順勢而為·展開探究·提升素養(yǎng)

張琦 高慧明

摘? 要：拋物線“距離和”的最值問題是解析幾何中的常見問題，也是難點，往往需要靈活運用數(shù)形結合的思想方法才能很好地解決這類問題. 在課堂上講解這類問題的過程中，學生往往會提出與教師預設的解法“大不相同”的思考方向，此時教師順勢而為，按照學生提供的“新”思路展開探究，通過層層設疑答疑，進行變式教學. 這個過程可以引導學生變換思維角度，培養(yǎng)學生思維的靈活性，發(fā)展學生直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

關鍵詞：拋物線;最值;探究;素養(yǎng)

高三第一輪復習的主要任務是鞏固和理解已學的基礎知識，掌握和應用已學的基本技能. 此后還需通過數(shù)學的基本思想方法將所學知識條理化、系統(tǒng)化，最終做到連點成線，連線成面.

在最近一次“拋物線‘距離和’的最值問題”的復習課中，學生自發(fā)地對拋物線中“距離和”的最值問題展開了熱烈的討論，雖然完全打亂了筆者的教學設計流程，但是這個過程中學生展現(xiàn)出來的探究熱情，以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，都令人眼前一亮. 下面對教學過程進行簡單復現(xiàn)，并對此做出了思考和總結.

一、問題的提出

在以往的教學設計過程中，這類問題講到這里已經(jīng)足夠——復習了拋物線的知識，強調了轉化的方法，體會了數(shù)形結合思想. 但這次上課的時候在這里出現(xiàn)了一些“意外”，一位平時成績不錯的學生突然舉手，說到：“老師，我覺得您剛剛講的例題很特殊，要么已知的直線是拋物線的準線，要么已知的點是拋物線的焦點. 我在想，如果是兩條一般的直線，這類問題還能解嗎？”這位學生的想法出乎筆者的意料，因為筆者并沒有按照這個思路進行備課，如果按照該思路展開教學，將面臨課堂不可控的“危險”;但是如果不管這位學生的觀點，只是要求他“自己課下思考”，那必然極大地傷害了他的積極性. 權衡利弊，筆者決定順勢而為，讓學生展開探究，看看到底能夠提出什么樣的問題.

二、問題的探究

師：這位同學提出了一個非常有價值的問題，如果將我們剛剛研究的問題一般化，那么憑借我們現(xiàn)有的知識，還能解決相應的問題嗎？由于老師也沒有對這類問題進行準備，那么現(xiàn)在就將改編的任務交給大家. 請同學們改編上述問題，并給出解答.

學生發(fā)現(xiàn)可以按照自己的想法來設計問題，積極性大為提升，課堂氣氛也逐漸熱烈起來. 沒過多久，就有學生提出了多個問題. 對這些問題進行歸納、整理，發(fā)現(xiàn)可以分為以下四類.

此時，教師對提出問題的學生提出表揚，鼓勵所有學生在學習的過程中要積極思考，遇到特殊問題不妨想想一般化的結論;遇到一般的結論，不妨想想特殊化的結果. 同時，也給予解答問題的學生積極的評價，鼓勵大家遇到問題不要有畏難情緒，不要禁錮在已有的思維框架中，要敢想敢做、精“畫”細算. 至此，筆者不免沾沾自喜，想繼續(xù)研究下面的問題，但是還是問了一句.

師：上面這個問題我們通過轉化的方法已經(jīng)解決了，同學們還有補充嗎？

此時，筆者只好停止了想繼續(xù)探究下面問題的想法，著手解決眼前這個雙絕對值的最值問題.

師：同學們，大家有什么好的方法能夠解決這個問題嗎？

學生能夠從幾何和代數(shù)兩個方面解決這個問題，他們的表現(xiàn)出乎筆者意外，筆者對生1提出了表揚.

之后，開始帶領學生一起研究解決類型2. 這個問題乍一看與類型1區(qū)別不大. 但是仔細分析，發(fā)現(xiàn)好像又有很大不同，因為在該題中沒有辦法通過拋物線的定義將動點到兩直線的距離之和轉化為焦點到直線的距離了. 怎么辦呢？由于有上面生1的鋪墊，很快就有學生提出了可行的辦法.

生2的想法猶如落入池塘的一顆石子，激起了朵朵思維的浪花. 有的學生馬上接著說，既然不會求兩個絕對值和的最值，那就把絕對值去掉啊. 于是提出了以下解法.

當經(jīng)過教師適當引導、學生積極發(fā)言解決上述兩個問題以后，學生的探究熱情更高了，于是大家都想趁熱打鐵，把類型3也解決了. 但是經(jīng)過長時間的思考，大家發(fā)現(xiàn)這個問題很難——不管是幾何方法還是代數(shù)方法好像作用都不大.

生5：老師，我覺得上面那個式子特別像橢圓的標準方程在化簡之前的樣子，但是我嘗試化簡，所得的結果特別復雜.

師：事實上，我們也可以通過這種方法對類型4進行研究，但是由于需要對橢圓進行旋轉，遠遠超出了考試的要求，所以不在本節(jié)課進行探究，有興趣的同學可以課下進行進一步研究，之后可以和伙伴們分享.

