2020年中考“事件的概率”專題解題分析

黃濤 湯曙光 何超林

摘? 要：對2020年全國各地區(qū)中考試卷中的“事件的概率”試題進行基本統(tǒng)計分析，得到了關(guān)于考點、試題情境等統(tǒng)計分析結(jié)果，同時對試題進行解法分析與思路總結(jié)，并以此對2021年的專題復(fù)習提出相關(guān)建議.

關(guān)鍵詞：事件的概率;數(shù)據(jù)分析;解題思路;解法賞析;復(fù)習建議

概率與統(tǒng)計的相關(guān)內(nèi)容在初中數(shù)學課程中越來越受到重視，同時也是高中數(shù)學課程體系中的重要組成部分. 統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析，概率的核心是隨機事件，其知識點覆蓋范圍較廣，大多數(shù)具有實用性的特點，與實際生活問題緊密結(jié)合，注重對基本概念和統(tǒng)計量計算的實踐應(yīng)用，從而為科學決策提供依據(jù)，對于培養(yǎng)學生的生活判斷意識有非常大的作用.

“事件的概率”是中考的必考內(nèi)容之一，與“數(shù)與代數(shù)”“圖形和幾何”相比，概率的內(nèi)容在中考中所占分值不多，考查難度相對較低.

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）的要求，“事件的概率”的課程內(nèi)容為：（1）能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率;（2）知道通過大量的重復(fù)試驗，可以用頻率來估計概率. 從最新的考評趨勢來看，試題側(cè)重考查學生運用統(tǒng)計與概率知識分析和解決實際問題的能力，主要從基礎(chǔ)知識出發(fā)，考查學生的基礎(chǔ)知識應(yīng)用能力及推理能力，試題的命制也越來越靈活和綜合，在試題情境設(shè)置方面?zhèn)戎貢r事情境與游戲（比賽）情境，在考點方面?zhèn)戎赜卯嫎錉顖D法或列表法分析、計算事件的概率，用樣本估計總體的統(tǒng)計思想的應(yīng)用，以及概率公式的理解與應(yīng)用等.

一、基本情況分析

基于《標準》，本文選取了2020年全國各地區(qū)43份中考試卷中的46道“事件的概率”試題為研究對象，采用比較分析法和定量分析法，從知識點與題型、情境設(shè)置及其主要解法三個視角對2020年全國各地區(qū)中考中的“事件的概率”試題進行多角度分析，以揭示試題的分布規(guī)律和特點.

1. 知識點與題型分析

43份試卷的相關(guān)基本情況如表1所示. 其中，若該試題包含多個知識點，則在不同的知識點間進行重復(fù)計算.

從表1中可以得到以下的結(jié)果.

從試題類型上看，考查的題型主要為解答題，所占比例接近一半，填空題次之. 在所統(tǒng)計的試卷當中，廣東深圳卷、廣西南寧卷、湖南岳陽卷中“事件的概率”相關(guān)內(nèi)容出現(xiàn)了兩次考查，其他皆為每份試卷考查1道試題，說明各份試卷對于“事件的概率”的考查為必考，但所占比例不大.

從考查的知識點類型來看，大部分試題注重利用列表法或畫樹狀圖法列出所有事件的可能性，以及求對應(yīng)特定事件的概率，占到了48%，次之為概率計算公式（22%），符合《標準》的內(nèi)容要求，同時有14%的試題考查了概率公式的應(yīng)用. 在幾何概型、游戲的公平性、概率的意義方面，都只有1道試題對其進行考查.

從考查的難度來看，所有試題的平均難度為0.60，其中占據(jù)主要地位的列表法或畫樹狀圖法求概率的難度為0.62，略低于平均難度. 另外，考查難度最高的為游戲的公平性，次之為隨機事件的理解及其應(yīng)用，體現(xiàn)了學生對事件的概率背后的實際意義缺乏認知和理解.

2. 情境設(shè)置、主要解法情況分析

本部分內(nèi)容從情境設(shè)置及主要解法角度進行分析. 其中，情境分為時事情境（國家政策、國家大事等）、游戲（比賽）情境、知識點情境（教材知識點）、普通生活情境（旅游景點選擇、工作安排等）四大類，具體情況如表2和表3所示.

