“函數(shù)應用：停車距離問題”（第2課時）教學設計

馬杰

摘? 要：數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動的過程應包括選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié). 本節(jié)課是繼學生完成開題活動后進行的做題展示交流活動. 通過課下小組合作探究成果的展示，結(jié)合形式多樣、主體多元的綜合評價及應用函數(shù)模型解決實際問題，使學生經(jīng)歷完整的數(shù)學建模過程.

關鍵詞：數(shù)學建模;展示交流;評價;應用

一、教學內(nèi)容解析

數(shù)學建?；顒邮菍ΜF(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的過程. 教材中有關實際問題的函數(shù)建模是在學生學習完冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)后進一步對函數(shù)應用的探究與學習，讓學生感知數(shù)學與實際生活的緊密關聯(lián)，從實例出發(fā)學會用函數(shù)模型來解決實際問題. 實際問題的函數(shù)建模是培養(yǎng)學生高層次思維、應用數(shù)學的意識、分析和解決實際問題能力的重要載體. 解決此類問題，需要熟悉問題情境，明確任務目標，探究問題中各變量之間的關系，抽象概括出熟悉的模型. 脫離以上過程則無法獲得解決實際問題的能力.

本節(jié)課的教學內(nèi)容是根據(jù)現(xiàn)實背景和來源于《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）第118頁表1的數(shù)據(jù)建立的停車距離數(shù)學模型，需要使學生理解數(shù)學模型中系數(shù)的意義，并根據(jù)模型得到的結(jié)果就行車安全提出建議.

根據(jù)《標準》中對數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動的教學提示，將“函數(shù)應用：停車距離問題”課題研究分為三個課時進行. 第1課時，教師組織學生開展開題交流活動，開題報告應該包括選題的意義、文獻綜述、解決問題思路、研究計劃、預期結(jié)果等，學生需要撰寫開題報告;第2課時，教師根據(jù)學生的實際情況引導學生建立急剎車停車距離模型，理解數(shù)學模型中系數(shù)的意義，并根據(jù)模型得到的結(jié)果就行車安全提出建議;第3課時，撰寫研究報告和報告研究結(jié)果，由教師組織學生開展結(jié)題答辯. 本節(jié)課進行的是第2課時的內(nèi)容.

因此，確定本節(jié)課的教學重點是：讓學生學會從實際問題中抽象出數(shù)學模型，經(jīng)歷用數(shù)學方法構(gòu)建數(shù)學模型的過程，理解模型中系數(shù)的意義.

二、教學目標設置

根據(jù)《標準》要求和教學內(nèi)容解析，確定本節(jié)課的教學目標如下.

（1）經(jīng)歷數(shù)學建模活動的基本過程，體會數(shù)學建模思想.

（2）經(jīng)歷從停車距離問題中抽象出數(shù)學問題的過程，發(fā)展學生的數(shù)學抽象思維能力;通過模仿學過的數(shù)學模型，選擇合適的數(shù)學模型表達所要解決的數(shù)學問題，發(fā)展學生的類比歸納能力;從學科綜合的角度分析制動過程中制動距離與速度的關系，理解模型中系數(shù)的意義，發(fā)展學生的邏輯推理能力;經(jīng)歷散點圖與實際分析相結(jié)合，猜想函數(shù)模型并利用數(shù)據(jù)求解及檢驗函數(shù)模型的過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象與數(shù)學運算能力.

（3）感受數(shù)學來源于生活并能應用于生活，用數(shù)學來解決生活中的問題，體驗數(shù)學在生活中的價值，激發(fā)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的興趣. 在小組探索建模的過程中體驗成功的喜悅，同時培養(yǎng)團隊協(xié)作的意識.

