淺談幾種圓錐曲線離心率的求法

吳明志

摘要：近些年高考題和各地模擬題中有關(guān)圓錐曲線問題的一個(gè)高頻考點(diǎn)就是求離心率，本人嘗試從近些年的考題中找出一些此類問題的常用的幾種方法，就是利用各種比如幾何性質(zhì)、圖形特點(diǎn)等等的條件通過轉(zhuǎn)化成有關(guān)離心率的方程式或者不等式來求圓錐曲線的離心率或離心率的取值范圍，以期能在解決問題時(shí)有所幫助。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;離心率;方程式;不等式

在圓錐曲線的題型中求離心率的題目是近些年全國卷新高考中經(jīng)?？疾榈念}型，其對于新高考試卷中的重要性不言而喻，同時(shí)也是高考中的考查核心素養(yǎng)的一個(gè)關(guān)鍵問題和轉(zhuǎn)化、函數(shù)、方程等數(shù)學(xué)思想，針對這類問題的求解思路是由條件求出方程和不等式，一般是兩種情況：1、是由條件來求出離心率;二是由條件來求離心率取值范圍的問題。因?yàn)樗玫綀A錐曲線中很多的條件，方程不等式等問題等等，于是就產(chǎn)生了在解決問題中的情況比較復(fù)雜，在求解過程中無從下手。以下是從這些年的一部份高考題與各地的質(zhì)檢題的探究、解答，探求對解決問題比較有用的一些方法和策略，期望可以拋磚引玉，撥云見日。

一、根據(jù)條件先求出a，c或構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a、b、c、e的齊次方程式求e，利用e=求解。其關(guān)鍵是找出a，c的兩個(gè)關(guān)系式從而求e.這類問題的難點(diǎn)在于找到相關(guān)的關(guān)系變量或幾何性質(zhì)從而建立其關(guān)系式。

例1.（2017全國）已知雙曲線C：的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn).若∠MAN=60°，則C的離心率為_______________.

這道題目可以作再用余弦就可以列出方程，利用其關(guān)系列出方程從而求出一個(gè)關(guān)于e的方程。

例2.如圖，用與底面成45°角的平面截圓柱得一截口曲線，即橢圓，則該橢圓的離心率為________.分析：由圓柱的截面與底面成45°角的幾何性質(zhì)，可得.

二、有關(guān)圓錐曲線的離心率取值范圍的題型

此種題型為近些高考的的難點(diǎn)，它的核心是怎么根據(jù)題目所給的條件列出方程或不等式的關(guān)系式來求出e的取值范圍.經(jīng)常嘗試由以下兩種方法進(jìn)行探究：1、考慮從圓錐曲線的幾何性質(zhì)和它的相關(guān)量比如夾角、邊長的大小等;2、是通過圓錐曲線本身的條件以及幾何性質(zhì)等列出不等式.這種方法一般從以下幾個(gè)方面考慮問題：

（1）由已知條件直接找出一個(gè)不等式來求e

例3.已知F1，F(xiàn)2為橢圓=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，B為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，，則橢圓的離心率的取值范圍為 ? ? ? ? ? ? 分析：根據(jù)條件可以得到b2≥2c2，就可以求解.

（2）利用條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)來求離心率取值范圍

例4.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為 ? ? ? ? ? ? ? ?分析：由橢圓條件可得二次函數(shù)，-2≤x≤2，就可以求出取得最大值6。

（3）利用三角形三邊關(guān)系

例5.（福建）雙曲線 ?的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 分析：由條件可以求出就可以解決。這道題目是由三角形兩邊和大于第三邊和兩邊差小于第三邊的性質(zhì)來解決此類問題。

（4）由一些特殊的不等式性質(zhì)來列出不等式解決問題

例6.（2021·東北三校第一次聯(lián)考）已知橢圓（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（c，0），上頂點(diǎn)為A（0，b），直線上存在一點(diǎn)P滿足，則橢圓的離心率的取值范圍為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分析：

本題根據(jù)橢圓的性質(zhì)可以求得，從而就可以求出e的取值范圍;如果我們考慮，通過設(shè)橢圓上的點(diǎn)，注意到橢圓本身的范圍，也可以求出離心率e的范圍。這類問題些也有通過如果我們通過橢圓或雙曲線上的點(diǎn)，注意到本身的范圍，從而求出離心率e的范圍.

（5）利用三角函數(shù)的特點(diǎn)來求解

例7.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足，則雙曲線離心率的取值范圍為

這個(gè)問題主要是化歸的數(shù)學(xué)思想，針對題目的條件可設(shè)，由余弦定理可得：找到相關(guān)系量代入就可解決問題.

近些年的高考題和各地的有關(guān)圓錐曲線離心率的模擬題中，對于這種問題的處理，很多學(xué)生會(huì)覺得無從下手。本文嘗試探索出幾種解決這類問題的一些思路，期望大家能在解決此類問題的過程有一些幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]聞杰.《神奇的圓錐曲線與解題秘訣》是年浙江大學(xué)出版社出版.2013

[2]張楊文.《高考數(shù)學(xué)你真的掌握了嗎？圓錐曲線》清華大學(xué)出版社.2014