“情境—模型—情境”型教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

摘? 要：為落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，整合教材資源，以人教A版教材中“函數(shù)的應(yīng)用（一）”為例設(shè)計(jì)并實(shí)踐了“情境—模型—情境”型教學(xué)模式，并對(duì)應(yīng)用問題的教學(xué)提出了一些建議：整合資源，用教材教;構(gòu)建情境，用問題教.

關(guān)鍵詞：應(yīng)用問題;問題情境;教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題提出

核心素養(yǎng)是本次課改的關(guān)鍵詞，指新時(shí)代的公民必須具備的人格品質(zhì)及關(guān)鍵能力，是落實(shí)“立德樹人”的重要標(biāo)尺. 為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育，最新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中提到“情境”一詞158次. 同時(shí)，評(píng)價(jià)框架的第一個(gè)維度就是反映數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個(gè)方面，即情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思. 由此可見，“情境”在教學(xué)與評(píng)價(jià)中擁有舉足輕重的地位.

根據(jù)教學(xué)要求，如何創(chuàng)設(shè)合適的情境，使得學(xué)生經(jīng)歷其中，感悟知識(shí)和數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，成為一線教師亟待實(shí)踐的課題. 事實(shí)上，情境包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境. 一般把應(yīng)用問題中的情境狹義地理解為“現(xiàn)實(shí)情境”. 在蘇州市的新課程新教材研討活動(dòng)中，筆者開設(shè)了題為“函數(shù)的應(yīng)用（一）”的公開課，內(nèi)容選自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”），試圖將“情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計(jì)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”落到實(shí)處.

二、教學(xué)實(shí)踐

1. 學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對(duì)象是江蘇省蘇州中學(xué)高一某班學(xué)生，學(xué)業(yè)水平在同年級(jí)中較為優(yōu)秀，學(xué)生思維比較活躍，筆者對(duì)學(xué)生情況十分熟悉. 在前期教學(xué)過程中，筆者較多通過現(xiàn)實(shí)情境或數(shù)學(xué)情境引入知識(shí)，學(xué)生對(duì)情境的抽象有較多基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

“函數(shù)的應(yīng)用（一）”主要是利用函數(shù)概念及其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法解決簡單的實(shí)際問題，教材中所選例題都是分段函數(shù)，也是給定數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用，為后續(xù)復(fù)雜的、需要根據(jù)實(shí)際背景建立數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用問題提供用函數(shù)解決實(shí)際問題的過程與方法.

2. 教學(xué)過程

（1）實(shí)際情境到數(shù)學(xué)模型的抽象.

師：同學(xué)們，在本章中，我們從實(shí)際問題出發(fā)，通過“求同存異”抽象出函數(shù)，此后研究函數(shù)的性質(zhì)，目的還是為了解決問題. 正如哲學(xué)上所說，從實(shí)踐到理論，從理論到實(shí)踐，如此不斷提高自己的認(rèn)知水平. 在本章的學(xué)習(xí)即將結(jié)束時(shí)，我們來看一個(gè)實(shí)際問題，即教材第94頁的例2，請(qǐng)認(rèn)真審題.

（1）求圖1中陰影部分的面積，并說明所求面積的實(shí)際含義;

（2）假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為[2 004 km]，試建立行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)[s]（單位：km）與時(shí)間[t]的函數(shù)解析式，并畫出相應(yīng)的圖象.

師：很好！其實(shí)本圖是速率[v]隨時(shí)間[t]的變化而變化的函數(shù)圖象，是函數(shù)表示方法中的一種，從中可以解讀到函數(shù)的很多信息. 此外，要建立函數(shù)關(guān)系，就需要理清多個(gè)變量之間的關(guān)系，如時(shí)間[t]、速率[v]、行駛路程[S]、里程表讀數(shù)[s].

生2：由于[s=S+2 004]，因此只需要解決行駛路程的問題. 在第（1）小題的啟示下，只需要計(jì)算[t]時(shí)刻圍成圖形的面積，應(yīng)該要分段，所得函數(shù)圖象如圖2所示.

以下過程略.