三、學生學情分析

本次探究活動的對象為高二年級學生. 從知識上看，學生已經(jīng)學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)，對這些函數(shù)的圖象和性質(zhì)都有了深入的了解. 從能力上看，通過初、高中階段的學習，學生已經(jīng)具備了一些將實際問題抽象成數(shù)學問題的能力，經(jīng)歷基本初等函數(shù)的學習，學生具備了靈活應用函數(shù)解決數(shù)學問題的能力，高中生心智趨向成熟，具備一定的自主學習能力、模仿能力和查閱資料的能力，這為數(shù)學建?；顒拥捻樌_展奠定了良好的基礎. 但是學生所學知識有限、數(shù)學建模方法單一，數(shù)學建模過程中不熟悉數(shù)據(jù)處理軟件，在具體的建?；顒又袝龅胶芏嗬щy，需要教師的適時引導.

因此，確定本節(jié)課的教學難點為：在數(shù)學建?；顒又薪⒛Ｐ停⑦x擇合適的模型.

四、教學策略分析

數(shù)學是培養(yǎng)并發(fā)展學生思維的重要學科. 在實際教學活動中，不僅要使學生“知其然”，而且要使學生“知其所以然”，讓其了解探究問題的一般過程和方法. 在實際教學中，當遇到情境比較復雜的問題時，教師往往先要幫助學生“掃清障礙”，使學生把注意力集中到問題中的關鍵字、詞、句上，理清問題中量與量之間的關系，這樣學生就不會“誤入歧途”，課堂教學才得以順利進行. 在這個過程中，如果教師強加給學生“正確”的解決問題的方法，而并非由學生自己經(jīng)過分析、抽象得到解決問題的方法，即使學生在課后能夠做出與例題相似的題目，也并不能說明學生具備了解決問題的能力，且最終會導致很多學生遇到“老師沒講過”的題目就束手無策. 數(shù)學建模是培養(yǎng)學生高層次思維的重要載體. 在教學中，教師要勇于放手，要在學生獨立思考和解決問題的基礎上進行總結(jié)，切實提高學生解決問題的能力.

依據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點，結(jié)合《標準》對數(shù)學建?；顒拥囊?，以及第1課時的內(nèi)容與開展方式，本節(jié)課采用“展示—評價—總結(jié)—應用”的模式進行教學，從學生的展示活動入手，通過學生自評、互評與教師評價相結(jié)合的方式實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標，突出重點、突破難點，通過模型應用不僅讓學生感受到數(shù)學從實際生活中來又應用于實際生活，也讓學生明白遵守法律、法規(guī)的重要性，實現(xiàn)本節(jié)課的育人目標. 本節(jié)課采用多媒體和信息技術輔助教學，對不同組學生的不同做法進行展示，鼓勵學生積極主動地從不同角度闡述自己的想法，并及時給予肯定，使學生的數(shù)學學習更有成就感，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的信心.

五、教學過程設計

本節(jié)課的課堂主體設計分為：前情回顧、交流展示、評價提升、拓展應用、反思小結(jié)、模型延伸.

1. 前情回顧

回顧梳理：教師對上節(jié)課開展的開題報告展示交流活動進行梳理總結(jié).

【設計意圖】讓學生體會課題研究活動需要經(jīng)歷選題、開題、做題、結(jié)題的完整過程. 上節(jié)課已經(jīng)完成了開題展示交流活動，接下來該進行做題展示交流活動，為引出今天的活動主題做好鋪墊.

活動掠影：展示各小組課下數(shù)學建?；顒拥恼掌? 同時，教師通過激勵性語言對學生課下的積極探究、團結(jié)協(xié)作予以肯定.

【設計意圖】提高學生探究、學習本節(jié)課的積極性，也為本節(jié)課的開展營造良好的學習氛圍.

2. 交流展示

教師課前對各小組的數(shù)學建模成果進行收集與比對，選擇具有代表性的小組開展展示交流活動，但提前不告知學生，以免影響其他學生的積極性.

（1）小組1展示交流.

① 模型分析. 在駕車行駛的過程中，從司機看到意外狀況的發(fā)生到?jīng)Q定剎車到汽車最終停止的過程中汽車行駛的距離叫做停車距離. 小組成員認為停車距離由反應距離和制動距離兩部分組成，如圖1所示，即停車距離 = 反應距離 + 制動距離. 設停車距離為[d]，反應距離為[d1]，制動距離為[d2]，則[d=d1+d2].

