時，認為求邊長所用的直角三角形銳角是[60°°n]，導(dǎo)致錯選C，選C的學(xué)生比例為32%. 導(dǎo)致這個錯誤的原因是學(xué)生沒有準(zhǔn)確地分析圖形，而是憑感覺得出結(jié)論，感性思維成為錯選C的主要因素. 四是學(xué)生解題思路按部就班，思維不靈活. 在直接求解比較困難的情況下，缺少變通的處理策略. 事實上，取[n=1]進行驗證，就會發(fā)現(xiàn)選項B、選項C和選項D顯然錯誤，因為這三個選項對應(yīng)的答案，通過估值計算，遠遠超過了圓周率的取值范圍，只有選項A符合. 如果按這樣的策略處理，那么該題就是簡單問題了. 因此，學(xué)生思維的靈活性的培養(yǎng)有待加強，數(shù)學(xué)實驗在數(shù)學(xué)教學(xué)中值得關(guān)注.

3. 在開放性試題中，為學(xué)生提供了廣闊的思考空間與選擇空間

“穩(wěn)中求新”是高考數(shù)學(xué)試題的一個特點. 題型穩(wěn)定對教學(xué)秩序的穩(wěn)定有積極意義，試題設(shè)問方式的開放靈活有利于為學(xué)生提供廣闊的思考空間. 在2020年高考數(shù)學(xué)北京卷的試題中，出現(xiàn)了一些開放性試題. 例如，第14題、第17題都是開放題，其中第14題以考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和有界性為背景，讓學(xué)生寫出常數(shù)[φ]的一個值，答案不唯一. 這樣的開放題的出現(xiàn)，打破了解題常規(guī)，一些學(xué)生會直接化簡表達式，再求最大值，建立方程求待定常數(shù)[φ]，這樣的方法會導(dǎo)致思路受阻. 較好的思路是執(zhí)果索因，根據(jù)最大值為2，再去找需要的條件，條件開放，寫出一個即可，這為學(xué)生提供了廣闊的思考空間.

該題給出題干之后，讓學(xué)生從兩組條件中選擇一組作答，給學(xué)生提供選擇空間，喜歡用余弦定理解三角形的學(xué)生會選擇條件①，喜歡用正弦定理解三角形的學(xué)生會選擇條件②. 這樣的試題能夠讓學(xué)生發(fā)揮出正常的學(xué)習(xí)水平，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的鑒別能力和批判能力. 在多種情境中選出適合自己的數(shù)學(xué)問題作答，或者是在諸多的數(shù)學(xué)問題中選出可解的問題作答，對學(xué)生的能力要求更高. 這樣的試題在高考數(shù)學(xué)北京卷中首次出現(xiàn)，可能是未來高考命題的一個方向.

4. 在探究性試題中突出了對數(shù)學(xué)實驗的考查

這些試題告訴我們，在教學(xué)中關(guān)注數(shù)學(xué)實驗的探究手段是值得期待的熱點. 數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)問題思路的獲取等過程都離不開數(shù)學(xué)實驗的參與.

5. 在創(chuàng)新試題中突出對關(guān)鍵能力的考查

堅持用創(chuàng)新試題考查學(xué)生的關(guān)鍵能力一直是高考數(shù)學(xué)北京卷試題的一個優(yōu)良傳統(tǒng). 2020年高考數(shù)學(xué)北京卷第21題是創(chuàng)新問題，沒有固定模式，對推理論證能力、抽象思維能力、分析問題和解決問題能力有較高要求，有較好的區(qū)分度.

該題通過對等比中項的拓展與抽象做背景設(shè)置問題，考查推理論證能力、抽象思維能力、分析問題和解決問題的能力，文字量小，但是隱含的信息量較大，特別是“任意”與“存在”的背后包含信息量很大，需要學(xué)生進行深刻的挖掘，然后根據(jù)目標(biāo)的需要進行構(gòu)造，其構(gòu)造難度較大，導(dǎo)致該題的得分率低. 此題滿分15分，平均得分3.24分，得分率0.22. 其中，第（1）小題、第（2）小題、第（3）小題的得分率依次為0.53，0.22，0.00，其平均得分依次為2.14分，1.08分，0.01分. 第（2）小題的正答率為2.11%;第（3）小題的正答率是0.01%. 全市共[48 325]人參加考試，僅有5人全對. 這說明該題對學(xué)科關(guān)鍵能力的考查要求很高，導(dǎo)致了大量的學(xué)生夠不著第（2）（3）小題.

二、教學(xué)建議

1. 注重數(shù)學(xué)實驗，暴露問題探究的形成過程

在2020年高考數(shù)學(xué)北京卷中涉及數(shù)學(xué)實驗的試題有第6題、第8題、第10題、第20題. 這說明數(shù)學(xué)實驗受到了命題人的重視，這不是偶然的，是在認真落實《標(biāo)準(zhǔn)》的精神.

數(shù)學(xué)離不開實驗. 波利亞說得好：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學(xué)，從這個方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué);但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門實驗性的歸納科學(xué).” 數(shù)學(xué)不但是演繹科學(xué)，也是一門實驗科學(xué). 我們在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中看到：很多數(shù)學(xué)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)問題思路的獲取，都可以先用實驗手段進行探究，然后進行觀察猜想，從而發(fā)現(xiàn)結(jié)論與解決思路. 在教學(xué)中，教師要適當(dāng)運用數(shù)學(xué)實驗手段，暴露探究數(shù)學(xué)結(jié)論的思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的實驗意識和實驗習(xí)慣.

