巧攻點(diǎn)P

郭杭園

摘 要：立體幾何與空間向量，空間向量是數(shù)學(xué)必修4“平面向量”在空間的推廣，又是數(shù)學(xué)必修2“立體幾何初步”的延續(xù)，努力使學(xué)生將運(yùn)用空間向量解決有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的問題，體會(huì)向量方法在研究幾何圖形中的作用，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力。立體幾何在高考解答題中位于第二大題的位置，是學(xué)生必須掌握與突破的一個(gè)數(shù)學(xué)問題，但在求第二問的時(shí)候，學(xué)生總是迷茫，傳統(tǒng)法無(wú)法入手，然而空間向量做的話，對(duì)于某一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)沒法求，從而得不到本題滿分。從而對(duì)于關(guān)鍵點(diǎn)的計(jì)算，是值得我們研究。

關(guān)鍵詞：空間向量與立體幾何;建系;關(guān)鍵點(diǎn)P;點(diǎn)坐標(biāo)

空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角（“立體幾何初步”側(cè)重于定性研究，本章則側(cè)重于定量研究）?？臻g向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個(gè)十分有效的工具。

明白其教育價(jià)值所在的同時(shí)，也很高興能夠有機(jī)會(huì)參加這次市調(diào)研課，使我在其中成長(zhǎng)了許多也收獲了許多?，F(xiàn)在還能夠回想起第一次講公開課的場(chǎng)景，還能夠想起與師傅一起探討研究題目的情景，即使都很累了，晚上還要利用她的休息時(shí)間幫我去理清課的思路和設(shè)計(jì)課上的活動(dòng)，在一遍一遍的試講中，總算是能夠找到公開課的樣子。而當(dāng)三年后的今天上市調(diào)研課的時(shí)候，有了一些自己的想法和這幾年的從教經(jīng)驗(yàn)，但是還是不夠成熟，不是很成體系，與葛老師反反復(fù)復(fù)一次次的交談之后，終于定下了我的初稿，和同仁們的一起磨課，在大家的幫助下才有這樣一堂在于我看來(lái)近乎完美的課。下面我就來(lái)談一下我這次課的感受。

本節(jié)市調(diào)研課正繼2018市模擬考試結(jié)束，根據(jù)兩班（314，326）學(xué)生在本場(chǎng)考試各小題得分情況，得出這次立體幾何解答題得分并不理想，總分15分，平均只有9.3分。翻閱各位學(xué)生的答題卷，發(fā)現(xiàn)問題幾乎出現(xiàn)在第二小題，原因：1、底面是一個(gè)等邊三角形的斜三棱錐，從而不知道如何建系;建立系的同學(xué)將PD作為Z軸，并沒有和底面垂直，從而出錯(cuò)。2、系建立對(duì)了之后，關(guān)鍵點(diǎn)P坐標(biāo)不會(huì)求。面對(duì)6月的高考，這兩個(gè)問題必須解決，而且刻不容緩。于是借著諸暨市調(diào)研課這個(gè)契機(jī)，好好研究這個(gè)專題，看了百來(lái)個(gè)立體幾何，尋找適合本班學(xué)生的題目，拿出來(lái)分析研究，讓學(xué)生徹底解決這兩個(gè)問題。

本課是高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的一個(gè)重要部分，是數(shù)學(xué)必修4“平面向量”在空間的推廣，又是數(shù)學(xué)必修2“立體幾何初步”的延續(xù)，努力使學(xué)生將運(yùn)用空間向量解決有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的問題，體會(huì)向量方法在研究立體幾何圖形中的作用，進(jìn)一步發(fā)展空間想象力和幾何直觀能力?？臻g向量為處理立體幾何問題提供了新的視角?？臻g向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個(gè)十分有效的工具。因此必須為這一章開始一次有效的專題課，讓學(xué)生更好的從整體認(rèn)識(shí)到本章的重要性，以及關(guān)鍵點(diǎn)P如何求解的方式方法的總結(jié)和歸納。

