關(guān)于“等差數(shù)列的前n項和”教學(xué)素材、設(shè)計案例的思考與研究

祝玲

摘 要：“等差數(shù)列的前n項和”的教學(xué)設(shè)計是一線老師比較喜歡研究的重點課題之一，也是目前賽課較熱門的內(nèi)容之一.再加上目前較多的版本教材，所以有各種各樣素材和教學(xué)設(shè)計案例產(chǎn)生.研究各色素材，發(fā)現(xiàn)它們有繼承性和創(chuàng)新性，揣摩教學(xué)設(shè)計和案例，也精彩紛呈，但如何引導(dǎo)學(xué)生自然想到公式的推導(dǎo)智者見智，仁者見仁，本末筆者給出可供臨時應(yīng)變的多種途經(jīng)教學(xué)設(shè)計.

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列;教學(xué)素材;教學(xué)設(shè)計;案例

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0020-04

一、問題提出

“等差數(shù)列的前n項和”的教學(xué)設(shè)計是一線老師比較喜歡研究的重點課題之一，也是目前賽課較熱門的內(nèi)容之一.因為這節(jié)課中公式推導(dǎo)是最令人心馳神往的，也是各類期刊談?wù)撟疃嗟模褪侨绾我氲剐蛳嗉臃?，推?dǎo)出等差數(shù)列的前n項和公式，可謂仁者見仁，智者見智.筆者一直都在想，目前我們各省市有各種版本教材，對公式的推導(dǎo)設(shè)計有何異同？若沒有教材上提示或?qū)W生事先不預(yù)習(xí)，推導(dǎo)方法學(xué)生會想到嗎？學(xué)生想不到，老師又如何精心設(shè)計教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自然而然探究出公式呢？基于以上思考，筆者查閱教科書和有代表性的期刊，進行研究，寫下拙文.

二、文獻研究

1.各種版本教材對等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)的編寫比較

文[1]利用“2.1數(shù)列”中的情景圖1，為了求鋼管的總數(shù)，如圖2那樣，在這堆鋼管的旁邊倒放著同樣的一堆鋼管，這樣每層的鋼管數(shù)都相等，即4+10=5+9=6+8=…=10+4.由于共有7層，兩堆鋼管的總數(shù)是（4+10）×7，因此所求的鋼管總數(shù)是（4+10）×72=49，再給出等差數(shù)列前n項和的定義是Sn=a1+a2+a3+...+an.

根據(jù)等差數(shù)列an的通項公式，上式可以寫成

Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+...+[a1+（n-1）d] （1）

再把項的次序反過來， Sn又可以寫成

Sn=an+（an-d）+（an-2d）+…+[an-（n-1）d]（2）

把（1），（2）的兩邊分別相加，得

2Sn=（a1+an）+（a1+an）+…+（a1+an）=n（a1+an） （下稱含d的倒序相加法）

由此得到等差數(shù)列an的前n項和的公式：Sn=n（a1+an）2.因為an=a1+（n-1）d ，所以上面的公式又可寫成Sn=na1+n（n-1）d2.接著就是配套例題：如圖3一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支.這個V形架上共放著多少支鉛筆？

文[2]先給出問題：1+2+3+...+100=？ 再詳細給出高斯10歲時如何快速算得答案的過程（配對算法），強調(diào)所求的和是101×1002=5050 .并指出上面的問題，可以看成是求等差數(shù)列：1，2，3，…，n，…的前100項的和.在上面的求解中，我們發(fā)現(xiàn)所求和可用首項、末項及項數(shù)n來表示，且任意的第k項與倒數(shù)第k項的和都等于首項與末項的和，這就啟發(fā)我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項的和，下面和文[1]相同.

文[3]給出高斯的算術(shù)老師提出的問題：1+2+3+…+100=？指出高斯采用下列方法迅速算出正確答案：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050.也即說明了高斯解決了等差數(shù)列：1，2，3，…，n，…前100項的和的問題.人們從這個算法中受到啟發(fā)，用下面的方法計算1，2，3，…，n ，…前n項和：由

可知1+2+3+...+n=（n+1）×n2.

再給出探究：高斯的算法妙在哪里？這種方法能夠推廣到求一般等差數(shù)列的前n項和嗎？自然給出數(shù)列前n項和定義，特別強調(diào)由高斯算法的啟示，用兩種方式表示前n項和Sn，一種是順序的，一種是倒序的，再相加，類似文[1].