數(shù)學(xué)實驗在難題的解決過程中具有重要作用，可以助推問題的解決. 例如，第20題的求解過程中，離不開實驗的手段，通過實驗發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再通過嚴格論證，從而獲得圓滿的解決方法. 在前幾年高考的第20題的求解中也是如此. 因此，讓實驗進入到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，成為思考問題的重要手段，將會成為發(fā)現(xiàn)問題思路的“催化劑”.

2. 重視數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

新課程下，學(xué)生在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識的過程中獲得數(shù)學(xué)思想方法是形成能力與核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵. 數(shù)學(xué)思想方法的運用和積累達到一定程度，將會形成數(shù)學(xué)能力，再加上個人內(nèi)在品質(zhì)的積極影響，就會形成數(shù)學(xué)素養(yǎng). 因此，要培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，關(guān)鍵在于學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本思想方法. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中努力貫穿數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是極其重要的環(huán)節(jié). 這樣的目標(biāo)要貫穿在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程中，在一些數(shù)學(xué)知識的形成與問題解決的過程中，讓學(xué)生逐步體會和領(lǐng)悟思想方法的本質(zhì)，不是空洞的理論傳輸. 例如，第6題解不等式就是用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決的，在解決過程中，不僅讓學(xué)生領(lǐng)會到數(shù)形結(jié)合的時機和基本條件，還讓學(xué)生領(lǐng)會其本質(zhì)：由代數(shù)式構(gòu)造圖形，由圖形抽象數(shù)量特征，即由數(shù)思形，由形想數(shù)，可謂數(shù)形結(jié)合. 不能片面強調(diào)單方面的重要性，只有當(dāng)兩方面形成合力時，才能完美解決一些問題. 也就是要將數(shù)學(xué)思想方法的形成放在一些知識學(xué)習(xí)與解題活動中，在基本活動經(jīng)驗中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng).

3. 貫穿理性思維，提高關(guān)鍵能力

對數(shù)學(xué)能力的考查，以抽象概括能力和邏輯推理能力為核心，全面考查各種能力. 強調(diào)探究性、綜合性、應(yīng)用性，突出數(shù)學(xué)試題的能力立意，堅持素質(zhì)教育導(dǎo)向. 這是高考的重點要求. 2020年高考數(shù)學(xué)北京卷體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)能力的較高要求. 例如，第6題、第8題、第10題、第15題、第18題、第19題、第20題、第21題的求解都需要較高的數(shù)學(xué)能力;第10題、第15題對分析問題和解決問題能力有較高的要求;第18題對數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)據(jù)分析能力有一定要求;第19題、第20題對推理論證能力和運算能力有較高要求;第21題對分析問題和解決問題能力、抽象概括能力有較高的要求. 而能力與數(shù)學(xué)理性思維密切相關(guān)，即數(shù)學(xué)的理性思維是能力的構(gòu)建支點. 基于此，在教學(xué)中需要貫穿理性思維的教學(xué). 上海著名數(shù)學(xué)特級教師李秋明講得好：“嚴謹是理性思維的基礎(chǔ)，質(zhì)疑是理性思維的核心，即在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要學(xué)生積極體驗是什么、為什么、還有什么的求真精神.” 按照這樣的理念，在基礎(chǔ)知識的教學(xué)中，必須強調(diào)知識產(chǎn)生的必要性與產(chǎn)生的過程，以及推證過程. 既要關(guān)注結(jié)論，更要關(guān)注過程;既要知其然，更要知其所以然. 在解題教學(xué)中，既要知道問題的解題思路，更要知道為什么要這樣做，還能怎樣做，還有沒有更普遍的規(guī)律等，這就是理性思維的基本要求，理性思維是一種建立在證據(jù)和邏輯推理基礎(chǔ)上的思維方式. 因此，追求理性思維是形成關(guān)鍵能力的基礎(chǔ).

4. 重視應(yīng)用和文化，實現(xiàn)立德樹人的育人價值

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)教育承載著落實立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能. 由此可見，時代越來越關(guān)注數(shù)學(xué)的育人功能. 例如，2020年高考數(shù)學(xué)北京卷第15題以污水治理保護環(huán)境為素材背景，考查函數(shù)變化率與導(dǎo)數(shù)幾何意義的實際應(yīng)用;第18題以學(xué)生調(diào)查對兩種方案的支持率為背景，考查概率的計算，反映了學(xué)生的民主精神，從中揭示了時代的先進文化，表現(xiàn)了數(shù)學(xué)與時代文化的關(guān)系，體現(xiàn)了文化育人的目標(biāo). 因此，我們在日常教學(xué)中要積極關(guān)注數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值，結(jié)合數(shù)學(xué)知識的學(xué)科特點，關(guān)注數(shù)學(xué)問題的實際生活背景. 同時，還要注意引入問題的文化背景，如傳統(tǒng)文化背景、時代文化背景、現(xiàn)實生活背景等，發(fā)揮人文價值和科學(xué)價值相融的教育目標(biāo).

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍. 在“落實立德樹人根本任務(wù)全面深化課程教學(xué)改革”中再立新功[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2015（1 / 2）：3-5.

[3]唐紹友. 2019年高考數(shù)學(xué)北京卷的特點及其教學(xué)建議[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2020（1 / 2）：94-98.