由表2和表3可以得到以下的結(jié)果.

從情境的設(shè)置方面來看，主要集中在游戲（比賽）情境及時事情境，占到全部試題的69%，知識點情境設(shè)置最少.

從主要解法來看，各地區(qū)將列表法或畫樹狀圖法求隨機事件的概率作為主要解法考查，但多數(shù)地區(qū)將常規(guī)的列舉法作為第一選擇.

二、典型試題分析

2020年全國各地區(qū)中考對“事件的概率”的考查總體上延續(xù)了近幾年的命題特點，即體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性和綜合性，注重對隨機事件的理解的考查，重視對概率意義的理解. 在試題的考查上，設(shè)置了不同的情境作為載體，與生活聯(lián)系緊密、情境新穎、立意創(chuàng)新是此類試題的亮點.

例1 （江蘇·揚州卷）防疫期間，全市所有學校都嚴格落實測體溫進校園的防控要求. 某校開設(shè)了[A，][B，C]三個測溫通道，某天早晨，該校小明和小麗兩位同學將隨機通過測溫通道進入校園.

（1）小明從[A]測溫通道通過的概率是 ? ? ?;

（2）利用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小麗從同一個測溫通道通過的概率.

例2 （河北卷）如圖1，甲、乙兩人（看成點）分別在數(shù)軸-3和5的位置上，沿數(shù)軸做移動游戲. 每次移動游戲規(guī)則：裁判先捂住一枚硬幣，再讓兩人猜向上一面是正是反，而后根據(jù)所猜結(jié)果進行移動.

① 若都對或都錯，則甲向東移動1個單位，同時乙向西移動1個單位;

② 若甲對乙錯，則甲向東移動4個單位，同時乙向東移動2個單位;

③ 若甲錯乙對，則甲向西移動2個單位，同時乙向西移動4個單位.

（1）經(jīng)過第一次移動游戲，求甲的位置停留在正半軸上的概率P;

（2）從圖1的位置開始，若完成了10次移動游戲，發(fā)現(xiàn)甲、乙每次所猜結(jié)果均為一對一錯. 設(shè)乙猜對n次，且他最終停留的位置對應(yīng)的數(shù)為m，試用含n的代數(shù)式表示m，并求該位置距離原點O最近時n的值;

（3）從圖1的位置開始，若進行了k次移動游戲后，甲與乙的位置相距2個單位，直接寫出k的值.

例1創(chuàng)設(shè)了防疫的時事情境，緊貼生活實際;例2創(chuàng)設(shè)了游戲情境，鏈接了數(shù)軸上的點的運動知識點，立意新穎.

1.“事件的概率”問題的求解思路分析

由于“事件的概率”試題具有典型的實際意義，與實際問題聯(lián)系緊密，可以通過創(chuàng)設(shè)不同的情境進行事件概率計算的考查. 因此，“事件的概率”問題可以歸結(jié)為利用概率知識建立對應(yīng)的概率計算模型，并進行實際問題的解決過程，類比用方程進行現(xiàn)實世界的數(shù)學模型的描述，事件的概率是用概率的計算方法對實際情境的一種數(shù)學描述與分析.

利用事件的概率解決實際情境問題，應(yīng)該認真分析和理解具體的實際情境，關(guān)鍵是要找出與之對應(yīng)的概率模型. 目前在初中階段考查的概率模型大致可以分為單次試驗古典概型、有放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ汀o放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?、幾何概型四大類，由此將實際問題轉(zhuǎn)化為概率計算的數(shù)學問題，然后通過列舉法或列表法、畫樹狀圖法，以及幾何比例的方法進行概率計算獲得結(jié)論，最后利用數(shù)學結(jié)論分析或回答實際問題，這是一個“實際問題—事件的概率（模型）問題—實際問題”的過程. 學生通過感受和體驗轉(zhuǎn)化過程，不僅可以加強對基礎(chǔ)知識與基本技能的運用能力，而且可以進一步提升對基本數(shù)學活動經(jīng)驗的積累與理解，從而培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析與解決問題的能力，進而達到綜合素質(zhì)的提高.

根據(jù)以上的解題分析，我們可以建立利用概率知識解決實際問題情境的思路，如圖2所示.