例題如下：

（2016諸暨期末）如圖，在四棱錐的一個(gè)側(cè)面PAD為等邊三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，∠BCD=∠ADC=Rt∠P-ABCD，AD=2BC=2CD=2，E為PD的中點(diǎn)。

（1）求證：CE//面PAB

（2）求直線CD與平面PAB所成角的正弦值

△PAD本例子中因?yàn)橛忻黠@的直角，所以學(xué)生很快就可以把系建立起來(lái)，又因?yàn)楹竺媸且粋€(gè)垂直底面的平面PAD，所以關(guān)鍵點(diǎn)P的投影直接落在AD上，點(diǎn)P很快就可以知道坐標(biāo)。這題還難不到我班在座的各位。于是將平面PAD向前或向后傾斜，使其不垂直于底面。引出BC//AD，CD⊥CD，PC=AD=2DC=2CB

例2（2017浙江高考）如圖，在四棱錐中P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，E為PD的中點(diǎn)。

（1）求證：CE//面PAB

（2）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值

本例中底面直角直接給出，X軸Y軸很容易表示，但是Z軸就不能靠在面PAD這個(gè)平面當(dāng)中，于是就大膽地就將Z軸垂直向上。這樣系是建好看了，但是問題也就出來(lái)了，關(guān)鍵點(diǎn)P該如何計(jì)算呢？對(duì)于這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)P的坐標(biāo)我們很難找到在底面投影點(diǎn)的位置，有部分同學(xué)即使找到了也很難計(jì)算出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根本不適合我班的學(xué)生。于是我們放棄解決立體幾何問題的傳統(tǒng)方式方法，就純粹地從向量的角度出發(fā)，直接假設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y，z），運(yùn)用方程組的思想，三個(gè)未知量三個(gè)方程，去尋找有關(guān)于點(diǎn)P的三個(gè)關(guān)系，建立三元一次方程進(jìn)行計(jì)算，從而得到點(diǎn)P。這樣便突破了本題的最大難點(diǎn)，而且學(xué)生也容易接受這種解題技巧。這樣的做法，思路上大大的簡(jiǎn)單化，尋找關(guān)系，這個(gè)關(guān)系可以是有關(guān)于點(diǎn)P的垂直、平行、距離、角度等等，但是對(duì)于第一次接觸這種方式的學(xué)生，計(jì)算則難以接受，則需要課后的練習(xí)。我們?cè)俅位貧w到2018年的紹模試題，讓之前做錯(cuò)的同學(xué)上來(lái)板演，即快又正確的得到結(jié)果，得到了老師的表?yè)P(yáng)與同學(xué)們的掌聲。這是一個(gè)以前在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面極其沒有自信的學(xué)生，通過這節(jié)課后，那確立了自信，有了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和決心。

再思考：

如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是等邊三角形，O為AC的中點(diǎn)，PA=PC，二面角P-AC-B的大小為60°

（1）求證：平面PBO⊥平面PAC

（2）求直線AB與平面PAC所成角的正弦值

最后以一題關(guān)鍵點(diǎn)P在OP上運(yùn)動(dòng)的題目加以鞏固和加深，此點(diǎn)P并非是一個(gè)定點(diǎn)，而是帶著參的一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，對(duì)于學(xué)生求面的法向量則是一個(gè)困惑。學(xué)生往往只會(huì)已知面中三點(diǎn)的坐標(biāo)，得到兩條相交直線的方向向量來(lái)求，帶著參則無(wú)法求解，其實(shí)面的法向量只需垂直于平面，對(duì)于方向和長(zhǎng)度并沒有任何的限制，因此只需大膽的往下求，參量會(huì)刪除的。