【設(shè)計(jì)意圖】函數(shù)的應(yīng)用，可以狹義地理解為“實(shí)際應(yīng)用”，即建構(gòu)問題情境中的數(shù)學(xué)模型，從而解決相應(yīng)問題. 通過該例題，可以明確應(yīng)用問題的常規(guī)解題步驟，即確定研究變量、探尋變量關(guān)系、解決數(shù)學(xué)問題、回顧問題情境，從而幫助學(xué)生學(xué)會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律. 同時(shí)，函數(shù)的應(yīng)用也可以看成本章的復(fù)習(xí)課，故應(yīng)該涉及函數(shù)的各個(gè)方面，該例題提供了函數(shù)表達(dá)方式的轉(zhuǎn)化，即圖象與解析式的相互轉(zhuǎn)化，從而讓學(xué)生明白要根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆绞奖硎竞瘮?shù)，理解函數(shù)圖象的意義.

（2）數(shù)學(xué)模型到問題情境的構(gòu)建.

變式：為配合公安部“一盔一帶”行動(dòng)，守護(hù)駕乘人員安全，某電動(dòng)車生產(chǎn)廠家對(duì)剎車系統(tǒng)進(jìn)行了改造. 在一次測(cè)試中，正常行駛速度為[10 m / s]的電動(dòng)車經(jīng)過某級(jí)剎車系統(tǒng)后，5[s]內(nèi)勻減速到停止，即速度為[0 m / s].

【設(shè)計(jì)意圖】承接例題的模型，變式需要研究函數(shù)的性質(zhì)與最值解決現(xiàn)實(shí)問題，體現(xiàn)了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用. 同時(shí)，所構(gòu)建的二次函數(shù)模型恰好呼應(yīng)了函數(shù)概念中所需要探尋的問題情境，從而呼吁學(xué)生探尋更多問題情境，即培養(yǎng)學(xué)生的“問題意識(shí)”和“提問能力”，也是讓學(xué)生能夠從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，同時(shí)根據(jù)數(shù)學(xué)模型去構(gòu)建現(xiàn)實(shí)情境，即通過這樣的“來回”，了解問題提出和問題解決的路徑.

（3）問題情境與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化.

師：我們經(jīng)歷了從現(xiàn)實(shí)情境抽象出數(shù)學(xué)模型，也嘗試了根據(jù)數(shù)學(xué)模型構(gòu)建出現(xiàn)實(shí)情境，關(guān)鍵在于理清變量之間的關(guān)系，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，解決數(shù)學(xué)問題. 再次回到實(shí)際問題，請(qǐng)看教材第102頁的復(fù)習(xí)參考題3的第13題.

師：該問題的情境是數(shù)學(xué)中幾何圖形的面積，抽象出的數(shù)學(xué)模型是分段函數(shù). 在前面的例子中，現(xiàn)實(shí)情境可以抽象出數(shù)學(xué)問題，也可以再次建構(gòu)現(xiàn)實(shí)情境. 該題是從數(shù)學(xué)情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，可以賦予什么樣的現(xiàn)實(shí)情境呢？

生10：可以構(gòu)建一輛車先勻加速運(yùn)動(dòng)再勻減速運(yùn)動(dòng)直至停止的現(xiàn)實(shí)情境.

師：這是一個(gè)很好的情境，只是要根據(jù)數(shù)據(jù)加以調(diào)整. 從例題到變式再到練習(xí)，都可以賦予運(yùn)動(dòng)的情境，即使用[v-t]函數(shù)構(gòu)建[s-t]函數(shù). 試想一下：如何求變速運(yùn)動(dòng)的路程呢？這個(gè)問題留給大家課后思考.

【設(shè)計(jì)意圖】原來的情境是幾何背景，抽象出的模型是分段函數(shù)，再次構(gòu)建的問題情境是物理背景. 結(jié)合上述兩個(gè)物理背景問題，可以抽象概括出一個(gè)數(shù)學(xué)模型——[v-t]坐標(biāo)系中函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸所圍成的面積是路程，從而提出新問題，即如何計(jì)算曲邊梯形的面積？重新審視整節(jié)課，不難發(fā)現(xiàn)：微積分的基本思想已經(jīng)悄悄埋入學(xué)生的知識(shí)體系中，為學(xué)生將來學(xué)習(xí)積分提供了很好的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

三、教學(xué)反思

在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，筆者根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》所提倡的理念，研究教材內(nèi)容，整合教學(xué)資源來組織教學(xué). 通過教學(xué)實(shí)踐，對(duì)應(yīng)用問題的教學(xué)又有了新的認(rèn)識(shí)，給出如下建議.