進一步，我們可以通過以下的典型試題進行以上思路的具體分析，以期更好地剖析“事件的概率”試題的求解過程.

（1）對“實際問題情境”的理解和分析.

前述例1為當下的熱點時事情境，例2創(chuàng)設(shè)了動點在數(shù)軸上移動的游戲情境.

例3 （湖南·岳陽卷）在-3，-2，1，2，3五個數(shù)中隨機選取一個數(shù)作為二次函數(shù)[y=ax2+4x-2]中[a]的值，則該二次函數(shù)圖象開口向上的概率是 ? ? .

例4 （云南卷）甲、乙兩個家庭來到以“生態(tài)資源，綠色旅游”為產(chǎn)業(yè)的美麗云南，各自隨機選擇到大理、麗江、西雙版納三個城市中的一個城市旅游. 假設(shè)這兩個家庭選擇到哪個城市旅游不受任何因素影響，上述三個城市中的每一個被選到的可能性相同，甲、乙兩個家庭選擇到上述三個城市中的同一個城市旅游的概率為P.

（1）直接寫出甲家庭選擇到大理旅游的概率;

（2）用列表法或樹狀圖法（樹狀圖也稱樹形圖）中的一種方法，求P的值.

例3以二次函數(shù)的開口方向作為考查載體，例4選擇了普通的生活情境作為試題載體. 則例1 ～ 例4的情境理解可以歸結(jié)如表4所示.

[題號 情境類型 情境理解 例1 時事情境 ? ? 兩位同學通過A，B，C三個不同的測溫通道所產(chǎn)生的隨機事件計算 例2 游戲情境 ? ? 甲、乙兩人根據(jù)兩種猜測結(jié)果按照游戲規(guī)則進行四種不同方式移動所產(chǎn)生的隨機事件計算 例3 知識點情境 ? ? 根據(jù)a的正負性從五個數(shù)中選取正數(shù)所產(chǎn)生的隨機事件計算 例4 普通生活情境 ? ? 甲、乙兩個家庭對三個旅游城市分別進行選擇所產(chǎn)生的隨機事件計算 ][? ? 表4]

2020年全國各地區(qū)中考“事件的概率”試題以不同情境作為載體，聯(lián)系實際及其他知識點，進行了不同知識點間的交會，豐富了考點，更加強調(diào)了知識間的聯(lián)系及綜合應(yīng)用.

對于試題情境設(shè)置的理解，需要仔細審讀試題，提取其中的情境信息，化繁為簡，必要的時候需要聯(lián)系生活實際輔助理解.

（2）對實際問題情境進行抽象概括，得到對應(yīng)的概率模型.

對實際問題情境進行抽象概括，進而得到對應(yīng)的概率模型，不僅需要從題干的實際問題情境出發(fā)，而且需要充分考慮試題所設(shè)置的概率問題，兩者相結(jié)合才能更好地確定所對應(yīng)的概率模型.

例如，例2的游戲情境，從題干來看，“甲、乙兩人根據(jù)兩種猜測結(jié)果按照游戲規(guī)則進行三種不同方式移動所產(chǎn)生的隨機事件計算”中的甲、乙兩人所產(chǎn)生猜測結(jié)果應(yīng)該為單次試驗古典概型（甲對乙對、甲對乙錯、甲錯乙對、甲錯乙錯），結(jié)合對應(yīng)的問題“經(jīng)過第一次移動游戲，求甲的位置停留在正半軸上的概率P”需要對甲、乙的猜測結(jié)果進行考慮，進一步可以確定屬于單次試驗古典概型.

又如，下面的例5從題干分析甲、乙兩人同時選擇景點整體來看可以歸入到有放回重復(fù)試驗類型，從問題“求甲選擇的2個景點是A，B的概率”，可以對景點進行分步選擇，故可以確定為無放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ停孕枰獙︻}干情境及問題共同進行分析才能準確得到對應(yīng)的概率模型. 因此，對情境的理解及對概率模型的確定是解決問題的第一個關(guān)鍵點及難點，同時也容易因為未能結(jié)合問題進行概率模型的確定而出錯，故亦是此類題目的一個易錯點.

