回歸本質(zhì)　適度創(chuàng)新

陳莉紅　曹經(jīng)富

摘 ?要：對(duì)2020年全國(guó)各地區(qū)中考試題的命題特點(diǎn)及創(chuàng)新之處進(jìn)行分析，尋求課程改革與教育教學(xué)實(shí)踐的結(jié)合點(diǎn)與著力點(diǎn)，期望通過(guò)中考試題評(píng)價(jià)正向引導(dǎo)教師在課堂教學(xué)中堅(jiān)持以立德樹(shù)人為根本，進(jìn)一步落實(shí)“四基”，著力培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 通過(guò)對(duì)中考數(shù)學(xué)試題的研究，不斷提升命題質(zhì)量，充分發(fā)揮考試的育人導(dǎo)向作用.

關(guān)鍵詞：中考試題;命題特點(diǎn);命題創(chuàng)新;教學(xué)啟示

依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》），結(jié)合中共中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)的《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見(jiàn)》，以及教育部頒發(fā)的《關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見(jiàn)》等文件要求，對(duì)2020年全國(guó)各地區(qū)中考試題進(jìn)行分析，尋求中考數(shù)學(xué)試題的命制特點(diǎn)及創(chuàng)新之處.

2020年是特殊的一年，受疫情影響，全國(guó)各地學(xué)生有2 ～ 6個(gè)月時(shí)間在線上學(xué)習(xí)，各地中考試題的命制適當(dāng)控制難度、穩(wěn)中求新，在著重考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)了豐富多樣的試題情境，嘗試對(duì)探究性、應(yīng)用性、開(kāi)放性的考查，不乏有非常精彩的試題呈現(xiàn). 本文主要從命題特點(diǎn)、命題創(chuàng)新、教學(xué)啟示三個(gè)方面進(jìn)行分析.

一、2020年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試卷命題特點(diǎn)分析

2020年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試題的命制堅(jiān)持正確的政治導(dǎo)向、育人導(dǎo)向和專(zhuān)業(yè)導(dǎo)向，以落實(shí)立德樹(shù)人為根本任務(wù)，體現(xiàn)義務(wù)教育的性質(zhì)，并堅(jiān)持公平、全面、科學(xué)的原則，注重能力素養(yǎng)立意，充分關(guān)注試題的教學(xué)導(dǎo)向和育人功能.

1. 從命題立意方面分析

2020年中考數(shù)學(xué)試題在考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)，注重落實(shí)對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本數(shù)學(xué)思想的考查;注重試題情境的真實(shí)性、科學(xué)性、公平性、適切性，設(shè)問(wèn)角度的創(chuàng)新性，設(shè)問(wèn)方式的開(kāi)放性，思維的層次性和發(fā)展性，探究的過(guò)程性，以及試題的應(yīng)用性及育人功能，凸顯素養(yǎng)立意. 大多數(shù)試卷都既能體現(xiàn)初中學(xué)業(yè)水平考試的要求，也能滿(mǎn)足高級(jí)中學(xué)選拔的需要. 主要有以下幾個(gè)特點(diǎn).

（1）注重基礎(chǔ)，突出對(duì)“四基”的考查.

2020年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷都能以《標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)，圍繞十個(gè)核心概念，著重考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能. 對(duì)“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”三個(gè)部分的課程內(nèi)容保持適當(dāng)?shù)目疾楸壤ㄒ话銥?5%，40%，15%）. 也有山西卷、陜西卷、黑龍江齊齊哈爾卷等試卷嘗試“綜合與實(shí)踐”試題的命制，把整卷的知識(shí)分布比例按照四個(gè)領(lǐng)域劃分，這是以《標(biāo)準(zhǔn)》為命題依據(jù)的體現(xiàn)，是一種突破性的嘗試，更是未來(lái)中考試卷發(fā)展的方向.

例1 （北京卷）實(shí)數(shù)[a]在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖1所示. 若實(shí)數(shù)[b]滿(mǎn)足[-a<b<a，] 則[b]的值可以是（ ? ?）.

（A）2 （B）-1 （C）-2 （D）-3

例2 （河北卷）對(duì)于①[x-3xy=x1-3y]，②[x+3 ·][x-1=x2+2x-3]，從左到右的變形，表述正確的是（ ? ?）.

（A）都是因式分解

（B）都是乘法運(yùn)算

（C）①是因式分解，②是乘法運(yùn)算

（D）①是乘法運(yùn)算，②是因式分解

【評(píng)析】各地中考試卷中大都采用直接或間接設(shè)置數(shù)學(xué)情境考查“數(shù)與式”的概念、性質(zhì)、法則和運(yùn)算的方法，突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能考查. 例1以數(shù)軸為載體，考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，比較實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，相反數(shù)的意義及不等式范圍與數(shù)軸上線段長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)，滲透數(shù)形結(jié)合思想;例2通過(guò)代數(shù)式的恒等變形，辨識(shí)因式分解和整式的乘法運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系，在學(xué)生易混淆、易錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)處命題，考查學(xué)生對(duì)基本概念的辨析，滲透了數(shù)感和符號(hào)意識(shí)，體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查.

例3 （江西卷）如圖2所示，正方體的展開(kāi)圖為（ ? ?）.

例4 （江西卷）矩形紙片ABCD，長(zhǎng)AD = 8 cm，寬AB = 4 cm，折疊紙片，使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，交邊AD于

點(diǎn)E，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，展平后得到折痕BE，同時(shí)得到線段BA′，EA′，不再添加其他線段. 當(dāng)圖中存在30°角時(shí)，AE的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

【評(píng)析】例3和例4分別以正方體展開(kāi)圖、折紙等基本操作活動(dòng)為載體，考查學(xué)生經(jīng)歷剪拼、翻折等基本活動(dòng)積累的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)運(yùn)算與推理. 以上兩道例題在考查正方體的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、直角三角形、等腰三角形、銳角三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查了分類(lèi)討論思想. 例3和例4的命制起點(diǎn)低、立意高，有效落實(shí)了對(duì)“四基”的考查，能有效考查學(xué)生根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)在新的活動(dòng)情境中進(jìn)行有效遷移、運(yùn)用的能力.

（2）注重思維過(guò)程，關(guān)注對(duì)能力素養(yǎng)的考查.

2020年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷都能從數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)出發(fā)，注重對(duì)思維過(guò)程的考查，越來(lái)越重視對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的考查.

例5 （江西卷）已知[∠MPN]的兩邊分別與☉O相切于點(diǎn)[A，B，] ☉O的半徑為[r].

（1）如圖4，點(diǎn)[C]在點(diǎn)[A，B]之間的優(yōu)弧上，[∠MPN=][80°]，求[∠ACB]的度數(shù).

（2）如圖5，點(diǎn)[C]在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)[PC]最大時(shí)，要使四邊形[APBC]為菱形，[∠APB]的度數(shù)應(yīng)為多少？試說(shuō)明理由.

（3）若[PC]交☉O于點(diǎn)[D]，求第（2）問(wèn)中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng)（用含[r]的式子表示）.

