聚焦符號抽象、推理和運算的“數(shù)與式”專題復(fù)習(xí)教學(xué)實踐研究

摘? 要：代數(shù)領(lǐng)域的核心思想是用符號表示數(shù)量及其關(guān)系，建立模型，通過符號運算和推理研究事物的數(shù)量屬性，研究這些數(shù)量之間的普遍聯(lián)系及一般規(guī)律. 在聚焦數(shù)學(xué)思想方法的“數(shù)與式”專題復(fù)習(xí)中，以問題引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷用字母表示數(shù)、列出代數(shù)式、比較代數(shù)式的大小等符號抽象、推理和運算活動，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生經(jīng)歷操作體會、反思總結(jié)、遷移應(yīng)用等過程，概括這種思想的作用、操作步驟及要點，并能在新的情境中遷移應(yīng)用，從而發(fā)展學(xué)生的符號抽象、推理和運算能力.

關(guān)鍵詞：符號抽象;推理運算;“數(shù)與式”專題復(fù)習(xí)

中考專題復(fù)習(xí)是在第一輪基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)思想方法角度整合幾個單元的教學(xué)內(nèi)容，對內(nèi)容中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法進行的專門復(fù)習(xí). 通過專題復(fù)習(xí)，對先前在新課和基礎(chǔ)復(fù)習(xí)解決問題過程中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法進行反思總結(jié)，明確其作用、操作步驟和要點，使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識從體會到感悟，并進一步內(nèi)化為學(xué)生頭腦中能自如應(yīng)用的觀念，這對于學(xué)生分析問題和解決問題能力的提高，以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，具有重要作用.

一、符號抽象、推理與運算思想的內(nèi)涵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗. 那么什么是數(shù)學(xué)基本思想呢？史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)三大基本思想本質(zhì)上是抽象、推理與模型思想.

抽象是從許多事物中舍棄個別的、非本質(zhì)的屬性，得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過程，是形成概念的必要手段. 數(shù)學(xué)抽象不僅是抽象出數(shù)學(xué)的研究對象，還要抽象出研究對象之間的關(guān)系，包括數(shù)量與數(shù)量關(guān)系抽象、圖形與圖形關(guān)系抽象. 代數(shù)領(lǐng)域中的符號抽象主要體現(xiàn)在運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律.

建立在概念符號基礎(chǔ)上的形式化的邏輯推理，是數(shù)學(xué)思維的基本形式. 人們通過這種邏輯推理，理解數(shù)學(xué)研究對象之間的因果關(guān)系，確認(rèn)知識，構(gòu)建有序多級的數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)體系. 邏輯推理有兩種基本形式：歸納推理和演繹推理. 與幾何中的推理證明相比較，代數(shù)中的符號推理的特點是“基于運算”，即通過運算和推理比較數(shù)與代數(shù)式之間的大小關(guān)系.

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實世界中事物的關(guān)系和規(guī)律. 初中代數(shù)中的基本模型有數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)模型，建立這些數(shù)學(xué)模型的核心是用字母表示數(shù)，用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上用運算和推理解決問題. 因此，初中代數(shù)建模過程的核心是符號抽象、推理和運算. 下面以“符號抽象、推理與運算（1）——數(shù)與式”專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)過程與反思為例進行論述.

二、備課過程中的相關(guān)思考

1. 目標(biāo)

（1）在解決數(shù)與式問題的過程中體會符號抽象、推理和運算的作用.

（2）在解題反思的過程中提煉符號抽象、推理和運算思想的操作步驟和要點.

（3）能應(yīng)用提煉出的步驟和要點解決新的數(shù)與式相關(guān)的問題.

2. 目標(biāo)解析

達成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：通過解決具體的數(shù)與式問題體會通過符號抽象、推理和運算把數(shù)量關(guān)系推廣到一般，并簡約地研究一般性的數(shù)量關(guān)系.

達成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：通過解題反思，總結(jié)符號抽象、推理和運算思想的操作步驟和核心要點，通過歸納把這種思想推廣到一般.

達成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：能用提煉出的這種思想提出和解決新情境中的問題.

3. 學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與存在的困難

（1）學(xué)生的已有認(rèn)知基礎(chǔ).

通過新課及中考“數(shù)與式”內(nèi)容第一輪復(fù)習(xí)的教學(xué)，學(xué)生已經(jīng)基本掌握數(shù)與式中一些基本概念、數(shù)式運算及運算律;已經(jīng)分散地接觸過符號抽象、推理和運算，對這種思想方法已有初步體會.