三、問題的總結

1. 探究、探究活動與數(shù)學探究活動

探究可以簡單理解為探索研究，也就是通過對一定的事物（課題）進行深入探索、反復研究，進而尋求根源（結果）的過程. 探究活動是在探究思維的指導下，對某事物（課題）開展研究活動，這個研究活動具有一定的方法和程序，能夠進行重復操作. 數(shù)學探究活動則是在數(shù)學學科內部，采用探究活動的方法和程序，對某些特定的數(shù)學問題進行研究，這些數(shù)學問題可以來自現(xiàn)實問題情境，也可以來自數(shù)學問題本身. 經(jīng)歷數(shù)學探究活動過程，除了讓學生獲得學科知識，發(fā)展學科核心素養(yǎng)之外，也力爭讓學生掌握一定的探究學習技能，形成科學研究的態(tài)度.

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》指出，“數(shù)學探究即數(shù)學探究性課題學習，是指學生圍繞某個數(shù)學問題，自主探究、學習的過程”“數(shù)學探究是高中數(shù)學課程中引入的一種新的學習方式，有助于學生初步了解數(shù)學概念和結論產生的過程，初步理解直觀和嚴謹?shù)年P系，初步嘗試數(shù)學研究的過程，體驗創(chuàng)造的激情，建立嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和不怕困難的科學精神.”

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》除了凝練了數(shù)學學科核心素養(yǎng)以外，另一個比較大的變化是給“數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動”分配了具體的課時. 同時指出，“數(shù)學探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程”，還建議“數(shù)學探究活動以課題研究的形式開展. 在必修課程中，要求學生完成其中一個課題的研究”.

“數(shù)學探究”或“數(shù)學探究活動”只是探究活動的一種形式，一個組成部分. 探究問題的選擇上，既可以是來自教材、教師、網(wǎng)絡，也可以是學生自主發(fā)現(xiàn)的問題. 這些問題既可以是已經(jīng)解決的，也可以是尚無定論的. 在確定解決問題步驟的時候，教師要起關鍵的作用，通過教師的因勢利導，將超出學生思維最近發(fā)展區(qū)的問題拉近到最近發(fā)展區(qū)，幫助學生把主要精力集中在思考問題上，激發(fā)他們創(chuàng)造的熱情和享受收獲的喜悅.

在具體上課的時候，由于只是在某一節(jié)課的某一部分開展探究活動，所以教師完全不必拘泥于“課題研究的形式開展”. 但是開展探究活動的基本流程要體現(xiàn)出來. 例如，發(fā)現(xiàn)問題以后，要嘗試解決問題;解決問題以后，要接受同行（這里是同學）對問題結果的評價，并針對評價進行方法的修正等. 事實上，本節(jié)課的探究過程，就很好地體現(xiàn)了這種思想：問題來源于學生，解決問題的思路設計來源于學生，對結果的點評還是來源于學生. 在這個過程中，教師起到了很好的“主導”的作用，但“主體”是學生.

開展探究活動，應該與開展“數(shù)學建?！被顒佑兴煌? 數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法解決問題，這些問題通常是沒有確定結論的;而數(shù)學探究活動，問題可以是來自實際問題，也可以是來自數(shù)學學科本身，既可以是未曾解決的問題，也可以是已經(jīng)解決了的問題. 數(shù)學建模強調對數(shù)學知識的運用，注重整個建模過程對學生素養(yǎng)的提升，并不刻意追求結果的準確性;而數(shù)學的探究活動除了要重視知識的應用以外，也重視結果，結果往往也是學生需要掌握的知識.

2. 教學有法、教無定法、貴在得法

所謂教學有法，是指針對不同的學科內容，教學活動有一定的規(guī)則、規(guī)律、法則和模式，教學過程要目標明確，重點突出，不能偏離;而教無定法，是指教學的時候不能只是機械地模仿，而是要根據(jù)不同的知識內容、學生層次和教學資源靈活處理，讓課堂富有個性、充滿靈性，從而讓教學真正變成一門藝術. 為了達成上述目標，教師將各種教學工具、技術、方法等恰當?shù)貞糜诰唧w的問題情境，努力找到最適合的課堂教學方法，這就是貴在得法.

數(shù)學課也是如此. 一節(jié)常規(guī)的數(shù)學課教學目標要定位準確，教學過程設計要重點突出，師生互動活動要能充分展現(xiàn)學生的思維火花，在這個活動經(jīng)驗積累的過程中，讓學生學到了知識，掌握了技能，形成了思想方法，提升了核心素養(yǎng). 但是一節(jié)課很難保證一定是按照教師設計的思路順利實施下去. 例如，本節(jié)課是由學生岔開話題，被動地展開了“探究活動”，這個時候就要求教師要有足夠的智慧和定力，不要怕學生有“奇怪”的想法，而是要讓學生充分地展示他們的想法，教師只需順勢而為、因勢利導，就會達成不錯的教學效果. 此時，教師心里就不要再固守“本節(jié)課教學目標”的成念，而是要上升到“通過這樣的探究活動，學生的哪方面的能力、素養(yǎng)有所提升”的高度. 其實，這個時候也就完成了從教學有法、教無定法到貴在得法的順利過渡.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制訂. 普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[2]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.