文[4]創(chuàng)設(shè)情景：某鋼材庫新到200根相同的圓木料，要把它們堆放成正三角形垛（如圖4），并使剩余的圓木料盡可能的少，那么將剩余多少根圓木料？

設(shè)共擺放了n層，能夠成三角形垛的圓木料數(shù)為Sn，則Sn=1+2+3+…+n.指出這是一個等差數(shù)列的求和，如何計算呢？引出高斯小時候求當(dāng)n=100的算法：有趣的是和文[2]、文[3]“配對求和”不同，這里給出倒序相加的思想方法：

S100=1+2+3+4+...+98+99+100=100+99+98+97+...+3+2+1

這兩個等式上、下對應(yīng)項的和均為101，所以

2S100=101+101+101+...+101+101+101=101×100=10100，最后有Sn=101002=5050

用“你能從這個問題的解決過程中悟出求一般等差數(shù)列前n項和的方法嗎？”過渡到抽象概括階段，下同文[1]，但在旁白留有兩個問題，用來提煉數(shù)學(xué)思想方法.推導(dǎo)出公式后，給出它的幾何意義如圖5，在旁注中再次提及：這種思想方法，用圖形來說明就更清楚，在圖上拼一個倒過來的圖形，就成為各行有相同個數(shù)的平行四邊形，計算這個平行四邊形的個數(shù)就很容易了，如圖6.

文[5]和文[1]從情景圖引入到推出求和公式都一樣，只是將鋼管由原來7層改為6層，圖設(shè)計得更精美，如圖7.另外筆者也發(fā)現(xiàn)，文[5]將文[4]中的情景題放置在第2課時的練習(xí)題4中.

文[1]和文[5]由情景設(shè)置很容易和“倒序相加法”掛鉤，不拖泥帶水，單刀直入，學(xué)生看一眼就明白，無法進行探究性學(xué)習(xí).盡管文[1]、[2]、[3]是人民教育出版社編寫的，在后兩文中沒有繼承前者的情景創(chuàng)設(shè)，筆者估計由于時代發(fā)展，當(dāng)今小學(xué)生和初中生都能知道高斯速算的故事，所以由高斯速算創(chuàng)設(shè)情景是可行的.但是“高斯的算法與一般等差數(shù)列求和還有一定距離，因此教科書接下來設(shè)置了求1+2+3+……+n的問題，目的是引出求等差數(shù)列前n項和的一般方法：‘倒序相加法’.這樣，很自然地就過渡到一般等差數(shù)列求和問題”.

另外，我們無法考證將近250年前高斯到底用何算法，所以文[4]在不損“數(shù)學(xué)王子”形象情況下，揣測他用“倒序相加法”，實屬高明，這樣就為下面推導(dǎo)作好做好鋪墊，而不使人誤入歧途.另外五個版本教材都沒有利用等差數(shù)列性質(zhì)，采用如下寫法：

Sn=a1+a2+a3+...+an-2+an-1+an（1）

Sn=an+an-1+an-2+...+a3+a2+a1（2）

兩式相加得2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+...+（an+a1）=n（a1+an），即Sn=n（a1+an）2

（下稱不含d的倒序相加法）.

2.各種期刊對等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)教學(xué)設(shè)計案例的比較

由于教材不同，加上每個老師對教材理解不同，學(xué)生學(xué)習(xí)程度不同，產(chǎn)生許多精彩紛呈的教學(xué)設(shè)計.

文[7]創(chuàng)設(shè)生活中的一個問題，引入新課：學(xué)校為美化校園，決定在道路旁擺放盆景.從校門口取出花盆到距校門1m處開始擺放，每隔1m擺放一盆，學(xué)生小王每次拿2盆，若要完成擺放30盆的任務(wù)，最后返回校門處，問小王走過的總路程是多少？

問題轉(zhuǎn)化求4+8+12 +…+60 =？出示課題，給出前n項和Sn的定義，重新叫學(xué)生計算：1+2+3+4 +…+100 =？（高斯10歲時的算法）.

老師又給出變式：1+2+3+…+99 =？

方法1 原式=（1+2+3+4+…+98+99+100） - 100.

方法2 原式=（1+2+3+4+…+98）+99.

方法3 原式= 0+1+2+3 +…+98+99

方法4 原式= （1+2+3 +…+49+51 +…+98+99）+50

方法5 原式= （1+2+3 +…+97+98+99+99+98+97 +…+3+2 +1）÷2

T：那么，1+2+3 +…+n=？緊接著教師追問和“啟發(fā)”，好似硬拉學(xué)生用“倒序相加法”推導(dǎo)出：Sn=n（n+1）2，仿照此法，用不含d的倒序相加法推導(dǎo)出等差數(shù)列an的前n項和公式，老師從另一個角度再次推導(dǎo)：Sn=a1+（a1+d）+…+[a1+（n-1）d]=na1+[1+2+…+（n-1）]d=na1+n（n-1）d2 ，這樣將“1+2+3 +…+n=？”作用發(fā)揮出來了.例題中用《張丘建算經(jīng)》中的“女子織布”問題用以變換問題情境，靈活運用公式.