（2）存在的困難.

雖然經(jīng)過了第一輪基礎(chǔ)復(fù)習(xí)，但是代數(shù)式的運算尤其是分式的運算對學(xué)生來說仍是易錯點. 主要困難體現(xiàn)在以下兩點：一是在現(xiàn)實情境中如何抽象出符號;二是總結(jié)符號抽象、推理和運算思想的作用、操作步驟和核心要點.

（3）教學(xué)難點.

在缺乏字母符號的問題情境中如何抽象出數(shù)學(xué)符號是本節(jié)課的教學(xué)難點. 可以采用如下方法幫助學(xué)生突破難點：第一步，用數(shù)與字母表示問題中的基本數(shù)量;第二步，通過代數(shù)運算用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系.

三、教學(xué)過程設(shè)計

1. 課前預(yù)測

教師給出如下三道課前預(yù)測題，由學(xué)生自主完成.

預(yù)測題1：現(xiàn)有兩碗咸淡不同的湯，混合在一起后，對咸淡變化規(guī)律的描述最準(zhǔn)確的是（? ? ）.

（A）比淡的咸? ? （B）比咸的淡

（C）比咸的咸? ? （D）比淡的咸但比咸的淡

預(yù)測題2：藥企對某種藥品進行連續(xù)兩次降價，有下面兩種降價方案.

方案1：分兩次降價，降價率分別為a，b（a ≠ b）;

方案2：兩次降價率都為[a+b2].

則這兩種降價方案的總降價幅度大小是（? ? ）.

（A）方案1大于方案2

（B）方案2大于方案1

（C）方案1等于方案2

（D）不確定

預(yù)測題3：如圖1，一根長為5 m的竹竿斜靠在墻面上. 靠墻一端離地高為4 m，竹竿在同一平面內(nèi)下端外移0.5 m時，靠墻一端下降的高度為（? ? ）.

（A）等于0.5 m

（B）大于0.5 m

（C）小于0.5 m

（D）與0.5 m比較，大小關(guān)系不確定

師生活動：學(xué)生獨立完成課前預(yù)測的三道題目，教師展示答案，學(xué)生簡單敘述做題方法.

【設(shè)計意圖】對于預(yù)測題1，學(xué)生可以憑借生活經(jīng)驗得到答案，但是難以從數(shù)學(xué)角度通過運算方式說明理由;對于預(yù)測題2，學(xué)生可以通過特殊化得到答案，但是要使得到的結(jié)論更具有一般性，需要對符號進行運算、推理;預(yù)測題3是對具體數(shù)的運算、推理，但學(xué)生難以通過符號抽象、運算和推理將結(jié)論推廣到一般. 要在一般意義上解決上述三道題，需要借助符號的抽象、推理和運算，而這恰好是最基本的代數(shù)研究過程. 從而引出本節(jié)課的課題“符號抽象、推理與運算（1）——數(shù)與式”.

2. 解決問題，體會思想

題目1? 國家醫(yī)藥采購改革后，迎來藥品降價. 某藥企對某種藥品進行連續(xù)兩次降價，有下面兩種降價方案.

方案1：分兩次降價，降價率不同;

方案2：分兩次降價，每次降價率相同，均為方案1兩次降價率的平均值.

問：哪一種方案的降價幅度大？能通過計算說明嗎？

師生活動：第一步，在題目中一個數(shù)據(jù)都沒有的情況下，教師引導(dǎo)學(xué)生想到用數(shù)和字母表示基本數(shù)量，用單位“1”表示藥品的原價，用字母a，b分別表示方案1中第一次的降價率和第二次的降價率;第二步，用含a，b的式子分別表示方案1和方案2中藥品兩次降價后的價格;第三步，通過符號的推理和運算比較代數(shù)式的大小. 具體過程如下.

所以方案1的降價幅度大.

【設(shè)計意圖】通過題目1使學(xué)生在一般意義上解決課前預(yù)測的藥品問題.

追問1：解決上述問題的過程中經(jīng)歷了哪些步驟？

追問2：使用這種方法的關(guān)鍵是什么？

追問3：這種問題解決的方法有什么用？

師生活動：通過問題解決，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納得到如圖2所示的框圖.