【評(píng)析】對(duì)于第三學(xué)段，《標(biāo)準(zhǔn)》中弱化了對(duì)圓的考查要求，縮小了考查范圍，刪除了“圓與圓的位置關(guān)系”這一內(nèi)容. 各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷對(duì)圓的基礎(chǔ)知識(shí)的考查，大多是在一個(gè)圓內(nèi)考查與圓有關(guān)的基本概念、性質(zhì)、基本運(yùn)算及簡(jiǎn)單推理，也不乏以圓為載體考查學(xué)生的動(dòng)態(tài)探究、綜合應(yīng)用，以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 此題著重在探究過(guò)程中考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 把定圓放入角內(nèi)部，恰好與角的兩邊相切. 第（1）小題是靜止的狀態(tài)，直接給定角的大小，令點(diǎn)C在優(yōu)弧上，蘊(yùn)含著即使點(diǎn)C在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，也不會(huì)改變結(jié)果;第（2）小題是動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，角的大小也在變化，需要通過(guò)觀察、分析，判斷PC取最大值時(shí)經(jīng)過(guò)圓心O，再以此為前提，繼續(xù)探究四邊形APBC為菱形時(shí)[∠APB]的度數(shù)，再寫(xiě)出推理過(guò)程;第（3）小題在第（2）小題的基礎(chǔ)上，求在特殊狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng). 三道小題從特殊到一般再?gòu)囊话愕教厥猓龑?dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、猜想、證明的過(guò)程，在此過(guò)程中滲透了轉(zhuǎn)化思想，以及直觀想象、合情推理、演繹推理等素養(yǎng).

例6 （河北卷）如圖6，將△ABC繞邊AC的中點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°. 嘉淇發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)后的△CDA與△ABC構(gòu)成平行四邊形，并推理如下.

小明為保證嘉淇的推理更嚴(yán)謹(jǐn)，想在方框中“因?yàn)镃B = AD，”和“所以四邊形……”之間作補(bǔ)充. 下列正確的是（ ? ?）.

（A）嘉淇推理嚴(yán)謹(jǐn)，不必補(bǔ)充

（B）應(yīng)補(bǔ)充：且AB = CD，

（C）應(yīng)補(bǔ)充：且AB∥CD，

（D）應(yīng)補(bǔ)充：且OA = OC，

【評(píng)析】此題以學(xué)生的推理過(guò)程為情境，要求根據(jù)情境分析判斷，思考要達(dá)到完整正確的推理過(guò)程是否需要補(bǔ)充條件，補(bǔ)充怎樣的條件，這既是對(duì)學(xué)生關(guān)于平行四邊形判定定理掌握情況的考查，更是對(duì)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的考查，能夠有效凸顯能力立意.

例7 （山西卷）閱讀與思考：下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

任務(wù)：

（1）填空：“辦法一”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是________________________.

（2）根據(jù)“辦法二”的操作過(guò)程，證明∠RCS = 90°.

（3）① 尺規(guī)作圖：試在圖9的木板上，過(guò)點(diǎn)C作出AB的垂線.（在木板上保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法.）

② 說(shuō)明你的作法依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實(shí).（寫(xiě)出一個(gè)即可.）

【評(píng)析】此題圍繞問(wèn)題“不用直角尺，如何過(guò)AB上的一點(diǎn)C，作出AB的垂線”展開(kāi)，以學(xué)生日記的形式呈現(xiàn)閱讀材料，直接給出“木工師傅不用直角尺也能畫(huà)出直角”的兩種辦法，并以此進(jìn)行設(shè)問(wèn). 第（1）小題要求寫(xiě)出“辦法一”依據(jù)的數(shù)學(xué)定理是什么，考查學(xué)生對(duì)勾股定理逆定理的理解，不但要知其然，更要知其所以然. 第（2）小題讓學(xué)生寫(xiě)出“辦法二”的證明過(guò)程，要求學(xué)生準(zhǔn)確完成文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把思維過(guò)程表達(dá)出來(lái). 這兩道小題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的判定等知識(shí)，以及學(xué)生的邏輯推理能力. 第（3）小題針對(duì)日記中小宇同學(xué)的反思“還有什么辦法不用直角尺也能作出AB的垂線？”進(jìn)行設(shè)置，這個(gè)反思具有開(kāi)放性，但設(shè)問(wèn)明確要求利用尺規(guī)作圖法過(guò)點(diǎn)C作出AB的垂線，并需說(shuō)明依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實(shí)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，對(duì)尺規(guī)作圖不僅要會(huì)操作，更需要理解為什么這么操作，說(shuō)明作圖的依據(jù).

例7以日記的形式呈現(xiàn)閱讀材料，圍繞日記中的問(wèn)題展開(kāi)設(shè)問(wèn)，讓人耳目一新. 學(xué)生需要通過(guò)閱讀資料尋求文字背后的作圖原理，再在這個(gè)基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸，尋找新的思路解決問(wèn)題. 這是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般思路，學(xué)生在解題過(guò)程中不知不覺(jué)融入其中，與小宇同學(xué)一起思考、一起操作，體現(xiàn)了對(duì)思維過(guò)程的考查，同時(shí)也對(duì)圖形性質(zhì)的運(yùn)用提出了更高的要求.

（3）關(guān)注探究性、應(yīng)用性、開(kāi)放性的考查，嘗試跨學(xué)科命制試題.

例8 （江西卷）某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖10中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積S1，S2，S3之間的關(guān)系問(wèn)題”進(jìn)行了以下探究.

類(lèi)比探究：

（1）如圖11，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為斜邊向外側(cè)作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若[∠1=∠2=][∠3]，則面積S1，S2，S3之間的關(guān)系式為_(kāi)_______.

推廣驗(yàn)證：

（2）如圖12，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為邊向外側(cè)作任意△ABD，△ACE，△BCF，滿(mǎn)足[∠1=∠2=∠3，] [∠D=∠E=∠F，] 則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，試證明你的結(jié)論;若不成立，試說(shuō)明理由.

拓展應(yīng)用：

（3）如圖13，在五邊形ABCDE中，[∠A=∠E=∠C=][105°，][ ?∠ABC=][90°，AB=23]，[DE=2]，點(diǎn)[P]在[AE]上，[∠ABP=30°]，[PE=2]，求五邊形ABCDE的面積.

【評(píng)析】此題以教材中常見(jiàn)的探究勾股定理的基本圖形為背景，對(duì)這一素材進(jìn)一步挖掘拓展，設(shè)置“類(lèi)比探究—推廣驗(yàn)證—拓展應(yīng)用”的主線展開(kāi)探究，還原課堂學(xué)習(xí)的真實(shí)情境，讓學(xué)生感覺(jué)親切熟悉，降低了壓軸題帶來(lái)的壓迫感. 順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生的思維層層深入，最終感悟在直角三角形三邊外側(cè)分別作正方形、直角三角形、相似三角形時(shí)，結(jié)論（S1 + S2 = S3）依然保持不變，讓學(xué)生體會(huì)“變中不變”的思想. 此題真實(shí)地再現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累、知識(shí)的綜合，并將曾經(jīng)的相關(guān)課堂活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)綜合運(yùn)用到具體情境（求解五邊形的面積）中進(jìn)行分析與求解，要運(yùn)用前面環(huán)節(jié)中發(fā)現(xiàn)的不變的結(jié)論構(gòu)造相應(yīng)的模型，并運(yùn)用相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題. 這是學(xué)習(xí)新知識(shí)的完整過(guò)程，讓學(xué)生在解題的過(guò)程中感悟?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法. 此題具有一定區(qū)分度，能考查不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 其中，問(wèn)題的設(shè)置由淺入深、層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生由形式到內(nèi)容、從特殊到一般，逐步過(guò)渡與提升，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有效考查了勾股定理、三角形的面積、銳角三角函數(shù)、解直角三角形、相似三角形的性質(zhì)與判定之間的關(guān)系與轉(zhuǎn)化. 其中滲透了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，引領(lǐng)師生關(guān)注數(shù)學(xué)文化，重視教材在教學(xué)中的重要作用.