我們知道，影響停車距離的因素有很多. 例如，汽車剎車前的速度、司機的反應時間、車輛的性能、道路狀況、天氣狀況等. 通過對實際問題進行分析，可以得到影響停車距離的主要因素是汽車剎車前的速度和司機的反應時間.

② 模型假設. 為方便研究停車距離問題，從考慮影響停車距離的主要因素——汽車行駛速度和司機反應時間的角度出發(fā)，需要進行如下假設：假設車型、輪胎類型、路面條件都相同，汽車無超載，剎車系統(tǒng)的機械狀況、輪胎狀況、天氣狀況及司機狀態(tài)都良好;假設汽車在平直的道路上行駛，司機緊急剎車，一腳把剎車踩到底，汽車在剎車過程中未發(fā)生轉(zhuǎn)向;假設汽車在反應時間內(nèi)做勻速直線運動，制動過程中做勻減速直線運動，制動力所作的功等于汽車動能的減少量.

③ 研究反應距離與速度之間的關系.

反應距離與速度之間的關系如表1所示.

結(jié)合表1繪制如圖2所示的散點圖. 根據(jù)散點圖及實際分析，得到反應距離與速度成正比. 設想反應距離 = 反應時間 × 剎車前速度. 通過查閱資料與試驗操作發(fā)現(xiàn)正常人的反應時間約為0.2 ～ 0.5秒.

重新建立模型. 反應距離 =[k1]× 剎車前速度，即[d1=k1v]，其中[v]為剎車前的速度，系數(shù)[k1]為除汽車速度外反應時間及其他因素對反應距離的綜合影響. 將速度與反應距離分別代入[d1=k1v]求出相應的[k1]的值，再求出其平均值作為[k1]的值，得到[d1=0.209 633 346v].

⑤ 研究制動距離與速度之間的關系.

制動距離與速度之間的關系如表3所示.

總結(jié)：通過對比發(fā)現(xiàn)誤差較小，小組成員一致認定此模型成立.

【設計意圖】小組展示交流活動是本節(jié)課非常重要的一個環(huán)節(jié)，是本節(jié)課實現(xiàn)教學目標、突出教學重點、突破教學難點的有力活動支撐，也是對課下小組探究活動的進一步肯定，為接下來的評價環(huán)節(jié)奠定了基礎.

3. 評價提升

（1）學生自評（小組代表對本小組的模型自評）.

小組1展示代表評價自己小組的建模過程思路清晰，過程是最完整的.

小組2展示代表評價自己小組借助信息技術進行數(shù)學建模，方法是最好的.

小組3展示代表評價自己小組的方法獨樹一幟，建模過程簡單、快捷.

（2）小組互評.

開展課堂小組討論活動，通過小組內(nèi)部討論，結(jié)合自己小組的建模情況選定一個模型進行評價，每個小組選派一名代表發(fā)言.

小組1學生代表：評價小組2的模型. 首先，小組2運用信息技術建模，使得建模過程更加簡便;其次，小組2在面對趨勢線與散點圖吻合程度較高的模型時運用數(shù)據(jù)比對選擇函數(shù)模型，使得模型誤差較小，值得學習. 但他們沒有考慮影響停車距離的主要因素——反應時間.

小組2學生代表：評價小組3模型. 小組3運用整體思維對模型進行了認知，簡化建立模型的過程，但小組3沒有考慮影響停車距離的主要因素——反應時間，檢驗模型的過程數(shù)據(jù)比對較少，準確性值得考量.

小組3學生代表：評價小組1的模型. 小組1的建模過程有兩個優(yōu)點. 其一，對模型進行了假設，排除其他因素對建模的影響;其二，小組1善于從所學的“茶水最佳飲用時間”模型中汲取方法并為己所用，學以致用和獨特的思維值得學習. 但是在模型檢驗環(huán)節(jié)數(shù)據(jù)比對較少，誤差大小有待考量.

小組4學生代表：評價小組2的模型. 小組2與自己小組的建模方式類似，結(jié)果相同，但解決問題的過程中小組2對散點圖與趨勢線吻合程度較高的趨勢線進行數(shù)據(jù)對比，選擇誤差較小的模型，有利于減少誤差.