在這整個(gè)研究過程中，我也看了百余題立體幾何的題目，其實(shí)發(fā)現(xiàn)了很多共性。題目本身的出題方式，第一小題大都就是線面、面面的位置關(guān)系，證明平行、垂直等等。第二小題便是空間角的問題，以線面角居多;還有圖形上的變化，底面由三角形延伸到四邊形甚至很多的邊形;側(cè)面由垂直到傾斜，由三邊到四邊等的變化。它們都幾乎逃不出底面和側(cè)面具有公共邊的等腰三角形，也就是說總是可以找到那樣一個(gè)與底面的垂直的垂面，點(diǎn)P必將落于垂面與底面的交線上，都可以利用傳統(tǒng)純幾何方式加以求解，當(dāng)然這樣方式比較難，不適合本班的學(xué)生，于是便只選擇了用向量方式去解決問題，我班的學(xué)生能夠更好的接受這類問題。

本節(jié)課，我本著以學(xué)生為主，教師為輔的這一原則。最終讓學(xué)生在知識(shí)上有所掌握，在能力和意識(shí)上有所收獲。

一、這節(jié)課我最滿意的有以下幾個(gè)地方：

（一）學(xué)生的參與

這節(jié)課的主體不是我而是學(xué)生們，學(xué)生們對(duì)知識(shí)的渴求欲望令我既驚又喜，他們頻頻地舉手發(fā)言使整個(gè)課堂的氣氛活躍了起來(lái)，整個(gè)教室都充滿著愉悅、熱情、活潑的氣息，充滿蓬勃的朝氣，讓我感覺這仿佛不是一堂課，而是我與同學(xué)們開放平等地一次交流與合作。學(xué)生們表現(xiàn)出來(lái)的對(duì)數(shù)學(xué)無(wú)比濃厚的興趣令我收獲了極大的滿足感與獲得感，他們的參與是這節(jié)課必不可少的催化劑。我只是作為了一個(gè)引導(dǎo)者，引導(dǎo)他們?cè)诤诵膯栴}上深入研究。

（二）學(xué)生的創(chuàng)新

這節(jié)課有個(gè)意外收獲。在求一點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，我用的是投影而該班黃金同學(xué)卻利用的是共線，方法簡(jiǎn)潔，給人以耳目一新的感覺。另外該班的張玉婷同學(xué)在兩道中都提出了不同的做法，有其獨(dú)特的見解。學(xué)生的思維不僅活躍，而且大膽，創(chuàng)新精神貫徹到了他們思維中的每一處，無(wú)論是提出新方法，還是提出新見解，他們的創(chuàng)新都折射出了中學(xué)生蓬勃向上的積極進(jìn)取心與創(chuàng)造力。中學(xué)生的思維是相當(dāng)活躍的，并且受到的束縛也少，相較于我們成年人，他們沒有明顯的思維定式，可見學(xué)生真的是思考了，我也從中獲益不少，真的是給學(xué)生以展示的舞臺(tái)，他回報(bào)你以驚喜。

（三）學(xué)生的置疑

何楊波同學(xué)能直截了當(dāng)?shù)闹赋龊诎迳系腻e(cuò)誤而且是一個(gè)我沒發(fā)現(xiàn)的計(jì)算錯(cuò)誤，這一點(diǎn)是勇敢且自信的。這不僅說明了學(xué)生的注意力高度集中、對(duì)待這節(jié)課十分重視，而且也體現(xiàn)了他們善于觀察、注重細(xì)節(jié)，不放過黑板上的一絲一縷。學(xué)生敢于置疑，提出問題，這是一種實(shí)事求是的精神態(tài)度，無(wú)論是在當(dāng)下的課堂中，還是在未來(lái)的人生道路上，這種大膽質(zhì)疑的實(shí)事求的精神都是值得表?yè)P(yáng)。除此之外，大膽的、正確的質(zhì)疑也糾正了我的錯(cuò)誤，對(duì)我個(gè)人也是頗有裨益。