例9 （重慶A卷）為了解學(xué)生掌握垃圾分類(lèi)知識(shí)的情況，增強(qiáng)學(xué)生環(huán)保意識(shí)，某學(xué)校舉行了“垃圾分類(lèi)人人有責(zé)”的知識(shí)測(cè)試活動(dòng). 現(xiàn)從該校七、八年級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)（滿(mǎn)分10分，6分及6分以上為合格）進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息.

七年級(jí)20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?yōu)椋?，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6.

八年級(jí)20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖如圖14所示.

七、八年級(jí)抽取的學(xué)生的測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、8分及以上人數(shù)所占百分比如表1所示.

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題.

（1）直接寫(xiě)出表1中的a，b，c的值.

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生掌握垃圾分類(lèi)知識(shí)較好？試說(shuō)明理由.（寫(xiě)出一條理由即可.）

（3）該校七、八年級(jí)共1 200名學(xué)生參加了此次測(cè)試活動(dòng)，估計(jì)參加此次測(cè)試活動(dòng)成績(jī)合格的學(xué)生人數(shù)是多少？

【評(píng)析】此題以“垃圾分類(lèi)人人有責(zé)”的知識(shí)測(cè)試活動(dòng)為情境，對(duì)抽取的學(xué)生的測(cè)試成績(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)分別以條形統(tǒng)計(jì)圖和表格的形式給出，考查了平均數(shù)、眾數(shù)等統(tǒng)計(jì)量的運(yùn)算及樣本估計(jì)總體等統(tǒng)計(jì)知識(shí)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)問(wèn)題，體現(xiàn)時(shí)代性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí). 第（2）小題的設(shè)問(wèn)具有開(kāi)放性，要求學(xué)生結(jié)合數(shù)據(jù)分析進(jìn)行判斷，并說(shuō)明理由，考查統(tǒng)計(jì)量的意義. 中考對(duì)開(kāi)放性試題的命制一直在實(shí)踐和摸索的過(guò)程中，目前大多是在統(tǒng)計(jì)題中進(jìn)行開(kāi)放性設(shè)問(wèn)，對(duì)答案及評(píng)分也具有包容性，一般回答有道理即可得分. 因此，開(kāi)放性試題如何命制，是條件開(kāi)放、結(jié)論開(kāi)放，還是過(guò)程開(kāi)放？開(kāi)放的度如何把握？這些都有待于在今后的命題實(shí)踐中進(jìn)一步摸索.

例10 （河北卷）用承重指數(shù)[W]衡量水平放置的長(zhǎng)方體木板的最大承重量. 實(shí)驗(yàn)室有一些同材質(zhì)同長(zhǎng)同寬而厚度不一的木板，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：木板承重指數(shù)[W]與木板厚度x（厘米）的平方成正比，當(dāng)[x=3]時(shí)，[W=3].

（1）求[W]與[x]的函數(shù)關(guān)系式.

（2）如圖15，選一塊厚度為6厘米的木板，把它分割成與原來(lái)同長(zhǎng)同寬但薄厚不同的兩塊板（不計(jì)分割損耗）. 設(shè)薄板的厚度為x（厘米），[Q=W厚-W薄].

① 求[Q]與[x]的函數(shù)關(guān)系式;

② [x]為何值時(shí)，[Q]是[W薄]的3倍？

【評(píng)析】此題圖文并茂，以物理實(shí)驗(yàn)為背景，引入“木板承重指數(shù)”這一新的量. 在已知木板承重指數(shù)與木板厚度之間函數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將厚度為6厘米的木板分割成兩塊，然后對(duì)[Q]與[x]，[Q]與[W薄]之間的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行探究，既考查了函數(shù)的定義、性質(zhì)，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的工具性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模的作用，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識(shí)的融合. 如果在試題中再增加一道小題，利用求出的函數(shù)關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，就更完美了.

2. 從命題導(dǎo)向方面分析

從試題的育人導(dǎo)向和學(xué)科教學(xué)導(dǎo)向兩個(gè)方面來(lái)看，2020年中考數(shù)學(xué)試卷整體向好發(fā)展，都能以《標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)，逐步打破試題固化、模型化，注重考查數(shù)學(xué)本質(zhì)，以引導(dǎo)教學(xué)回歸教材. 重視概念法則的教學(xué)，以糾正輕教材、重教輔，套路化、機(jī)械性訓(xùn)練的教學(xué)現(xiàn)狀，會(huì)對(duì)教學(xué)起到正向引導(dǎo)的作用. 同時(shí)，2020年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試題都非常關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)、傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)文化、時(shí)代精神等社會(huì)背景，并以此為情境創(chuàng)編試題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人功能. 命題特點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

（1）注重對(duì)教材的進(jìn)一步挖掘與研究，體現(xiàn)良好的教學(xué)導(dǎo)向.

為使得試題情境更加真實(shí)，體現(xiàn)公平性，符合學(xué)生生活實(shí)際，2020年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試題都重視從教材中選取素材，創(chuàng)造性地開(kāi)發(fā)、利用教材資源成為命題的立足點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn). 例如，江西、安徽等地中考數(shù)學(xué)試題選自教材中的素材占比達(dá)50%. 因此，中考試題面向全體學(xué)生，對(duì)教材例、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)創(chuàng)編，考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，體現(xiàn)義務(wù)教育的基礎(chǔ)性和全面性，同時(shí)對(duì)教材中的知識(shí)和方法進(jìn)行類(lèi)比、遷移，引領(lǐng)一線教師放棄題海戰(zhàn)術(shù)、回歸教材，加深學(xué)生對(duì)教材內(nèi)容的進(jìn)一步理解和挖掘，重視對(duì)教材知識(shí)的拓展與延伸，以評(píng)價(jià)促進(jìn)課堂教學(xué)正向發(fā)展.

例11 （陜西卷）王大伯承包了一個(gè)魚(yú)塘，投放了2 000條某種魚(yú)苗，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的精心喂養(yǎng)，存活率大致達(dá)到了90%，他近期想出售魚(yú)塘里的這種魚(yú). 為了估計(jì)魚(yú)塘里這種魚(yú)的總質(zhì)量，王大伯隨機(jī)捕撈了20條魚(yú)，分別稱(chēng)得其質(zhì)量后放回魚(yú)塘. 現(xiàn)將這20條魚(yú)的質(zhì)量作為樣本，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖16所示.

（1）這20條魚(yú)質(zhì)量的中位數(shù)是________，眾數(shù)是________.

（2）求這20條魚(yú)質(zhì)量的平均數(shù).