例5 （江蘇·南京卷）甲、乙兩人分別從[A，B，][C]這3個景點中隨機選擇2個景點游覽.

（1）求甲選擇的2個景點是[A，B]的概率;

（2）甲、乙兩人選擇的2個景點恰好相同的概率是 ? ? .

根據(jù)以上分析，我們對例1 ～ 例4結(jié)合對應(yīng)的概率問題進行概率模型的確定，如表5所示.

除了以上兩種概率模型，同時還有以下的幾何概型及不放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?

例6 （山西卷）圖3是一張矩形紙板，順次連接各邊中點得到菱形，再順次連接菱形各邊中點得到一個小矩形. 將一個飛鏢隨機投擲到大矩形紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是（? ? ）.

（A）[13]? ?（B）[14]? ?（C）[16]? ?（D）[18]

例7 （寧夏卷）有三張大小、形狀完全相同的卡片. 卡片上分別寫有數(shù)字4，5，6，從這三張卡片中隨機先后不放回地抽取兩張，則兩次抽出數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是 ? ? ? .

概括抽象出試題情境的概率模型是建立在對情境的充分理解下的，并且需要結(jié)合具體的問題才能準確完成，這是解決此類問題的一個關(guān)鍵點，同時也是一個易錯點，需要學生對各種概率模型有充分的理解和判斷能力，這需要教師在平時加強對題干概率模型的識別訓練.

（3）事件概率的計算.

對實際情境進行概率模型的確定，對后續(xù)選用解決問題的方法具有很好地指引作用. 由于《標準》的要求，很多概率問題都會在題干中進行求解方法的設(shè)定，但在對應(yīng)的方法下，確定概率模型可以為具體的設(shè)定方法提供更有效、更清晰的幫助. 根據(jù)前文所確定的概率模型，可以選擇如表6所示的方法.

選擇了合適的事件的概率計算方法后，如何準確描述出所有隨機事件成為了試題解決的另外一個關(guān)鍵，如何做到對所有隨機事件統(tǒng)計的“不重不漏”將是學生必須重點關(guān)注的問題.

例如，例4第（1）小題為古典概型，甲可以選擇的全部可能性為大理、麗江、西雙版納，則符合要求的只有大理，故概率為[13;] 又如，例5第（1）小題中甲從三個景點A，B，C中選擇兩個景點的全部隨機事件為AB，AC，BC，符合條件的只有AB，則概率為[13.] 以上兩個例子比較簡單，通過簡單的邏輯就能統(tǒng)計出所有的隨機事件.

利用列表法或畫樹狀圖法是課程要求當中描述試驗的所有可能結(jié)果的重要方法，但在不同的概率模型中有不同的注意點.

例如，例4當中的有放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?，記到大理、麗江、西雙版納三個城市旅游分別為A，B，C，如表7所示.

又如，求解例7時，使用列表法統(tǒng)計試驗的所有可能結(jié)果如表8所示. 由于例7屬于不放回重復(fù)試驗，故需要舍棄部分不符合要求的隨機事件，這是一個易錯點，在確定了概率的模型的情況下，就比較容易知道需要去除不符合要求的隨機事件.

再如，下述例9第（4）小題可以確定為不放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?，但需要對統(tǒng)計對象進行區(qū)分，才能更好地對試驗的所有可能結(jié)果進行描述，如可以將問題中的“2位男性，2位女性”記為“男1，男2，女1，女2”，進而通過畫樹狀圖法進行求解.

在確定了試題情境與問題求解的概率模型后，對試驗的所有可能結(jié)果進行準確描述是求解此類試題的另外一個關(guān)鍵點. 單次試驗古典概型只需要對對象按照一定的規(guī)律進行普通列舉就能做到不重不漏，幾何概型亦是如此，隨機事件的描述可以轉(zhuǎn)為對線段程度或幾何圖形的面積的幾何刻畫. 但對于不放回（重復(fù)）試驗?zāi)Ｐ图胺呕刂貜?fù)試驗?zāi)Ｐ鸵M行區(qū)分，關(guān)注是否需要去除不符合要求的部分隨機事件，對象有混淆的時候需要對對象進行編號從而加以區(qū)分，這兩點都是對試驗的所有可能結(jié)果進行準確描述時的易錯點.