[有什么用][研究數(shù)量之間的一般關(guān)系和規(guī)律] [操作步驟是什么][用數(shù)和字母表示基本數(shù)量][用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系][通過運算和推理判斷數(shù)與代數(shù)式之間的大小關(guān)系] [核心要點是什么][符號][表示][運算推理] [總結(jié)概括][圖2]

【設(shè)計意圖】通過以上三個追問使學(xué)生初步體會符號抽象、推理和運算思想有什么用、怎么用，以及核心要點是什么.

題目2? 現(xiàn)有兩碗咸淡不同的湯，混合在一起后，咸淡變化有什么規(guī)律？能通過計算說明嗎？

師生活動：第一步，在題目中一個數(shù)據(jù)都沒有的情況下，教師引導(dǎo)學(xué)生想到用數(shù)和字母表示基本數(shù)量，用字母a，b分別表示第一碗湯溶質(zhì)和溶液的質(zhì)量，用字母c，d分別表示第二碗湯溶質(zhì)和溶液的質(zhì)量;第二步，用代數(shù)式分別表示第一碗湯、第二碗湯、混合后的湯的溶質(zhì)質(zhì)量分?jǐn)?shù);第三步，通過符號的推理和運算比較代數(shù)式的大小. 具體過程如下.

【設(shè)計意圖】借助字母表示數(shù)，通過運算和推理簡約、定量、一般性地研究現(xiàn)實情境中的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生再次總結(jié)得到如圖2所示的思考方法.

3. 反思總結(jié)，提煉思想

師：通過前面兩道題的解決，你能總結(jié)出解決這兩道題方法的共性嗎？從哪些方面總結(jié)？

師生活動：基于題目1和題目2的問題提出和解決過程，歸納其中的方法共性，并推廣到一般，概括出符號抽象、推理和運算思想.

4. 遷移應(yīng)用，感悟思想

例? 汽車在路程相同的上坡和下坡行駛的速度不同，汽車在上下坡行駛過程中的平均速度與上坡、下坡速度之間有什么關(guān)系？

師生活動：教師先引導(dǎo)學(xué)生按照上述歸納的方法步驟嘗試解決問題，然后由教師板書例題的解答過程，通過字母表示數(shù)、符號運算抽象出“調(diào)和平均數(shù)”（Harmonic Average）的概念，并用符號[Hx，y]表示.

【設(shè)計意圖】用前面總結(jié)的方法步驟提出和解決問題，從而實現(xiàn)思想方法的遷移.

追問1：你能從中得到哪一種數(shù)量關(guān)系？能加以研究嗎？

師生活動：教師給出調(diào)和平均數(shù)的定義，師生共同構(gòu)建調(diào)和平均數(shù)的研究思路.

【設(shè)計意圖】使學(xué)生明確一類新的研究對象應(yīng)該怎么研究.

追問2：調(diào)和平均數(shù)與構(gòu)成要素x，y[0<x≤y]之間有什么大小關(guān)系？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生通過符號的運算、推理得到它們之間的大小關(guān)系是[x≤Hx，y≤y].

【設(shè)計意圖】學(xué)生明確性質(zhì)研究的是調(diào)和平均數(shù)與構(gòu)成要素之間的關(guān)系.

追問3：調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)之間有什么大小關(guān)系？

師生活動：學(xué)生通過對符號的運算、推理得到調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的大小關(guān)系是[0<x≤Hx，y≤x+y2≤y].

【設(shè)計意圖】類似于代數(shù)式的研究，在研究調(diào)和平均數(shù)的定義、性質(zhì)之后，需要進一步研究調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)之間的關(guān)系.

5. 延伸閱讀

數(shù)學(xué)的美無處不在. 數(shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)，彈撥琴弦發(fā)出聲音的音調(diào)高低，取決于弦的長度，繃得一樣緊的幾根弦，如果長度的比能夠表示成整數(shù)的比，發(fā)出的聲音就比較和諧. 例如，三根弦的長度之比是15∶12∶10，把它們繃得一樣緊，用同樣的力彈撥，它們將分別發(fā)出很調(diào)和的樂聲do，mi，so. 研究15，12，10這三個數(shù)發(fā)現(xiàn)數(shù)12是15和10的調(diào)和平均數(shù).

師生活動：教師介紹調(diào)和音的相關(guān)知識.

【設(shè)計意圖】通過符號抽象，引入并明確研究對象，通過運算和推理研究性質(zhì)和關(guān)系，應(yīng)用于現(xiàn)實，使學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)來源于生活. 這是數(shù)學(xué)以簡馭繁地研究一般規(guī)律的重要方法.