小組5學生代表：評價小組3的模型. 小組3的建模方法比較獨特，直接研究停車距離與速度之間的函數(shù)關系，方法便捷，減少了很多運算過程.

小組6學生代表：評價小組1的模型. 小組1通過試驗和查閱資料進行模型檢驗后重新建立模型，做得非常好. 自己小組在建模過程中沒有考慮到這個問題.

【設計意圖】通過自評與互評，讓學生感受相互學習、交流的重要性和必要性，在發(fā)現(xiàn)他人優(yōu)點的同時也關注建?；顒舆^程中存在的問題，為后期改進、優(yōu)化模型奠定基礎. 同時，讓更多學生參與到課堂活動中去.

（3）教師評價. 教師對三個模型進行總結(jié)性評價.

① 從誤差分析的角度對模型進行評價.

方式1：“點差法”比較誤差，如表9所示.

“點差法”來源于學生，實質(zhì)是將函數(shù)模型值與對應實際值做差，通過觀察、比較，選擇偏差較小的模型. 基于“點差法”引入“平均誤差法”，具體是對函數(shù)模型值與對應實際值做差，求結(jié)果的絕對值，再將所有絕對值的平均值作為“平均誤差”比較誤差.

方式2：“平均誤差法”比較誤差，如表10所示.

② 從數(shù)學建模的過程對模型進行評價.

首先，教師從什么是數(shù)學建模活動及函數(shù)建?；静襟E的角度出發(fā)，讓學生理解數(shù)學建?；顒蛹捌浠静襟E. 提出問題，讓學生思考三個模型中哪個模型的建模過程更加完善. 其次，教師帶著學生一起總結(jié)回顧小組1的數(shù)學建模過程. 最后，鼓勵學習小組之間相互學習、取長補短，對自己小組的模型進行優(yōu)化.

【設計意圖】教師評價環(huán)節(jié)是非常重要的一個環(huán)節(jié)，不僅是教師“教”的主導地位的重要體現(xiàn)，也是實現(xiàn)本節(jié)課教學目標、突出重點、突破難點的重要載體.

4. 拓展應用

應用1：法律、法規(guī)中相關數(shù)據(jù)的解釋.

《中華人民共和國道路交通安全法實施條例》第六十條：機動車在道路上發(fā)生故障或者發(fā)生交通事故，妨礙交通又難以移動的，應當按照規(guī)定開啟危險報警閃光燈，并在車后50米至100米處設置警告標志，夜間還應當同時開啟示廓燈和后位燈. 第八十條：機動車在高速公路上行駛，車速超過每小時100千米時，應當與同車道前車保持100米以上的距離，車速低于每小時100千米時，與同車道前車距離可以適當縮短，但最小距離不得少于50米.

《中華人民共和國道路交通安全法》第六十八條：機動車在高速公路上發(fā)生故障時，應當依照本法第五十二條的有關規(guī)定辦理;但是，警告標志應當設置在故障車來車方向一百五十米以外，車上人員應當迅速轉(zhuǎn)移到右側(cè)路肩上或者應急車道內(nèi)，并且迅速報警.

問題：結(jié)合我們所建立的函數(shù)模型，說一說法律法規(guī)中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)“50米至100米”“100米以上、不得少于50米”“一百五十米以外”建立的依據(jù)是什么？

例如，選擇誤差較小的模型[d=0.010 6v2-0.410 2v+][16.669]來解決問題，如表11所示.

【設計意圖】利用模型解決實際生活中的問題，讓學生感受數(shù)學來源于生活、應用于生活，從而解決生活中的問題，是實現(xiàn)本節(jié)課育人目標的重要載體. 讓學生了解法規(guī)內(nèi)容，體會法規(guī)中數(shù)據(jù)的科學性，明確遵守法律、法規(guī)的重要性，也為行車安全提出了建議.

