高中數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)探究

摘 要：高中數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)形結(jié)合思想方法的主要載體。本文通過歸納和剖析數(shù)學(xué)知識(shí)，揭示數(shù)形結(jié)合思想主要呈現(xiàn)的兩種形式，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，探究教學(xué)中的有效策略和方法。

關(guān)鍵詞：思想方法;數(shù)形結(jié)合

引言：隨著課程標(biāo)準(zhǔn)改革的不斷推進(jìn)，課程目標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)提出了更高的要求。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾提出萬物皆數(shù)的世界觀，主要體現(xiàn)的就是數(shù)形結(jié)合的思想?！皵?shù)”與“形”本是一種無意識(shí)的結(jié)合，具有完全不同的特性，“數(shù)”可運(yùn)算，“形”更直觀。隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)步與發(fā)展，在遇到復(fù)雜問題時(shí)，數(shù)學(xué)家們開始有意識(shí)的將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，達(dá)到解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的目的。高中數(shù)學(xué)知識(shí)便是數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用和呈現(xiàn)的主要載體。

一、以數(shù)解形

以數(shù)解形是利用數(shù)的運(yùn)算對(duì)圖形的性質(zhì)進(jìn)行分析，即數(shù)為工具，形為目的，從數(shù)量關(guān)系中提煉出性質(zhì)，解決圖形問題。解析幾何和立體幾何教學(xué)中常見這類數(shù)形結(jié)合思想。

（一）“解析幾何”中的數(shù)形結(jié)合思想

例1已知拋物線y2=4x，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，A（3，2），點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|PA|+|PF|取得最小值時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。

分析：如圖，本題利用數(shù)形結(jié)合，可以將|PF|轉(zhuǎn)換為|PM|，結(jié)果直觀明了，問題迎刃而解。缺乏圖形的直觀，解析幾何問題將無從入手。

（二）“立體幾何”中的數(shù)形結(jié)合思想

例2已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為.

分析：如圖，過P點(diǎn)做平面ABC的垂線段PO，再做PE⊥CB，PF⊥CA可得OE⊥CB，OF⊥CA，在中，由，可得出CF=1，同理在中可得出CE=1，結(jié)合，可得出OE=OF=1，.立體幾何能充分反映以數(shù)解形的思想，如角度、長(zhǎng)度、面積、體積等，這些問題的考查與解答都離不開數(shù)形結(jié)合。

二、以形助數(shù)的載體

以形助數(shù)是指利用形的直觀、具體來表示數(shù)量關(guān)系，即形為工具，數(shù)為目的，現(xiàn)實(shí)生活中總存在與數(shù)相對(duì)應(yīng)的“形”。因此，在教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)”、“形”對(duì)應(yīng)?；靶巍背橄蟪伞皵?shù)”，這類數(shù)形結(jié)合的問題有函數(shù)、線性規(guī)劃、向量、概率等。

（一）“函數(shù)”中的數(shù)形結(jié)合

例3設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（ ）

A.（-∞，-1） B.（0，+∞） C.（-1，0） D.（-∞，0）

分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像，從圖中發(fā)現(xiàn)若成立，一定有，解得x<0.在研究函數(shù)性質(zhì)及解決函數(shù)問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想可發(fā)揮出事半功倍的作用.

（二）“線性規(guī)劃”中的數(shù)形結(jié)合

例4：若x，y滿足約束條件，，則的最大值為________.

分析：首先畫出相應(yīng)的可行域，再轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線，過B點(diǎn)時(shí)取得最大值為6.線性規(guī)劃常見的斜率型、截距型、距離型等目標(biāo)函數(shù)，都是根據(jù)數(shù)形結(jié)合，對(duì)照相應(yīng)的幾何性質(zhì)，以形助數(shù)的思想得到充分體現(xiàn)。

（三）“向量”中的數(shù)形結(jié)合

例5：設(shè)非零向量a，b滿足|a+b|=|a-b|，則（ ）

A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b|

分析：向量本身就是數(shù)與形結(jié)合，具有代數(shù)和幾何性質(zhì)。利用向量的三角形法則和平行四邊形法表示出幾何圖形，容易得到向量之間的性質(zhì)關(guān)系。

（四）“概率”中的數(shù)形結(jié)合

例6：點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn).若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧AB的長(zhǎng)度小于1的概率為

分析：本題利用數(shù)形結(jié)合，將概率問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形，可以直觀地看出B點(diǎn)的軌跡，計(jì)算概率。

三、數(shù)形結(jié)合思想滲透教學(xué)的啟發(fā)

掌握數(shù)形結(jié)合思想有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，所以在日常中的滲透教學(xué)就變得十分關(guān)鍵，要注意遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的規(guī)律。

（一）循序漸進(jìn)

數(shù)學(xué)思想方法一般以數(shù)學(xué)問題為載體，蘊(yùn)含在知識(shí)的形成過程中。如函數(shù)，從函數(shù)的概念到函數(shù)的應(yīng)用，都離不開數(shù)形結(jié)合思想。學(xué)生對(duì)思想方法的認(rèn)知從了解到應(yīng)用需要經(jīng)歷一個(gè)漫長(zhǎng)的教學(xué)過程，只有循序漸進(jìn)地滲透，才能使學(xué)生真正地在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)過程中掌握數(shù)學(xué)思想方法。

（二）注重變式教學(xué)

在教學(xué)實(shí)際中，不少老師為鞏固練習(xí)而時(shí)?？s短講解新課的時(shí)間，這樣容易導(dǎo)致學(xué)生建立題型與解題方法之間的聯(lián)系，很難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)。要想從中剝離出所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，變式教學(xué)就尤為重要。例如線性規(guī)劃和幾何概型的教學(xué)，利用變式將不同的問題情境聯(lián)系起來，在變化中適時(shí)地歸納總結(jié)，突出問題的本質(zhì)，逐步凸顯蘊(yùn)涵其中的數(shù)形結(jié)合思想方法。

（三）明確目標(biāo)

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師和學(xué)生容易忽略數(shù)學(xué)思想是否掌握。如函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)，多數(shù)學(xué)生會(huì)將重點(diǎn)放在掌握函數(shù)的性質(zhì)上，卻沒有意識(shí)到數(shù)形結(jié)合方法的重要性。通過數(shù)形結(jié)合畫出圖像，能夠更直觀有效地研究性質(zhì)。因此，在教學(xué)過程中，要不斷強(qiáng)調(diào)掌握數(shù)學(xué)思想方法也是重要的教學(xué)目標(biāo)。

結(jié)束語

數(shù)形結(jié)合思想是通過總結(jié)具體知識(shí)的形成過程，從中提煉出來的抽象數(shù)學(xué)思維方式。學(xué)好數(shù)形結(jié)合思想，除了在日常教學(xué)的滲透之外，歸納總結(jié)也十分必要，這樣才能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐漸形成一個(gè)整體，從一定的高度來認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合思想。

參考文獻(xiàn)

[1]張奠宙.數(shù)學(xué)方法論稿（修訂版）[M].上海：上海教育出版社，2012.

作者簡(jiǎn)介：張琛（1985-）.男，中學(xué)一級(jí)，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。