1. 整合資源，用教材教

章建躍博士對(duì)此課進(jìn)行點(diǎn)評(píng)時(shí)說：“人教A版教材的訓(xùn)練體系是‘練習(xí)—習(xí)題—復(fù)習(xí)參考題’，授課者充分利用了教材上的例題、練習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題中的問題，關(guān)注到了教材的整體性.”事實(shí)上，教材中最好的、也最值得珍惜的就是例題和習(xí)題，筆者在備課時(shí)的想法就是“用好教材”，即整合教材資源、明確思維主線，努力解決明確的問題. 筆者曾提出復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)要用“一個(gè)對(duì)象”貫穿，移植到新授課的教學(xué)，也采用了“一個(gè)對(duì)象”貫穿，即由“[v-t]函數(shù)”研究“[s-t]函數(shù)”，讓學(xué)生強(qiáng)化模型意識(shí)，形成正向的思維定勢(shì)，同時(shí)也悄悄埋下“積分”的種子.

在教材中選用例2，搭建勻減速運(yùn)動(dòng)的情境，抽取二次函數(shù)的模型，鏈接教材中的練習(xí)，繼而讓學(xué)生探索該模型的情境，最后選用復(fù)習(xí)參考題中類似幾何背景的問題，再次回扣并構(gòu)建運(yùn)動(dòng)學(xué)中勻加速再勻減速的情境. 如此，從情境到模型，再從相似情境到模型，探索情境;從模型到情境，再探索情境，試圖讓學(xué)生能夠在問題情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，也能根據(jù)數(shù)學(xué)模型去構(gòu)建問題情境. 類比概念來說，理解問題情境是數(shù)學(xué)模型的外延，數(shù)學(xué)模型是問題情境的內(nèi)涵，因此我們要能透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，以期實(shí)現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》所提出的“在情境中”的要求. 在實(shí)踐過程中，也會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)例題的認(rèn)識(shí)較為陌生，研究變式之后，對(duì)練習(xí)的處理是極其迅速的，可見這樣的設(shè)計(jì)是有效果的.

2. 構(gòu)建情境，用問題教

《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“情境與問題”進(jìn)行解讀：情境主要是指現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境;問題是指在情境中提出的數(shù)學(xué)問題. 事實(shí)上，我們不僅要能夠在情境中解決問題，還要學(xué)會(huì)從情境中提出問題，這是《標(biāo)準(zhǔn)》所提出的“四能”之一;同時(shí)“問題意識(shí)”也是創(chuàng)新能力的一種體現(xiàn).

在本節(jié)課中，筆者基于教材中的問題，設(shè)計(jì)了“構(gòu)建情境”的教學(xué)活動(dòng)，旨在回應(yīng)教材，也為實(shí)踐理念，但從課堂的效果來看并不是十分理想. 教材中的“探究”問題在教學(xué)前已經(jīng)布置給學(xué)生，但從作業(yè)情況來看，學(xué)生的思維具有很強(qiáng)的局限性，僅能列舉物理學(xué)中運(yùn)動(dòng)的情境. 從課堂教學(xué)實(shí)踐來看，學(xué)生沒有表現(xiàn)出很強(qiáng)的積極性，需要教師點(diǎn)名，個(gè)別學(xué)生才分享自己構(gòu)建的案例. 由此可見，“構(gòu)建情境”的問題意識(shí)不是一蹴而就的，需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行“小步子慢節(jié)奏”的培養(yǎng).

誠如章建躍博士所言，知識(shí)不是講會(huì)的，而是做會(huì)的，所以一定要讓學(xué)生自己做，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)獨(dú)立面對(duì)問題，即教學(xué)中需要讓學(xué)生經(jīng)歷更多的活動(dòng). 因此，教師要不斷“放手”，學(xué)生要反復(fù)“動(dòng)手”，才能讓學(xué)生打破自己的思維局限，變被動(dòng)解題為主動(dòng)提問，實(shí)現(xiàn)將情境與模型自由轉(zhuǎn)化，進(jìn)而更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)，更深入地理解數(shù)學(xué).

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