（3）經(jīng)了解，近期市場(chǎng)上這種魚(yú)的售價(jià)為每千克18元，試?yán)眠@個(gè)樣本的平均數(shù)，估計(jì)王大伯近期售完魚(yú)塘里的這種魚(yú)可收入費(fèi)用為多少？

【評(píng)析】此題以“魚(yú)塘養(yǎng)魚(yú)”為情境，貼近實(shí)際生活，也是教材中常見(jiàn)的素材，如人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“人教版教材”）九年級(jí)上冊(cè)習(xí)題25.3中的第5題，北師大版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“北師大版教材”）九年級(jí)上冊(cè)綜合與實(shí)踐問(wèn)題“池塘里有多少條魚(yú)”等，考查的知識(shí)點(diǎn)有統(tǒng)計(jì)圖表，平均數(shù)、眾數(shù)的計(jì)算，用樣本估計(jì)總體等. 這些都是統(tǒng)計(jì)部分的基本內(nèi)容，突出了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，引導(dǎo)課堂教學(xué)回歸教材.

類(lèi)似地，還有山東青島卷第17題，素材源于北師大版教材九年級(jí)上冊(cè)第65頁(yè)問(wèn)題情境“配紫色”游戲，通過(guò)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的隨機(jī)性和等可能性，考查學(xué)生對(duì)概率意義的理解和概率的計(jì)算.

四川綿陽(yáng)卷第21題以人教版教材八年級(jí)下冊(cè)第127頁(yè)的問(wèn)題情境“推銷(xiāo)雞腿”為素材，北師大版教材八年級(jí)上冊(cè)第六章“數(shù)據(jù)的分析”第4節(jié)的數(shù)據(jù)波動(dòng)的問(wèn)題情境與之類(lèi)似. 這些試題將教材中的素材或習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)改編及拓展，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)倍覺(jué)親切熟悉，又與教材內(nèi)容不完全相同，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，也有能力的區(qū)分，對(duì)課堂教學(xué)具有良好的導(dǎo)向作用.

關(guān)于幾何情境應(yīng)用性試題的考查，主要是以“解直角三角形”的形式呈現(xiàn)，通常需要先從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型（幾何圖形），運(yùn)用三角形相似或者直接運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題. 2020年中考數(shù)學(xué)試題中，也有很多這類(lèi)試題的素材直接來(lái)源于教材. 例如，新疆卷第20題以測(cè)量建筑物的高度為情境，與北師大版教材九年級(jí)下冊(cè)第19頁(yè)中“想一想”的情境相似;河南卷第18題以河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺(tái)為情境，要求學(xué)生使用卷尺和自制的測(cè)角儀測(cè)量觀星臺(tái)的高度. 這一情境雖然來(lái)源于生活，但是解決問(wèn)題的方法來(lái)源于教材，如北師大版教材九年級(jí)下冊(cè)第23頁(yè)的“活動(dòng)3：測(cè)量底部不可以到達(dá)的物體的高度”;人教版教材九年級(jí)下冊(cè)第二十八章第81頁(yè)中的“活動(dòng)2：利用測(cè)角儀測(cè)量塔高”等，都是轉(zhuǎn)化為相同的基本圖形求解. 這兩道試題都是以測(cè)量高度為載體，將解直角三角形問(wèn)題中的典型模型運(yùn)用到解決具體問(wèn)題中，達(dá)到了檢測(cè)課堂教學(xué)效果的目的.

從以上分析可以看出，2020年中考數(shù)學(xué)試題對(duì)教材中的情境、例題或習(xí)題的選用，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：一是對(duì)教材中某一道題或某一類(lèi)題，進(jìn)行多方向、多角度的改編，呈現(xiàn)探究性試題;二是對(duì)教材中的基礎(chǔ)性題目進(jìn)行淺層次的改編，更換題目情境，而解決問(wèn)題的方法相同，或者使用相同的情境，改變?cè)O(shè)問(wèn)的方式或方向等;三是圍繞核心內(nèi)容，對(duì)教材中跨年級(jí)、跨章節(jié)的某一核心內(nèi)容進(jìn)行綜合，從整體角度進(jìn)行考查;四是在挖掘教材習(xí)題內(nèi)涵、抓住本質(zhì)的基礎(chǔ)上，改編成不同的題型，實(shí)現(xiàn)不同的考查功能. 這些都會(huì)促進(jìn)教師對(duì)教材和課堂教學(xué)的研究.

（2）創(chuàng)設(shè)豐富多元的試題情境，滲透立德樹(shù)人，發(fā)揮育人功能.

2020年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試題在考查數(shù)學(xué)概念、法則、定理及應(yīng)用的過(guò)程中，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，在選用素材時(shí)重視文化傳承、家國(guó)情懷及國(guó)際視野，關(guān)注時(shí)代的進(jìn)步和社會(huì)發(fā)展，重視對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng).

① 關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)，體現(xiàn)時(shí)代特征，培養(yǎng)正確價(jià)值觀.

例12 （湖南·常德卷）今年2 ～ 4月某市出現(xiàn)了200名新冠肺炎患者，市委根據(jù)黨中央的決定，對(duì)患者進(jìn)行了免費(fèi)治療. 圖17（1）是該市輕癥、重癥、危重癥三類(lèi)患者的人數(shù)分布統(tǒng)計(jì)圖（不完整），圖17（2）是這三類(lèi)患者的人均治療費(fèi)用統(tǒng)計(jì)圖. 試回答下列問(wèn)題.

（1）輕癥患者的人數(shù)是多少？

（2）該市為治療危重癥患者共花費(fèi)多少萬(wàn)元？

（3）所有患者的平均治療費(fèi)用是多少萬(wàn)元？

（4）由于部分輕癥患者康復(fù)出院，為減少病房擁擠，擬對(duì)某病房中的A，B，C，D，E五位患者任選兩位轉(zhuǎn)入另一病房，試用樹(shù)狀圖法或列表法求出恰好選中B，D兩位患者的概率.

【評(píng)析】此題以地方政府對(duì)新冠肺炎患者進(jìn)行免費(fèi)治療為素材，通過(guò)該市輕癥、重癥、危重癥三類(lèi)患者的人數(shù)分布統(tǒng)計(jì)圖，估算出輕癥患者的人數(shù)、該市為治療危重癥患者共花費(fèi)的費(fèi)用、所有患者的平均治療費(fèi)用等，展示了中國(guó)政府對(duì)防控新冠肺炎疫情措施保障得力，人民有病能及時(shí)得到治療，讓人民無(wú)后顧之憂.

類(lèi)似的試題還有江蘇揚(yáng)州卷第15題，以健康碼為素材，展示了大數(shù)據(jù)分析技術(shù)為打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)及復(fù)工復(fù)產(chǎn)發(fā)揮的重要作用;浙江臺(tái)州卷第22題、湖南郴州卷第20題分別以新冠肺炎疫情期間各地開(kāi)展“停課不停學(xué)”線上教學(xué)時(shí)，以“錄播”“直播”、電視和手機(jī)[APP]等平臺(tái)為素材，展示我國(guó)改革開(kāi)放以來(lái)取得的教育現(xiàn)代化成果. 試題從人民群眾關(guān)切的國(guó)計(jì)民生問(wèn)題出發(fā)，根據(jù)真實(shí)數(shù)據(jù)編制統(tǒng)計(jì)圖，體現(xiàn)立德樹(shù)人的教育理念.