6. 課堂小結(jié)

（1）在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中，研究一類對象的基本思路是什么？研究哪些問題？研究的基本方法是什么？

（2）符號抽象、推理和運算的研究方法有什么用？怎樣用？核心要點是什么？

師生活動：先由學(xué)生之間相互交流，再由師生共同歸納得到如下“數(shù)與式”內(nèi)容研究的一般思路和方法.

思路：引入、定義、表示—性質(zhì)（大小關(guān)系、運算中的不變性）—運算與運算律.

內(nèi)容：性質(zhì)和運算，關(guān)注數(shù)量之間的大小、運算和對應(yīng)關(guān)系.

研究方法：符號抽象、推理和運算，從特殊到一般，歸納.

“數(shù)與式”研究中的符號抽象、推理和運算思想方法，如圖2所示.

【設(shè)計意圖】第（1）問引導(dǎo)學(xué)生從研究思路、研究內(nèi)容、研究方法三個方面回顧并歸納代數(shù)研究的一般套路. 第（2）問使學(xué)生明確符號抽象、推理和運算是代數(shù)研究最基本的方法. 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生知道這種思想方法有什么用、怎么用、核心要點是什么.

7. 目標(biāo)檢測

練習(xí)1：利用二維碼可以進行身份識別. 圖3是某名學(xué)生的識別圖案，白色小正方形代表二進制數(shù)字0，黑色小正方形代表二進制數(shù)字1. 每一行從最右邊數(shù)，第一個小正方形代表的數(shù)字表示這個二進制數(shù)本身，第二個小正方形代表的數(shù)字表示這個二進制數(shù)與2的積，第三個小正方形代表的數(shù)字表示這個二進制數(shù)與[22]的積，依此類推. 每一行小正方形所代表的數(shù)的和表示一個十進制數(shù). 第一、二行小正方形代表的十進制數(shù)的和依次為年級、班級，第三、四行小正方形代表十進制數(shù)的和是學(xué)號，則該圖案表示的學(xué)生信息是? ? ? 年級? ? ? 班? ? ? 號同學(xué).

練習(xí)2：并聯(lián)電路中的總電阻的倒數(shù)等于各電阻倒數(shù)的和，而電路中的電流強度I等于電壓U除以電阻R. 如圖4所示的并聯(lián)電路中兩開關(guān)[S1]和[S2]中閉合一個時電路中的電流強度[I1，I2]與兩個開關(guān)同時閉合時的電流強度I的大小關(guān)系是（? ? ）.

練習(xí)3：如圖1，一根長為5 m的竹竿斜靠在墻面上. 靠墻一端離地高4 m，竹竿在同一平面內(nèi)下端水平外移一定的距離，竹竿靠墻一端下降的高度與下端外移的距離之間有什么大小關(guān)系？

師生活動：學(xué)生獨立完成以上各練習(xí)題后，教師對學(xué)生答題的正確率進行統(tǒng)計，并對錯誤較多的習(xí)題進行講解.

【設(shè)計意圖】通過平板電腦的統(tǒng)計功能，了解學(xué)生對本節(jié)課的掌握情況.

四、教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)中主要存在以下問題.

1. 好的預(yù)設(shè)下課堂生成不足

在實施教學(xué)的過程中，本節(jié)課中的符號抽象過程是教師引導(dǎo)學(xué)生完成的. 但是，在已經(jīng)完成思想方法歸納提煉之后，在題目1和題目2的教學(xué)過程中，教師只需要引導(dǎo)學(xué)生思考兩個問題：兩道題目中，在一個數(shù)據(jù)都沒有的情況下，怎么解決？它的方法步驟是怎樣的？你能按照這些步驟解決題目1和題目2嗎？接下來，教師應(yīng)該給學(xué)生留有充分思考和討論交流的時間. 這樣，學(xué)生在解決問題的過程中能暴露出各種問題，這些都是課堂自然生成的良好資源. 教師需要在教學(xué)中留給學(xué)生充足的思考時間，從而更好地把握生成資源.

本節(jié)課涉及多種情況下符號的推理運算. 例如，題目1的兩種方案中降價后價格大小的比較，題目2中混合后溶質(zhì)質(zhì)量分?jǐn)?shù)與混合前溶質(zhì)質(zhì)量分?jǐn)?shù)大小的比較，例題中調(diào)和平均數(shù)與數(shù)x，y及算術(shù)平均數(shù)的大小比較，等等. 教師在對題目1的符號推理和運算給出講解示范之后，接下來應(yīng)該交由學(xué)生去操作.