思考 給出的情景題貼近學(xué)生的生活，只是又要用高斯速算問題，多花時間，又顯得不緊湊.老師給出的變式非常好，產(chǎn)生后續(xù)五種方法，其中法五就是“倒序相加法”的雛形，再計算1+2+3 +…+n=？，自然就會方法紛呈，討論奇偶性再配對或倒序相加法，無論怎樣都能推導(dǎo)出公式，如果學(xué)生硬要走Sn=a1+（a1+d）+…+[a1+（n-1）d]=na1+[1+2+…+（n-1）]d=na1+n（n-1）d2這條路，老師將學(xué)生引導(dǎo)到“倒序相加法”就需要智慧了，可惜文中沒有體現(xiàn).

文[8]首先設(shè)計問題，創(chuàng)設(shè)情境.教師給出高斯小時候算過的問題1：求 1+2+3 +…+100=？學(xué)生中出現(xiàn)“配對求和”和“倒序相加法”.

問題2：如圖8，是一垛鋼管，最下面一層放了102 根，最上面一層放了3根，往上每一層都比它下面一層少放一根.這垛鋼管共放了多少根鋼管？

不一會兒，就有學(xué)生舉手回答：由等差數(shù)列的通項公式易知，這垛鋼管共100層，由圖8聯(lián)想到梯形的面積公式的推導(dǎo)方法，用類似的方法去想.如圖9所示，可以看出圖2每層均有3+102根，又知共 100層，故共有（3+102）×100 根.從而得到（圖8中）鋼管的根數(shù)為：（3+102）×1002=5250.接著教師拋出開放性問題：由問題1及問題2，同學(xué)們能想到些什么問題嗎？學(xué)生提出求 1+2+3 +…+n=？并對結(jié)果和計算方法進行探討，得到求解此題的“倒序相加法”，根據(jù)問題1和2的結(jié)果，最后有學(xué)生猜想出等差數(shù)列an的前n項和的計算公式：Sn=n（a1+an）2.老師再叫學(xué)生探索，證明猜想，用歸納推理的有之，利用“1+2+3 +…+n =”結(jié)果的有之，用倒序相加法的有之.

思考 文中的兩個問題，起了“雙保險”的作用，若學(xué)生由問題1想不到倒序相加法，則問題2可以幫助學(xué)生想到;若第1問就能想到倒序相加法，則第二問題就是對倒序相加法的幾何解釋.“配對求和”是深入人心的方法.

文[9]問題1：用文[1]例題，只是將“120”改為“100”，進而引出求數(shù)列：1，2，3，4…100，…的前100項和，從而給出數(shù)列an前n項和的定義，點明主旨.師生共同探討S100=1+2+3 +…+100=？師生達成一致，用“配對分組”手段解決問題1.隨后給出點睛之筆：高斯算法的高明之處在于將不同數(shù)的求和問題轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和問題.

問題2：求Sn=1+2+3 +…+n=？（n∈N*）學(xué)生自主探究，給出配對求和（對n分奇偶討論）和倒序相加法;最后再研究問題3：求等差數(shù)列an前n項和：

Sn=a1+a2+a3+…+an，學(xué)生想到不含d的倒序相加法求和得Sn=n（a1+an）2，和用“1+2+3 +…+n=？”結(jié)論求和得Sn=na1+n（n-1）d2.

通過例1求梯形筆架中筆的支數(shù)，對倒序相加法作出幾何解釋，如下圖11-13.

思考 求V形架里鉛筆支數(shù)這一生活問題既經(jīng)濟又實惠，取材學(xué)生身邊問題，又能顧及到高斯的算法，還能為學(xué)生推導(dǎo)第二個求和公式服務(wù)，一箭三雕.難能可貴的是指明求和的本質(zhì)就是“將不同數(shù)的求和問題轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和問題”，這是本節(jié)課精髓所在，也是對倒序相加法最合理的解釋.在例題中沒有進行操練，而是通過問題再深入理解公式，領(lǐng)會這兩個公式的內(nèi)在聯(lián)系.

三、嘗試設(shè)計

圖1

“操千曲而后曉聲，觀千劍而后識器”，筆者在學(xué)習(xí)了諸多優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計后，博采眾長，從順應(yīng)學(xué)生思維自然性，符合學(xué)生認知規(guī)律出發(fā)，給出如下教學(xué)設(shè)計思路的框圖1所示.

教材呈現(xiàn)知識點限于編排要求具有經(jīng)典性、綱要性、簡潔性，不可能像教輔用書上洋洋灑灑詳細闡述，關(guān)鍵是教師在備課時要了解學(xué)生受教育的背景，近期上課內(nèi)容對該堂課的引領(lǐng)作用.此外不光有自己的想法，還要想學(xué)生所想，順著學(xué)生思維流程進行教學(xué)，這樣既不動聲色傳授了核心知識，又潛移默化培養(yǎng)學(xué)生的研究能力.

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[責(zé)任編輯：李 璟]