湖南衡陽(yáng)卷第22題以白衣執(zhí)甲、前赴后繼支援湖北省為素材，對(duì)全國(guó)30個(gè)省（市、區(qū)）各派出支援武漢的醫(yī)務(wù)人員中的“90后”的情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，通過(guò)有關(guān)“90后”醫(yī)務(wù)人員的數(shù)據(jù)及補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)，有效地考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，同時(shí)弘揚(yáng)了“90后”青年的擔(dān)當(dāng)和愛(ài)國(guó)情懷. 黑龍江齊齊哈爾卷第21題對(duì)全市各學(xué)校部分參與志愿服務(wù)的教職工的志愿服務(wù)時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì). 江蘇揚(yáng)州卷第22題通過(guò)疫情防控下實(shí)測(cè)體溫進(jìn)校園的事件中求解隨機(jī)通過(guò)測(cè)溫通道的概率. 福建卷第22題以廣大黨員干部深入農(nóng)村積極開(kāi)展“精準(zhǔn)扶貧”為統(tǒng)計(jì)素材. 以上試題體現(xiàn)了當(dāng)代“90后”及各行各業(yè)的時(shí)代擔(dān)當(dāng)、兢兢業(yè)業(yè)和志愿服務(wù)精神，具有積極的教育意義. 湖南邵陽(yáng)卷第17題以山東艦艦徽的構(gòu)圖為背景，考查立體圖形與平面圖形之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系. 這些情境素材能有效地激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的愛(ài)國(guó)情懷與民族自信，滲透愛(ài)國(guó)主義教育.

除統(tǒng)計(jì)試題背景素材體現(xiàn)了豐富性的時(shí)代性以外，在方程與不等式的模型應(yīng)用方面也體現(xiàn)了試題的教育價(jià)值. 例如，江西卷第17題以學(xué)生熟悉而親切的日常生活小事“在地?cái)偵腺?gòu)買(mǎi)筆芯和卡通筆記本”為情境，從數(shù)學(xué)的角度關(guān)注構(gòu)建方程組這一數(shù)學(xué)模型的同時(shí)，突出對(duì)方程思想的考查，更關(guān)注對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析與解決，體現(xiàn)了命題者對(duì)方程與不等式建模的不同考查要求，同時(shí)滲透了溝通交流、團(tuán)結(jié)合作、勤儉節(jié)約的價(jià)值觀教育，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的育人功能.

② 以數(shù)學(xué)史料為背景，滲透數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)育人導(dǎo)向.

近幾年，各地中考數(shù)學(xué)試題中以數(shù)學(xué)文化為背景的試題逐年增加. 數(shù)學(xué)的發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，數(shù)學(xué)文化是人類(lèi)文化的一種，它的思想、方法和語(yǔ)言是現(xiàn)代文明的重要組成部分，而其中的數(shù)學(xué)觀念、意識(shí)和思維方式是數(shù)學(xué)文化的核心. 2020年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中，有很多試題通過(guò)數(shù)學(xué)史展示數(shù)學(xué)文化的民族性與世界性，弘揚(yáng)我國(guó)悠久的歷史和文化，并注意吸收世界數(shù)學(xué)文化的精髓，引導(dǎo)學(xué)生胸懷祖國(guó)、放眼世界，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，充分發(fā)揮了以史育人的作用.

例13 （寧夏卷）我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，不知大小. 以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺. 問(wèn)徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小. 如圖18，用鋸去鋸這木材，鋸口深ED = 1寸，鋸道長(zhǎng)AB = 1尺（1尺 = 10寸）. 問(wèn)這根圓形木材的直徑是________.

【評(píng)析】此題以《九章算術(shù)》中的“圓材埋壁”問(wèn)題為素材，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化在學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)中的滲透. 類(lèi)似地，四川達(dá)州卷和內(nèi)江卷分別考查了《易經(jīng)》中的“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，《增刪算法統(tǒng)宗》中的“繩索量竿”，體現(xiàn)了中國(guó)古代文化的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)與博大精深;江西卷第9題將數(shù)學(xué)史中的記數(shù)文化、數(shù)感、古巴比倫文明盡顯其中，第10題以無(wú)理數(shù)為素材對(duì)出現(xiàn)的數(shù)字進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，潛移默化地將無(wú)理數(shù)、數(shù)學(xué)史及古代數(shù)學(xué)家祖沖之融入統(tǒng)計(jì)閱讀材料中. 河南卷第20題以“三分角器”的使用說(shuō)明為閱讀材料，讓學(xué)生根據(jù)材料補(bǔ)全已知、求證，并寫(xiě)出證明過(guò)程，考查學(xué)生的閱讀理解和數(shù)學(xué)表達(dá)能力. 這些試題素材來(lái)自中國(guó)或世界優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化或科學(xué)發(fā)明，與數(shù)學(xué)知識(shí)和原理相結(jié)合編擬試題，即是對(duì)這些文化的繼承與傳播，又可以使學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)觀和價(jià)值觀.

二、2020年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試卷創(chuàng)新題分析

2020年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷除了具有上述的命題特點(diǎn)之外，各地命題者仍不斷探索，力求在“數(shù)與代數(shù)”“幾何與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)領(lǐng)域的試題命制有所創(chuàng)新. 主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

1. 把推理、運(yùn)算與探究適度融合，考查綜合素養(yǎng)

全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試題注重通過(guò)設(shè)置代數(shù)式或圖形之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系來(lái)探索和表示數(shù)、形及實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)含的內(nèi)在關(guān)系、規(guī)律或變與不變的本質(zhì)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)與式表達(dá)功能及分析探究問(wèn)題能力的考查.

各地區(qū)中考試卷普遍從不同側(cè)面、不同角度對(duì)數(shù)、式等知識(shí)進(jìn)行了比較全面、系統(tǒng)的考查，都命制了一定比例涉及實(shí)數(shù)、整式的運(yùn)算、分式的意義及運(yùn)算的試題. 所謂運(yùn)算，是指在運(yùn)算律的指導(dǎo)下對(duì)具體的數(shù)、式或等式進(jìn)行變形的演繹過(guò)程. 數(shù)學(xué)中的運(yùn)算包括數(shù)的運(yùn)算，式的恒等變形、運(yùn)算和求值，各種幾何量的測(cè)量與計(jì)算等，是一種集算理、算法、計(jì)算、推理、轉(zhuǎn)化等多種數(shù)學(xué)思想方法于一體的綜合性能力.

例14 （山西卷）下面是小彬同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

[x2-9x2+6x+9-2x+12x+6]

[=x+3x-3x+32-2x+12x+3]……第一步

[=x-3x+3-2x+12x+3]……第二步

[=2x-32x+3-2x+12x+3]……第三步

[=2x-6-2x+12x+3]……第四步

[=2x-6-2x+12x+3]……第五步

[=-52x+6]……第六步

任務(wù)一：填空：

① 以上化簡(jiǎn)步驟中，第________步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是________________. 或填為：________________.

② 第________步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是________.

任務(wù)二：試直接寫(xiě)出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果.

任務(wù)三：除糾正上述錯(cuò)誤外，試根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就分式化簡(jiǎn)時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議.