（4）實際問題的解答.

對于大部分的“事件的概率”試題，只需要進行概率的計算，但也有部分試題需要利用所計算的概率進行對實際問題進一步的判斷及決策，從而為實際問題的解決提供科學有效的決策建議.

例如，下述例8第（4）小題需要對摸出的兩個球上的數(shù)字和為奇數(shù)的概率進行計算，并以該概率對游戲的公平性做出判斷.

例8 （四川·德陽卷）為了加強學生的垃圾分類意識，某校對學生進行了一次系統(tǒng)全面的垃圾分類宣傳，為了解這次宣傳的效果，從全校學生中隨機抽取部分學生進行了一次測試，測試結(jié)果共分為四個等級：A. 優(yōu)秀;B. 良好;C. 及格;D. 不及格. 根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，繪制了如表9所示的不完整的統(tǒng)計表.

試結(jié)合統(tǒng)計表，回答下列問題.

（1）（2）（3）略.

（4）為了進一步在學生中普及垃圾分類知識，學校準備再開展一次關(guān)于垃圾分類的知識競賽，要求每班派一人參加. 某班要從在這次測試成績?yōu)閮?yōu)秀的小明和小亮中選一人參加. 班長設(shè)計了如下游戲來確定人選，具體規(guī)則是：把四個完全相同的乒乓球分別標上數(shù)字1，2，3，4，然后放到一個不透明的袋中充分搖勻，兩人同時從袋中各摸出一個球. 若摸出的兩個球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則小明參加，否則小亮參加. 試用樹狀圖或列表法說明這個游戲規(guī)則是否公平.

對于第（4）小題的實際問題的解答，關(guān)鍵在于對事件的概率的計算，概率計算的準確與否直接決定了問題的解決. 此類問題的設(shè)置具有很強的現(xiàn)實意義，對實踐有較強的指導意義，這是此類試題的一個亮點，也充分體現(xiàn)了其實用性，培養(yǎng)了學生對基本概念和統(tǒng)計量計算的實踐應(yīng)用能力，進而積累為科學決策提供依據(jù)的基本活動經(jīng)驗.

2.“事件的概率”典型試題解法賞析

上述部分已經(jīng)對“事件的概率”問題進行了整體的求解思路分析，明確了解答該類問題的主要步驟，并且對其中的關(guān)鍵點和易錯點進行了舉例說明. 下面將以兩道典型試題為例，對“事件的概率”問題進行解答和評析.

例9 （甘肅·天水卷）為了解天水市民對全市創(chuàng)建全國文明城市工作的滿意程度，某中學數(shù)學興趣小組在某個小區(qū)內(nèi)進行了調(diào)查統(tǒng)計. 將調(diào)查結(jié)果分為不滿意、一般、滿意，非常滿意四類，回收、整理好全部問卷后，得到不完整的統(tǒng)計圖，如圖4和圖5所示.

試結(jié)合圖中的信息，解決下列問題.

（1）此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為 ? ? ?;

（2）補全條形統(tǒng)計圖;

（3）扇形統(tǒng)計圖中“滿意”部分圓心角的度數(shù)為? ? ? ? ? ? ;

（4）該興趣小組準備從調(diào)查結(jié)果為“不滿意”的4位市民中隨機選擇2位進行回訪，已知這4位市民中有2位男性，2位女性. 試用畫樹狀圖的方法求出選擇回訪的市民為“一男一女”的概率.

考點：扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，列表法與畫樹狀圖法.

專題：概率及其應(yīng)用，運算能力.

分析：（1）由非常滿意的有18人，占總?cè)藬?shù)的36%，即可求得此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù);

（2）用總?cè)藬?shù)減去其他滿意程度的人數(shù)，求出“滿意”的人數(shù)，從而補全條形統(tǒng)計圖;

（3）用360°乘以滿意的人數(shù)所占的百分比即可得出答案;

（4）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選擇回訪市民為“一男一女”的情況，再利用概率公式即可求得答案.

解：（1）因為非常滿意的有18人，占36%，

所以接受調(diào)查的人數(shù)為18 ÷ 36% = 50（人）.