總之，好的數(shù)學(xué)教學(xué)一定是那種能把學(xué)生帶入課堂活動中，使他們“躬行此事”的教學(xué);是能敏銳地捕捉課堂生成的教學(xué)資源，并機智地將“生成”融合于“預(yù)設(shè)”之中，根據(jù)“生成”調(diào)整“預(yù)設(shè)”的教學(xué).

2. 課堂教學(xué)過程中的細(xì)節(jié)處理需要進一步優(yōu)化

在湯水問題中，湯的咸淡程度怎么用符號表示？學(xué)生如何想到用質(zhì)量分?jǐn)?shù)表示？不同咸度怎么解釋？如何用不等式表示？表示出來的符號都是大于0的，為什么？這些問題對于學(xué)生來說都是具有挑戰(zhàn)性的，教師需要讓學(xué)生充分思考，這樣才能真正讓學(xué)生的符號抽象、推理和運算能力得到提升.

五、進一步思考

1. 這種思想方法教學(xué)策略是具有一般性的

本節(jié)課的教學(xué)流程如下.

本節(jié)課中，教師先是從具體的問題或情境引入，讓學(xué)生解決具體問題，在問題解決過程中初步體會符號抽象、推理與運算思想.

接下來，教師讓學(xué)生反思問題解決的過程，引導(dǎo)學(xué)生思考這種思想方法有什么用、怎樣用、核心要點是什么，在此基礎(chǔ)上把這種思想方法推廣到一般，即推廣到某一類問題的解決中.

師生在歸納和總結(jié)這種思想方法的操作步驟之后，將這種方法遷移應(yīng)用到新的問題解決中. 學(xué)生應(yīng)該明確解決這個問題是否要用到這種思想方法，在回顧操作步驟和要點的基礎(chǔ)上指導(dǎo)自己的思考過程.

最后，通過綜合應(yīng)用各種思想方法解決問題，建立不同思想方法之間的聯(lián)系. 在數(shù)學(xué)思想方法的專題復(fù)習(xí)課中，教師要讓學(xué)生經(jīng)歷四個過程：在具體的、熟悉的問題解決過程中總結(jié)這種思想方法的作用、操作步驟和核心要點;把得到的方法推廣到一般;應(yīng)用歸納的方法步驟解決問題;與其他思想方法建立聯(lián)系.

實踐表明，這種聚焦數(shù)學(xué)思想方法的專題復(fù)習(xí)教學(xué)策略是具有一般性的，是可遷移的.

2. 專題復(fù)習(xí)教學(xué)聚焦數(shù)學(xué)思想方法是發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、實現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的需要

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，本質(zhì)上是要求學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達世界. 數(shù)學(xué)主要是通過數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和符號運算理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)屬性、普遍聯(lián)系及其一般規(guī)律. 而數(shù)學(xué)抽象、推理與模型是數(shù)學(xué)三大基本思想.

3. 聚焦數(shù)學(xué)思想方法的專題復(fù)習(xí)教學(xué)需要把練習(xí)融合到問題的整體研究中

中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課教學(xué)要根據(jù)目標(biāo)選題. 選出來的題目看似不同，但本質(zhì)相同，即題目中蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法是一致的. 例如，在本節(jié)課的教學(xué)中，對于課前預(yù)測題1湯的咸淡問題，學(xué)生是憑借生活經(jīng)驗得到答案的，預(yù)測題2降價率問題是由特殊化方法得到答案的，預(yù)測題3竹竿問題是數(shù)的推理與運算. 而本節(jié)課就是在一般意義上解決上述湯水問題和降價率問題，通過這兩個問題的解決歸納并總結(jié)思想方法的作用、操作步驟和核心要點. 由于竹竿問題的運算與推理過程比較復(fù)雜，因此將其放在課后作為拓展研究的內(nèi)容. 最終，本節(jié)課是從一般意義上解決三道課前預(yù)測題. 綜觀三道預(yù)測題，貌似不同，但是其中都蘊涵著符號的抽象、推理與運算思想，即解決這三道題蘊涵的思想本質(zhì)是相同的. 專題復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)該訓(xùn)練學(xué)生這種透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力.

六、結(jié)束語

本節(jié)課的教學(xué)實踐表明，聚焦數(shù)學(xué)思想方法的專題復(fù)習(xí)教學(xué)對于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和解決問題的能力具有重要作用，而且這種復(fù)習(xí)課教學(xué)策略是具有一般性的，可以遷移到其他思想方法的復(fù)習(xí)教學(xué)中去.

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