（四）課件的制作

立體幾何著重強(qiáng)調(diào)的是空間想象力，利用幾何畫板，從多個(gè)角度觀察圖形;所以我在制作課件的時(shí)候特別注重了這一點(diǎn)，特地選取了一些典型的、有普遍共性的例題，四題例子的立體圖形變化過程在幾何畫板中展示，讓學(xué)生清晰的看到其實(shí)很多立體幾何的本質(zhì)是不變的，是具有一定共性的，這對(duì)他們接下來(lái)深入研究學(xué)習(xí)立體幾何有長(zhǎng)遠(yuǎn)的好處，本質(zhì)上的理解才能使學(xué)生們做題時(shí)能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，舉一反三、融會(huì)貫通。

二、我不滿意的地方有以下幾點(diǎn)：

（一）例子的選取

最后一個(gè)例子的選取，層次過于高了，本班的學(xué)生過于難了一些。在模仿學(xué)習(xí)的前提下，如何處理較難的（不易模仿的）題型，對(duì)于教學(xué)要有一個(gè)基礎(chǔ)定位。

（二）總結(jié)時(shí)間短

這節(jié)課的主題是兩種方法的比較和不同方法的適用題型的總結(jié)歸納時(shí)間不夠。沒有時(shí)間讓學(xué)生自己談?wù)勑牡皿w會(huì)，自己找找解題規(guī)律，如果給足時(shí)間那樣應(yīng)該會(huì)更好。

三、空間向量在立體幾何中應(yīng)用的教學(xué)注意事項(xiàng)：

（一）注重?cái)?shù)學(xué)思想。思想上的力量是最關(guān)鍵的。讓學(xué)生經(jīng)歷向量由平面向空間推廣的過程，使學(xué)生體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法：類比與歸納。體驗(yàn)數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上的和諧性與在推廣過程中的問題，并學(xué)會(huì)如何解決問題。因此，宜多引導(dǎo)學(xué)生與平面向量及其運(yùn)算類比，與實(shí)數(shù)及其運(yùn)算類比，從“數(shù)、量與運(yùn)算”發(fā)展的角度理解向量。

（二）注意數(shù)與形的關(guān)聯(lián)。向量的特征之一是其本身具有數(shù)與形兩重含義。本章教學(xué)中，除了要關(guān)注前面多次提及的知識(shí)縱向聯(lián)系之外，還要特別關(guān)注知識(shí)的橫向聯(lián)系，這二者都很重要，缺一不可。研究問題要全面、普遍，從不同角度研究同一問題，認(rèn)識(shí)與運(yùn)用向量及其運(yùn)算中數(shù)與形的關(guān)聯(lián)。

（三）根據(jù)特點(diǎn)選擇方法。重視傳統(tǒng)方法、向量方法、坐標(biāo)方法各自特點(diǎn)的分析與歸納，傳統(tǒng)方法以邏輯推理作為工具解決問題;向量方法利用向量的概念及其運(yùn)算解決問題;坐標(biāo)方法利用數(shù)及其運(yùn)算來(lái)解決問題，坐標(biāo)方法常與向量運(yùn)算結(jié)合起來(lái)使用，根據(jù)它們的具體條件和特點(diǎn)選擇合適的方法。

這次難得的機(jī)會(huì)讓我獲益匪淺，無(wú)論是立體幾何的知識(shí)點(diǎn)本身，比如對(duì)于立體幾何出題人會(huì)圍繞著什么方向出題，以及考什么知識(shí)點(diǎn)，還是對(duì)教學(xué)方式方法、解題思路、公開課的教學(xué)，我都有更深層次的了解，取得了不小的進(jìn)步。除此之外，我還認(rèn)識(shí)到了這種大型的公開課能夠鍛煉我的心理素質(zhì)與隨機(jī)應(yīng)變能力，經(jīng)常的參與并且傾聽別人的課件設(shè)計(jì)對(duì)一個(gè)年輕教師的成長(zhǎng)是非常重要的！路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索！

參考文獻(xiàn)

[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）[M].北京：人民教育出版社，2003

[2]《5年高考3年模擬》[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2016

[3]江玉軍.空間向量與立體幾何[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007年

[4]劉瑞美.“空間向量與立體幾何”的教學(xué)探討[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2010