（2）此次調(diào)查中結(jié)果為滿意的人數(shù)為50 - 4 - 8 - 18 = 20（人）.

補全條形統(tǒng)計圖如圖6所示.

（3）扇形統(tǒng)計圖中“滿意”部分的圓心角為[360°×][2050=144°.]

（4）將2位男性記為男1，男2，2位女性記為女1，女2. 畫樹狀圖如圖7所示.

因為共有12種等可能的結(jié)果，選擇回訪市民為“一男一女”的有8種情況，

所以選擇回訪的市民為“一男一女”的概率為[812=23.]

此題的前三道小題考查的是統(tǒng)計中的條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的知識，不做過多的點評. 結(jié)合我們之前確立的解決“事件的概率”問題的基本思路和步驟，重點來關(guān)注下第（4）小題的解答. 從以下三個方面進行分析.

第1方面：“事件的概率”問題解決的基本思路.

首先，試題的背景情境是針對熱點問題創(chuàng)建全國文明城市的回訪調(diào)查，從“不滿意”的4位市民中（2男2女）隨機選擇2位進行回訪，求2位回訪市民是“一男一女”的概率. 根據(jù)對問題情境的理解和分析，不難得出該問題為不放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ? 確定為不放回重復(fù)試驗后，根據(jù)題干的要求，選用畫樹狀圖法分兩步將該試驗的所有等可能結(jié)果不重不漏地列出來，再找出符合“一男一女”事件的可能結(jié)果，最后利用概率公式即可求得答案.

第2方面：“問題的關(guān)鍵點和易錯點.

對于“事件的概率”問題，一定要弄清是有放回的摸出或抽取還是無放回的摸出或抽取，強調(diào)“放回”試驗中所選取的元素可以重復(fù)出現(xiàn)，而“不放回”試驗中被選取的元素不可以重復(fù)出現(xiàn)，從而避免在列舉時出現(xiàn)遺漏或重復(fù). 此題的情境，關(guān)鍵是要確定其為不放回重復(fù)試驗，進而舍去一些不符合該試驗的結(jié)果，準確地列出該試驗的所有等可能結(jié)果. 因此，將概率模型當成是有放回重復(fù)試驗是此題的易錯點之一，另外一個易錯點在于用畫樹狀圖法列舉所有可能結(jié)果時，沒有對2位男性和2位女性進行編號，從而出現(xiàn)混亂，不能準確刻畫該試驗的所有等可能結(jié)果.

第3方面：“解題反思.

當學生對“事件的概率”問題情境足夠熟悉時，更容易剔除試題背景中的干擾因素，明確其屬于哪種概率模型（放回或不放回），從而在列舉試驗的所有可能結(jié)果時不會出現(xiàn)偏差. 故學生要多關(guān)注社會熱點問題，增加對“生活中的數(shù)學”的理解和認識，重視數(shù)學應(yīng)用意識.

此題明確要求用畫樹狀圖的方法求概率，從《標準》的要求來看，學生必須掌握列表法和樹狀圖法. 該題若是用列表法，由于是不放回試驗，故表格對角線的位置是沒有內(nèi)容的. 學生還要特別注意一點，列舉所有可能的結(jié)果并不是只有列表法或畫樹狀圖法兩種方法，還有直接列舉法. 例如，此題可以直接列舉所有可能結(jié)果：男1男2，男1女1，男1女2，男2女1，男2女2，女1女2，共有六種可能，而符合“一男一女”事件的有四種可能，然后用概率公式也可以求得答案. 直接列舉法在某些利用列表法或畫樹狀圖法不太好呈現(xiàn)所有可能的結(jié)果時非常有效. 但是由于這種方法用得較少，所以學生在平時的學習過程中要加強對一些基本方法的解法歸納和總結(jié).

例10 （內(nèi)蒙古·呼和浩特卷）公司以3元 / kg的成本價購進10 000 kg柑橘，并希望出售這些柑橘能夠獲得12 000元利潤，在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時，需要先進行“柑橘損壞率”統(tǒng)計，再大約確定每千克柑橘的售價，表10是銷售部通過隨機取樣，得到的“柑橘損壞率”統(tǒng)計表的一部分，由此可估計柑橘完好的概率為 ? ? （精確到0.1）;從而可大約估計每千克柑橘的實際售價為 ? ? 時（精確到0.1），可獲得12 000元利潤.