【評(píng)析】此題以“閱讀 + 任務(wù)”的形式呈現(xiàn)，考查分式運(yùn)算的算法、算理，改變了以往化簡(jiǎn)求值考查分式運(yùn)算的題型結(jié)構(gòu)，把分式運(yùn)算過(guò)程以閱讀材料的形式呈現(xiàn)出來(lái)，并提出三個(gè)任務(wù)設(shè)計(jì).“任務(wù)一”要求識(shí)別出哪個(gè)步驟是通分并指出通分的依據(jù);“任務(wù)二”是檢查出錯(cuò)誤的步驟，指出錯(cuò)誤原因，并寫(xiě)出正確的結(jié)果;“任務(wù)三”具有開(kāi)放性，要求針對(duì)分式化簡(jiǎn)須注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議. 此題呈現(xiàn)了“閱讀、理解、評(píng)價(jià)、糾錯(cuò)、反思、交流”的學(xué)習(xí)過(guò)程，在閱讀材料、分析問(wèn)題的過(guò)程中考查學(xué)生對(duì)算法、算理的理解，對(duì)運(yùn)算過(guò)程的質(zhì)疑、推理、探究，對(duì)學(xué)習(xí)方法的批判質(zhì)疑，對(duì)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的歸納總結(jié)、表達(dá)交流的能力等. 此題命題立意高，不僅考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，還對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)、探究推理、反思質(zhì)疑、表達(dá)交流等綜合素養(yǎng)進(jìn)行了考查，引導(dǎo)教師除了要關(guān)注學(xué)生的思維培養(yǎng)還要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)能力的養(yǎng)成.

類(lèi)似地，北京卷第16題模擬生活中某劇場(chǎng)購(gòu)票選座的真實(shí)情境，設(shè)問(wèn)具有開(kāi)放性和趣味性，考查學(xué)生的邏輯推理，以及在具體問(wèn)題中分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，是一道非常精彩的創(chuàng)新性試題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)情境的多元化及數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

2. 凸顯函數(shù)本質(zhì)與建模過(guò)程，融入合情推理與直觀想象的素養(yǎng)考查

函數(shù)是刻畫(huà)變化與對(duì)應(yīng)關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)圖象是表示函數(shù)關(guān)系的重要方式. 近幾年，全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試題注重在具體情境中醞釀與生成函數(shù)關(guān)系，通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)出相關(guān)函數(shù)圖象，進(jìn)而探究或發(fā)現(xiàn)函數(shù)的增減性、對(duì)稱(chēng)性、最值等. 2020年中考試題對(duì)如何在具體情境中抽象出函數(shù)的本質(zhì)屬性，如何從動(dòng)態(tài)變化的情境中探究相關(guān)問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系或函數(shù)圖象進(jìn)行了有益的嘗試與實(shí)踐.

例15 （江西卷）已知拋物線[y=ax2+bx+c]（a，b，c是常數(shù)，a ≠ 0）的自變量[x]與函數(shù)值[y]的部分對(duì)應(yīng)值如表2所示.

（1）根據(jù)以上信息，可知拋物線開(kāi)口向________，對(duì)稱(chēng)軸為_(kāi)_______.

（2）求拋物線的表達(dá)式及[m，n]的值.

（3）試在圖19中畫(huà)出所求的拋物線. 設(shè)點(diǎn)[P]為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，[OP]的中點(diǎn)為[P]，描出相應(yīng)的點(diǎn)[P]，再把相應(yīng)的點(diǎn)[P]用平滑的曲線連接起來(lái)，猜想該曲線是哪種曲線？

（4）設(shè)直線[y=m m>-2]與拋物線及（3）中的點(diǎn)[P]所在曲線都有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)從左到右依次為A1，A2，A3，A4，試根據(jù)圖象直接寫(xiě)出線段A1A2，A3A4之間的數(shù)量關(guān)系________.

【評(píng)析】此題以表格的形式展示兩個(gè)變量x，y之間的二次函數(shù)關(guān)系，要求學(xué)生結(jié)合兩個(gè)變量x，y之間的增減性或描點(diǎn)法識(shí)別二次函數(shù)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸，以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，進(jìn)而完善表格中的相關(guān)數(shù)據(jù). 通過(guò)表格中給出的相關(guān)數(shù)據(jù)考查二次函數(shù)的三種表示方法（解析法、圖象法和列表法）之間的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了對(duì)二次函數(shù)本質(zhì)屬性的關(guān)注與考查. 在第（3）小題中借助拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P，聯(lián)動(dòng)線段OP的中點(diǎn)[P]的運(yùn)動(dòng)軌跡也為拋物線，其間涉及拋物線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的表示及中點(diǎn)[P]坐標(biāo)的表示，進(jìn)而表示點(diǎn)[P]的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y之間的函數(shù)關(guān)系，確定中點(diǎn)[P]的運(yùn)動(dòng)軌跡，考查了數(shù)形結(jié)合思想與幾何直觀、空間想象能力及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 在第（4）小題中借助直線y = m與固定拋物線、動(dòng)態(tài)拋物線之間的四個(gè)交點(diǎn)中左右兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系保持著某種特定不變的屬性，展示了直線與拋物線之間的交點(diǎn)、一元二次方程實(shí)數(shù)根之間的內(nèi)在聯(lián)系，以及兩交點(diǎn)間水平距離變與不變的內(nèi)在美，考查了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

北京卷第24題類(lèi)比教材中研究函數(shù)的一般方法，以新函數(shù)為研究載體，改變往年北京卷從“形”入手研究函數(shù)的呈現(xiàn)方式，直接從“數(shù)”的角度出發(fā)，分段分析一次函數(shù)與二次函數(shù)在相應(yīng)范圍內(nèi)的增減性，再根據(jù)部分列表對(duì)應(yīng)值畫(huà)出部分函數(shù)圖象，最后根據(jù)圖象探究相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì). 為學(xué)生提供了探究一類(lèi)可分解為已知函數(shù)類(lèi)型的新函數(shù)的方法與路徑，突出了對(duì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用. 試題重視對(duì)學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)能力的考查.

3. 把圖形變換與邏輯推理適當(dāng)融合，突出探究性，考查直觀想象素養(yǎng)

在“圖形與幾何”領(lǐng)域的試題，常規(guī)考查總是圍繞著基本圖形的概念和性質(zhì)，以及綜合運(yùn)用進(jìn)行邏輯推理證明. 這部分試題的創(chuàng)新點(diǎn)在于把圖形變換、圖形性質(zhì)巧妙結(jié)合起來(lái)，融入觀察、歸納、建模等探究過(guò)程，改變?cè)囶}的呈現(xiàn)形式，使試題變得靈動(dòng)起來(lái).

例16 （江西卷）如圖20（1）是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，圖20（2）是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，量得托板長(zhǎng)AB = 120 mm，支撐板長(zhǎng)CD = 80 mm，底座長(zhǎng)DE = 90 mm. 托板AB固定在支撐板頂端點(diǎn)C處，且CB = 40 mm，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板CD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng).（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位.）

（1）若∠DCB = 80°，∠CDE = 60°，求點(diǎn)A到直線DE的距離.

（2）為了觀看舒適，在（1）的情況下，把AB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°后，再將CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在直線DE上即可，求CD旋轉(zhuǎn)的角度.