5. 反思小結(jié)

學生回憶本節(jié)課的主要內(nèi)容，教師引導學生從多方面來敘述，學生自述，教師補充總結(jié)，完善板書. 由于時間關系，很多學生都意猶未盡，課下讓學生寫下學習本節(jié)課的收獲與體會.

（1）函數(shù)建模的基本步驟，如圖13所示.

[實際背景分析發(fā)現(xiàn)][提出問題數(shù)據(jù)采集][分析] [實際問題的解][檢驗函數(shù)模型][求解函數(shù)模型][符合實際] [選擇函數(shù)模型] [不符合實際][圖13]

（2）學法、知法、守法.

6. 模型延伸

（1）問題思考.

《中華人民共和國道路交通安全法》第二十二條：機動車駕駛?cè)藨斪袷氐缆方煌ò踩伞⒎ㄒ?guī)的規(guī)定，按照操作規(guī)范安全駕駛、文明駕駛. 飲酒、服用國家管制的精神藥品或者麻醉藥品，或者患有妨礙安全駕駛機動車的疾病，或者過度疲勞影響安全駕駛的，不得駕駛機動車. 任何人不得強迫、指使、縱容駕駛?cè)诉`反道路交通安全法律、法規(guī)和機動車安全駕駛要求駕駛機動車.

提出問題：司機疲勞駕駛或酒后駕駛對停車距離有什么影響？

【設計意圖】問題思考的設置既是課堂育人功能的延伸，也為下一次數(shù)學建?；顒拥拈_展做好鋪墊.

（2）作業(yè)布置.

基礎作業(yè)：完成學案上的第1小題和第2小題.

【設計意圖】學生獨立完成，考查學生結(jié)合數(shù)據(jù)選擇函數(shù)模型及應用函數(shù)模型解決問題的能力.

拓展作業(yè)：① 完成“函數(shù)應用：停車距離問題”課題研究結(jié)題報告;② 以小組為單位收集司機在疲勞駕駛或酒后駕駛的狀態(tài)下停車距離的相關數(shù)據(jù)，為下一次數(shù)學建?；顒诱n做好準備.

【設計意圖】為第3課時結(jié)題交流活動的開展和下一次數(shù)學建模活動做好準備，課后小組合作完成.

六、課后反思

本節(jié)課的教學設計建立在“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的教育理念上，融入了《標準》的思想內(nèi)涵. 《標準》明確指出要讓學生感受運用函數(shù)概念建立模型的過程與方法，強調(diào)了學生親身經(jīng)歷建模過程的重要性. 因此，本節(jié)課從學生的展示活動出發(fā)，通過學生的展示，結(jié)合學生和教師的評價實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標，設計中突出體現(xiàn)了學生的主體地位. 經(jīng)歷了數(shù)學建模教學實踐活動后，對于數(shù)學建?；顒拥拈_展有以下幾點思考.

1. 數(shù)學建?；顒拥拈_展應該常態(tài)化、系列化

在實際教學活動中，有些教師和學生對數(shù)學建模的重視程度不夠，在教授這部分內(nèi)容時，按照教材完成教學任務后將更多的時間留給了“刷題”. 這次建?；顒又袑W生表現(xiàn)出非常高的積極性，學生的綜合能力得到了明顯提升. 數(shù)學建?；顒拥拈_展應該常態(tài)化、系列化.

2. 教師指導學生應注意“度”的把控

學生在課下進行探究活動時，教師應該及時關注學生，在必要的時候給予學生指導. 在日常教學過程中，教師常常強加給學生“正確”的解決問題的方法，而不是讓學生自己經(jīng)過分析、抽象得到，這樣學生解決問題的能力并不能得到真正提升. 因此，對學生的指導應該注意“度”的把握，應該如何把握“度”還需要教師在教學實踐活動中慢慢體會.

3. 嘗試讓學生親歷選題

本次建?；顒邮窃诮o定課題和相關數(shù)據(jù)的基礎上完成的，學生未經(jīng)歷選題和收集數(shù)據(jù)的過程，后期開展建?；顒訒r可以嘗試讓學生經(jīng)歷討論選題和收集數(shù)據(jù)的過程，這更有利于提高學生學習的積極性.

參考文獻：

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