考點：頻數(shù)（率）分布表;利用頻率估計概率.

專題：概率及其應(yīng)用;數(shù)據(jù)分析觀念.

分析：利用頻率估計概率得到隨試驗次數(shù)的增多，柑橘損壞的頻率越來越穩(wěn)定在0.1左右，由此估計柑橘完好率大約是0.9. 設(shè)每千克柑橘的銷售價為x元，然后根據(jù)“售價 - 進價 = 利潤”列方程解答.

解：從表格中可以看出，柑橘損壞的頻率在常數(shù)0.1左右擺動，并且隨統(tǒng)計量的增加這種規(guī)律逐漸明顯，所以柑橘完好的概率應(yīng)是1 - 0.1 = 0.9.

設(shè)每千克柑橘的銷售價為x元，則應(yīng)有10 000 ×0.9x - 3 × 10 000 = 12 000，

解得[x=143≈4.7.≈]

所以去掉損壞的柑橘后，水果公司為了獲得12 000元利潤，完好柑橘每千克的售價應(yīng)為4.7元.

故答案為：0.9;4.7.

此題第（1）小題考查的是用頻率估計概率的知識，要求學生理解隨著試驗次數(shù)的變化，頻率也在變化，當試驗次數(shù)充分大時，頻率逐漸穩(wěn)定在某一數(shù)值左右，這一數(shù)值就是概率值. 第（2）小題考查的是概率與一元一次方程的實際問題的綜合應(yīng)用，對學生來說有一定的難度. 從以下兩個方面進行分析.

第1方面：問題的關(guān)鍵點及易錯點.

第（1）小題中，學生很容易出現(xiàn)審題不細致的錯誤，以為是求柑橘的損壞率，故得出0.1的錯解.

第（2）小題利用等量關(guān)系列一元一次方程的過程中，對等量關(guān)系“售價 - 進價（成本）= 利潤”的理解不夠透徹，不能正確表示出每個數(shù)量，這是另一個易錯點. 解決問題的關(guān)鍵在于準確地表示出售價與利潤之間的等量關(guān)系.

第2方面：解題反思.

就問題情境來說，利潤問題是學生比較熟悉的實際問題，“柑橘損壞率”的概念也比較貼合生活實際，學生容易接受. 用頻率估計概率的例子還有投擲硬幣試驗等，這類試題都是經(jīng)過大量的重復(fù)試驗后，頻率會穩(wěn)定在某一數(shù)值附近，即為事件發(fā)生的概率. 教師在平時的教學過程中可以讓學生多做些有代表性的、易于操作的數(shù)學試驗，在試驗過程中感受概率與頻率的關(guān)系，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提高學習興趣與數(shù)學素養(yǎng).

學生要注重訓練自身通過圖表獲取信息、分析數(shù)據(jù)的能力. 學生要認真關(guān)注每個數(shù)據(jù)所代表的信息和實際意義，以及通過分析數(shù)據(jù)的變化趨勢，得出一般結(jié)論和答案.

此題是把一元一次方程的實際問題（利潤問題）和概率內(nèi)容進行綜合考查，需要學生在理解概率意義的同時，具備用方程解決問題的思想和數(shù)學建模的能力. 概率與其他領(lǐng)域知識的綜合已然成為一種考評趨勢. 例如，概率與統(tǒng)計的綜合、概率與代數(shù)的綜合、概率與幾何的綜合等，需要學生具有綜合應(yīng)用知識解決問題的能力，以及轉(zhuǎn)化和化歸等數(shù)學思想. 對于與統(tǒng)計、代數(shù)、幾何等領(lǐng)域進行聯(lián)系的綜合性題目，不必被表面的復(fù)雜性所迷惑，萬變不離其宗，只要抓住其中的關(guān)鍵信息，問題一定會迎刃而解.

三、專題分析結(jié)論與復(fù)習建議

根據(jù)以上的分析，我們可以得到以下的基本結(jié)論，以及后續(xù)對該專題的復(fù)習建議.