（參考數(shù)據(jù)：sin 40° ≈ 0.643，cos 40° ≈ 0.766，tan 40° ≈ 0.839，sin 26.6° ≈ 0.448，cos 26.6° ≈ 0.894，tan 26.6° ≈ 0.500，[3]≈ 1.732.）

【評(píng)析】此題以生活中常見(jiàn)的手機(jī)平板支架為素材，構(gòu)圖簡(jiǎn)潔、自然、美觀，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)物圖中抽象出幾何圖形，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的相關(guān)距離及角度的問(wèn)題. 這道題的創(chuàng)新之處在于第（2）小題設(shè)置了2次旋轉(zhuǎn)——“把AB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°后，再將CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)”，通過(guò)旋轉(zhuǎn)自然生成直角，借助旋轉(zhuǎn)變化實(shí)現(xiàn)了構(gòu)造直角三角形、將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的目的. 此題要求學(xué)生在閱讀文字語(yǔ)言的同時(shí)，借助直觀想象，畫(huà)出圖形幫助理解題意，解題過(guò)程體現(xiàn)了探究性，也滲透了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

江西卷第16題以正方形網(wǎng)格為背景，以無(wú)刻度直尺作圖的形式考查中心對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用. 尤其是第（2）小題，只告知旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)后的圖形頂點(diǎn)仍在格點(diǎn)上，要求作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，這需要學(xué)生運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合網(wǎng)格圖進(jìn)行觀察、推理，在尋找作圖思路的過(guò)程中凸顯了直觀想象素養(yǎng). 此題從題型結(jié)構(gòu)上看是作圖題，本質(zhì)上是一種把圖形性質(zhì)與圖形變換作為工具，經(jīng)歷觀察、聯(lián)想、類(lèi)比、推理等思維過(guò)程，尋找、構(gòu)造作圖線索，解決問(wèn)題的探究性試題，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的畫(huà)圖能力、直覺(jué)思維、邏輯思維及直觀想象素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)有積極的作用.

4. 統(tǒng)計(jì)試題突出考查數(shù)據(jù)分析能力，加強(qiáng)對(duì)統(tǒng)計(jì)本質(zhì)的考查

近幾年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試題中對(duì)統(tǒng)計(jì)的考查已經(jīng)趨于模式化且偏離統(tǒng)計(jì)的本質(zhì)，多數(shù)試題以“情境 + 填補(bǔ)統(tǒng)計(jì)圖 + 統(tǒng)計(jì)量的運(yùn)算”的模式進(jìn)行考查，使得統(tǒng)計(jì)考查幾乎成了“填空 + 運(yùn)算”的答題模式. 就統(tǒng)計(jì)本身而言，涉及數(shù)據(jù)收集、整理、分析的過(guò)程，統(tǒng)計(jì)圖表的選擇及制作，統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際意義，以及統(tǒng)計(jì)在決策、判斷中的價(jià)值，這些在中考試題中體現(xiàn)不夠.

2020年中考試題在統(tǒng)計(jì)題的命制上嘗試創(chuàng)新，力求凸顯對(duì)統(tǒng)計(jì)本質(zhì)的考查，也呈現(xiàn)了一些可圈可點(diǎn)的創(chuàng)新性試題.

例17 （北京卷）小云統(tǒng)計(jì)了自己所住小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量（單位：千克），相關(guān)信息如下.

小云所住小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量統(tǒng)計(jì)圖如圖21所示.

小云所住小區(qū)5月1日至30日分時(shí)段的廚余垃圾分出量的平均數(shù)如表3所示.

（1）該小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量的平均數(shù)約為_(kāi)_______.（結(jié)果取整數(shù).）

（2）已知該小區(qū)4月的廚余垃圾分出量的平均數(shù)為60，則該小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量的平均數(shù)約為4月的________倍.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位.）

（3）記該小區(qū)5月1日至10日的廚余垃圾分出量的方差為s2

1，5月11日至20日的廚余垃圾分出量的方差為s2

2，5月21日至30日的廚余垃圾分出量的方差為s2

3. 直接寫(xiě)出s2

1，s2

2，s2

3的大小關(guān)系.

【評(píng)析】此題以“某小區(qū)廚余垃圾分出量”的社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題為情境，考查學(xué)生從統(tǒng)計(jì)圖表中讀取信息、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、做出判斷等數(shù)據(jù)分析能力，在實(shí)際問(wèn)題背景中理解統(tǒng)計(jì)量的意義. 此題的創(chuàng)新之處在于首次在統(tǒng)計(jì)題中使用數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖描述數(shù)據(jù)，還原數(shù)據(jù)整理分析的過(guò)程. 在第（3）小題中要求“直接寫(xiě)出s2

1，s2

2，s2

3的大小關(guān)系”，考查學(xué)生在理解方差的基礎(chǔ)上，自覺(jué)運(yùn)用散點(diǎn)圖觀察、分析，得出判斷，體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖表在數(shù)據(jù)分析過(guò)程中的價(jià)值.

在統(tǒng)計(jì)試題命制上有所創(chuàng)新的還有江西卷第19題，其以“停課不停學(xué)”復(fù)學(xué)后的兩次教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)為背景命題，創(chuàng)新之處體現(xiàn)在第（2）小題和第（3）小題. 第（2）小題要求學(xué)生根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫(huà)出兩次測(cè)試成績(jī)的折線圖，并對(duì)兩次成績(jī)做出對(duì)比分析，設(shè)問(wèn)具有開(kāi)放性. 可從折線圖走勢(shì)做出判斷，或根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)等統(tǒng)計(jì)量分析判斷. 第（3）小題的設(shè)置具有現(xiàn)實(shí)意義，要求估計(jì)成績(jī)?yōu)?8分的學(xué)生大概處在全班什么位置，排在前面的最多有多少人，最少有多少人，這也是生活中常見(jiàn)的問(wèn)題. 這個(gè)問(wèn)題考查了學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)表中成績(jī)分段的進(jìn)一步思考，引導(dǎo)教學(xué)把數(shù)學(xué)與生活實(shí)際緊密聯(lián)系起來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，考查統(tǒng)計(jì)的本質(zhì).

這兩道統(tǒng)計(jì)試題的任務(wù)設(shè)計(jì)改變了多年來(lái)統(tǒng)計(jì)類(lèi)試題單純考查統(tǒng)計(jì)量運(yùn)算的現(xiàn)象，在實(shí)際情境中運(yùn)用統(tǒng)計(jì)解決問(wèn)題方面做了新的嘗試.

5. 對(duì)“綜合與實(shí)踐”試題的命制進(jìn)行積極地探索

《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“綜合與實(shí)踐”部分的要求是“結(jié)合實(shí)際情境，經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決具體問(wèn)題的方案，并加以實(shí)施的過(guò)程，體驗(yàn)建立模型、解決問(wèn)題的過(guò)程，并在此過(guò)程中嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題……進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，……進(jìn)一步理解有關(guān)知識(shí)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和能力”. 由于“綜合與實(shí)踐”要求的綜合性、應(yīng)用性、探究性、實(shí)踐性，對(duì)于紙筆測(cè)試的中考試題的命制要求比較高，往年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷常把“綜合與實(shí)踐”的要求滲透到其他知識(shí)領(lǐng)域中進(jìn)行考查. 2020年個(gè)別地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷嘗試把考查知識(shí)內(nèi)容按照“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行分值占比的劃分，并嘗試專(zhuān)門(mén)命制一道“綜合與實(shí)踐”試題，突出對(duì)“綜合與實(shí)踐”的重視，落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求.

例18 （黑龍江·齊齊哈爾卷）綜合與實(shí)踐

在線上教學(xué)中，教師和學(xué)生都學(xué)習(xí)到了新知識(shí)，掌握了許多新技能. 例如，教材八年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)活動(dòng)——折紙，就引起了許多同學(xué)的興趣. 在經(jīng)歷圖形變換的過(guò)程中，進(jìn)一步發(fā)展了同學(xué)們的空間觀念，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：

對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平;再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，把紙片展平，連接AN，如圖22（1）.