1. 試題的統(tǒng)計分析結(jié)論及其建議

根據(jù)前面的分析結(jié)果，我們可以得到以下的結(jié)論.① 2020年全國各地區(qū)中考對本專題內(nèi)容考查的題型主要是解答題，側(cè)重考查利用列表法或畫樹狀圖法分析和求解隨機事件的概率，以及用樣本估計總體，整體考查難度約為0.60，難度適中. ② 從試題的考查載體來看，主要集中在時事背景與游戲（比賽）背景，其中多數(shù)地區(qū)傾向于時事背景，部分地區(qū)傾向于游戲（比賽）背景，在解法方面主要側(cè)重用列舉法、列表法或畫樹狀圖法求隨機事件的概率.

根據(jù)以上結(jié)論，我們提出以下復(fù)習建議. ① 專題復(fù)習要側(cè)重對解答題的訓練，側(cè)重對圖表的理解與應(yīng)用，加強對列表法或畫樹狀圖法的理解與應(yīng)用，以及其書寫格式表達，同時要加強學生對用樣本估計總體的統(tǒng)計思想的理解. ② 專題復(fù)習要加強對相關(guān)選擇題和填空題的訓練，注重學生答題的準確性，減少失誤，同時要提高對本專題的重視程度，進行有針對性地練習，要適當提高練習難度，注重學生對統(tǒng)計與概率知識的綜合應(yīng)用. ③ 在備考訓練中，多從時事背景、游戲（比賽）背景進行選擇與訓練，要加強學生對這兩類情境的理解.

2. 試題分析與求解的幾點建議

根據(jù)對試題的思路分析與總結(jié)，學生需要關(guān)注以下幾點.

熟悉此類試題的求解思路“情境理解—概括概率模型—概率計算—解決實際問題”，并熟悉常見的四種概率模型，即單次試驗古典概型、有放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?、無放回重復(fù)試驗、幾何概型，并在平常的訓練當中進行題目的梳理與總結(jié).

重視這類試題的兩個解題關(guān)鍵點：概率模型的識別;對試驗的所有可能結(jié)果的準確描述. 前者需要學生對不同的概率模型有充分的認識和理解，后者需要熟練掌握普通列舉法、列表法或畫樹狀圖法、幾何比例等描述方法，并且做到不重不漏.

對此類問題的易錯點要時刻牢記以下幾個方面：① 概率模型的識別需要結(jié)合題干與問題共同考慮;② 對于試驗的所有可能結(jié)果的刻畫，需要考慮概率模型的特點，遵循一定的列舉規(guī)則，不是想到一件列一件，熟練掌握《標準》要求的列表法與畫樹狀圖法;③ 對于有放回與無放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ偷碾S機事件刻畫，要關(guān)注是否需要去除部分不符合要求的隨機事件;④ 對于部分需要區(qū)分研究對象的試題，需要對同類研究對象進行編號，方便識別，從而進行準確刻畫.

前三點是基于試題解法給出的建議，此外，不同地區(qū)對此類試題的表達形式可能會有細微的差別，但總體來說都會有相對規(guī)范、統(tǒng)一的書寫要求. 學生在平時的練習當中，要緊跟教師的要求，形成準確的表達習慣，以避免在考試中造成不必要的失分.

總體而言，在“事件的概率”的考查上，各地區(qū)考查方向統(tǒng)一，對學生要求不高，普遍側(cè)重時事背景與游戲（比賽）背景的創(chuàng)設(shè)，緊跟《標準》要求進行考查. 一方面，關(guān)注考查基礎(chǔ)知識與基本技能，具有比較統(tǒng)一的解題方法及分析思路;另一方面，也注重對隨機事件的理解及用樣本估計總體等思想的滲透，試題形式多樣、立意較新. 在中考備考過程中，教師需要注重知識與生活實際的聯(lián)系，注重對基礎(chǔ)知識和基本技能的講解，加強對學生統(tǒng)計與概率相關(guān)的思想滲透，培養(yǎng)學生的基本數(shù)學活動經(jīng)驗，才能真正提高學生的綜合能力. 同時也需要把握側(cè)重考點與考查形式，這樣才能更好地應(yīng)對中考. 在提高學生應(yīng)考能力的同時，可以進一步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，進而達到綜合素質(zhì)的提高.

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