（1）折痕BM________（填“是”或“不是”）線段AN的垂直平分線;試判斷圖中△ABN是什么特殊三角形？答：________;進(jìn)一步計(jì)算出∠MNE的度數(shù)為_(kāi)_______.

（2）繼續(xù)折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BG，把紙片展平，如圖22（2），則∠GBN 的度數(shù)為_(kāi)_______.

拓展延伸：

（3）如圖22（3），折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′處，并且折痕交BC邊于點(diǎn)T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平，連接AA′交ST于點(diǎn)O，連接AT.

求證：四邊形SATA′是菱形.

解決問(wèn)題：

（4）如圖22（4），矩形紙片ABCD中，AB = 10，AD = 26，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′處，并且折痕交AB邊于點(diǎn)T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平. 同學(xué)們小組討論后，得出線段AT的長(zhǎng)度有4，5，7，9.

試寫(xiě)出以上4個(gè)數(shù)值中你認(rèn)為正確的數(shù)值________.

【評(píng)析】此題以人教版教材中折紙這一數(shù)學(xué)活動(dòng)為情境，經(jīng)歷“實(shí)踐發(fā)現(xiàn)—拓展延伸—解決問(wèn)題”三個(gè)過(guò)程，通過(guò)三個(gè)活動(dòng)操作經(jīng)驗(yàn)的積累，讓學(xué)生在充分感知相關(guān)圖形的位置（線段的垂直平分線）、形狀（等邊三角形、菱形）及大?。ń嵌龋╆P(guān)系，進(jìn)而借助所得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)分析與解決第（4）小題情境中的實(shí)際問(wèn)題. 此題由淺入深、由外及里、由直觀形象到抽象地設(shè)計(jì)系列問(wèn)題，有利于引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步深入，并在深入活動(dòng)操作及探究過(guò)程中考查由感性到理性思辨相關(guān)的能力因素，有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與創(chuàng)新意識(shí). 此題與《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)“綜合與實(shí)踐”部分的要求基本吻合. 試題情境取材于教材中的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生感覺(jué)親切熟悉，適合在紙筆考試中對(duì)“綜合與實(shí)踐”的考查要求，不失為一種有益的嘗試. 在中考數(shù)學(xué)試卷中嘗試對(duì)“綜合與實(shí)踐”試題的命制剛剛起步，有待于進(jìn)一步的研究與實(shí)踐，期待今后會(huì)出現(xiàn)更多這方面的精彩試題.

三、2020年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題對(duì)課堂教學(xué)的啟示

《教育部關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見(jiàn)》中明確指出，引導(dǎo)教師積極探索基于情境、問(wèn)題導(dǎo)向、深度思維、高度參與的教育教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生自主、合作、探究學(xué)習(xí)，充分發(fā)揮考試對(duì)推動(dòng)教育教學(xué)改革、提高學(xué)生綜合素質(zhì)、促進(jìn)學(xué)生全面健康成長(zhǎng)的重要導(dǎo)向作用. 因此，研究中考試卷和試題，不僅是為了學(xué)習(xí)命題技術(shù)、提高命題質(zhì)量，更是為了及時(shí)引導(dǎo)課堂教學(xué)方向，優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，提高教學(xué)效率. 因此，教師在研究中考試題前，首先，需要加強(qiáng)對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》的學(xué)習(xí)，分析考試內(nèi)容的適標(biāo)性與合理性;其次，需要分析試題的科學(xué)性（效度、信度、區(qū)分度、難度）等;最后，要研究中考評(píng)價(jià)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向功能，需要把考試評(píng)價(jià)與教學(xué)緊密結(jié)合，以考試評(píng)價(jià)改革促進(jìn)課堂教學(xué)改革的深入，落實(shí)“四基”，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，將立德樹(shù)人的目標(biāo)落實(shí)到課堂教學(xué)中. 2020年全國(guó)各地區(qū)中考試題啟示教師需要在以下幾個(gè)方面加強(qiáng)課堂教學(xué).

1. 聚焦立德樹(shù)人，強(qiáng)化理性思維培養(yǎng)

理性思維是人類(lèi)思維的高級(jí)形式，而數(shù)學(xué)學(xué)科育人的核心目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的理性思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì). 在初中階段，理性思維的培養(yǎng)需要從培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣開(kāi)始，以知識(shí)學(xué)習(xí)為載體，關(guān)注教學(xué)中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的任務(wù)設(shè)計(jì)及實(shí)施，形成學(xué)習(xí)能力，體現(xiàn)育人價(jià)值.

2. 聚焦應(yīng)用意識(shí)，突出數(shù)學(xué)建模及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累

作為教師，首先要加強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，注重教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)活動(dòng)的可操作性. 在課堂教學(xué)中，教師要給學(xué)生留出充分的思考及動(dòng)手操作的時(shí)間，注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，注重引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察生活，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，不能完全用解題代替數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要積極采用多樣化的教學(xué)手段，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí). 例如，測(cè)量旗桿的高度、遮陽(yáng)棚的設(shè)計(jì)、公式的探究、如何打車(chē)省錢(qián)、垃圾的分類(lèi)、關(guān)注人口問(wèn)題等都是有益的數(shù)學(xué)活動(dòng).

3. 聚焦學(xué)習(xí)能力，重視閱讀、探究和開(kāi)放

教學(xué)的終極目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生具備學(xué)習(xí)的能力，實(shí)現(xiàn)自主學(xué)習(xí). 學(xué)習(xí)能力的首要基礎(chǔ)是學(xué)會(huì)閱讀. 因此，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力至關(guān)重要. 數(shù)學(xué)文化是人類(lèi)文化的一種，它的思想、方法和語(yǔ)言是現(xiàn)代文明的重要組成部分. 作為文化的數(shù)學(xué)，要充分展示數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展及應(yīng)用的過(guò)程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值. 在近幾年的中考數(shù)學(xué)試卷中，以數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)史、媒體材料為閱讀素材命制試題逐漸成為一種趨勢(shì)，這也意味著在課堂教學(xué)及日常學(xué)習(xí)生活中對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的關(guān)注與重視是一種必然. 因此，教師要有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化書(shū)籍的閱讀，并在這個(gè)過(guò)程中讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，提高探究的欲望，具備開(kāi)放的視野，感受數(shù)學(xué)的魅力，逐步形成自主學(xué)習(xí)的能力.

總之，教師應(yīng)以《標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)，高度關(guān)注中考評(píng)價(jià)對(duì)課堂教學(xué)的導(dǎo)向作用，在課堂教學(xué)中力求培養(yǎng)學(xué)生具有一種（應(yīng)用）意識(shí)，具備一種（學(xué)習(xí)）能力，形成一種（數(shù)學(xué)）思維.

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[4]陳莉紅. 聚焦直觀想象核心素養(yǎng)的解題教學(xué)思考：以幾道高考試題為例[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2019（1 / 2）：103-105，109.

收稿日期：2020-10-27

基金項(xiàng)目：國(guó)家新聞出版署出版融合發(fā)展（北師大出版社）重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2020年度重點(diǎn)開(kāi)放課題——基于互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)資源的開(kāi)發(fā)與教學(xué)實(shí)踐（BSDRHK2020-06）.

作者簡(jiǎn)介：陳莉紅（1973— ），女，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)考試評(píng)價(jià)與教學(xué)、教材研究.