用集合語言刻畫隨機事件提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)

摘? 要：從對“樣本點、樣本空間和隨機事件的表達”內(nèi)容本質(zhì)的分析入手，討論相關(guān)內(nèi)容的育人價值，提出一些教學建議.

關(guān)鍵詞：隨機現(xiàn)象;有限樣本空間;隨機事件;數(shù)學抽象

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）首次引入樣本點和有限樣本空間的概念，為用數(shù)學語言描述隨機現(xiàn)象和隨機事件提供了工具. 而“有限樣本空間與隨機事件”是必修概率第一單元的第一個課時，是本單元學習的基礎(chǔ).《標準》指出，本單元的學習可以幫助學生結(jié)合具體實例，理解樣本點、有限樣本空間、隨機事件等概念;通過計算古典概型中簡單隨機事件的概率，加深對隨機現(xiàn)象的認識和理解;通過解決一些簡單的實際問題，發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學運算素養(yǎng).

作為概率的起始課，涉及很多概念和術(shù)語，主要教學任務是結(jié)合具體實例，抽象隨機現(xiàn)象的特征，理解樣本點、有限樣本空間、隨機事件. 重點是抽象有限樣本空間和隨機事件的概念，落實數(shù)學抽象素養(yǎng).

一、課例教學設(shè)計及課堂展示評價

通過教學設(shè)計和課堂展示，反映出執(zhí)教教師對內(nèi)容本質(zhì)及教材設(shè)計意圖理解深刻，教學目標與目標解析準確、具體，具有“導學、導教、導測評”的功能. 在具體教學過程中，突出了“隨機現(xiàn)象數(shù)學化”的主題，以“不同語言的相互轉(zhuǎn)化”為手段，逐步抽象樣本點、樣本空間、隨機事件概念的過程. 在一系列恰當問題的引導下，采用學生獨立思考、自主探究、合作交流的方式展開教學. 完成了預定的教學目標，對提升學生數(shù)學抽象素養(yǎng)有幫助.

在引入問題情境的設(shè)計方面，選擇籃球投籃、到校所需時間、隨機摸球等問題情境，合理利用信息技術(shù)，歸納、抽象隨機現(xiàn)象的特征：一次觀測結(jié)果具有隨機性，大量重復觀測呈現(xiàn)出規(guī)律性. 并讓學生列舉隨機現(xiàn)象的例子，概括隨機試驗的特征.

建立試驗的樣本空間，用樣本空間的子集表示隨機事件，難點是如何描述“樣本點”. 在這一環(huán)節(jié)，通過設(shè)置具體的隨機試驗，讓學生嘗試列舉所有可能結(jié)果，引導學生用自然語言表述，進一步用字母或數(shù)字表示，追求簡潔并兼顧實際意義. 結(jié)合練習讓學生對“樣本點”是試驗的基本結(jié)果進行辨析，有效突破了教學難點.

對于隨機事件的概念，在初中是采用描述的方式定義的，從語言描述到用樣本空間的子集表示，思維跳躍大，抽象度高，既是重點也是難點. 在教學設(shè)計中，提供簡單的隨機試驗，圍繞“事件發(fā)生的意義及表示”提問題，很好地完成了隨機事件從直觀描述到用樣本空間的子集表示這一數(shù)學抽象過程，并通過例題的教學加以鞏固.

二、核心內(nèi)容的理解與教學思考

1. 隨機現(xiàn)象與隨機試驗

概率的研究對象是隨機現(xiàn)象.《標準》沒有對隨機現(xiàn)象和隨機試驗的概念做要求，但它們是概率內(nèi)容中反復提到的術(shù)語，有必要給出適當?shù)拿枋雠c刻畫. 在教材的章前言中，結(jié)合一些具體實例，給出了隨機現(xiàn)象的描述. 由于本單元只研究有限個可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象，這些現(xiàn)象是指在一定條件下不能事先預知結(jié)果，一次觀測結(jié)果的發(fā)生具有隨機性，但大量重復觀測下各個結(jié)果發(fā)生的頻率都具有穩(wěn)定性的現(xiàn)象.

研究隨機現(xiàn)象要先觀察其所有可能結(jié)果，我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗. 滿足：可重復進行;所有可能結(jié)果明確可知;每個結(jié)果出現(xiàn)的隨機性.

了解隨機現(xiàn)象和隨機試驗的概念，有助于學生認識研究對象的特征，建立完整的概念研究路徑. 對隨機現(xiàn)象的認識是在整個概率學習中逐漸加深的，在本課時的教學中，可以提供實例、問題引導、學生思考，以教師的歸納概括為主.

2. 樣本點和有限樣本空間

樣本點的描述與表示是構(gòu)建樣本空間、刻畫隨機事件的基礎(chǔ). 樣本點的概念是描述性的，它是隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果，樣本空間是全體樣本點的集合. 在具體的隨機試驗中，如何確定樣本點呢？一般遵循的原則是：樣本點不能再細分;對古典概型問題，則要保證各樣本點是等可能發(fā)生的，以便于確定事件的概率.

從包含2個紅球、3個白球、4個黃球的袋子中，隨機摸出一球. 應該看成有9個樣本點，樣本空間為[Ω=][r1，r2，w1，w2，w3，y1，y2，y3，y4]. 如果看成只有3個樣本點，顯然不滿足所有樣本點的等可能性.

拋擲2枚骰子，應該看成有[6×6=36]個樣本點，每個樣本點用有序數(shù)對來表示，建立樣本空間[Ω=][m，nm=1，2，…，6，n=1，2，…，6]. 在這個樣本空間中，所有事件的概率都可以確定. 如果要求“兩個點數(shù)之和為5”的概率，就可以把“點數(shù)之和為[k k=2，3，…，12]”看成樣本點，樣本空間為[Ω=][1，2，…，12]，這對確定事件的概率沒有任何作用.

對于隨機試驗，用適當?shù)姆柋硎驹囼灥臉颖军c、列舉樣本空間，既是重點也是難點. 不同的隨機試驗，樣本空間的復雜性有很大的差別. 在教學中應從最簡單的試驗開始，經(jīng)歷用語言描述試驗的基本結(jié)果，并用符號表示，進而思考更簡潔的表示，同時要考慮等可能性.

例如，列舉“拋擲2枚硬幣”試驗的樣本空間.

語言描述：兩個正面朝上，兩個反面朝上，一個正面朝上一個反面朝上，但這3個結(jié)果不是等可能的. 借助樹狀圖，容易看出只有看成4個樣本點時，才是等可能的.

字母表示：用[h]表示正面朝上，用[t]表示反面朝上，樣本空間包含4個等可能的樣本點：[tt]，[th]，[ht]，[hh].

數(shù)對（串）表示：用[1]表示正面朝上，用[0]表示反面朝上，樣本空間[Ω]包含4個數(shù)對或數(shù)字串為[Ω=][00，01，10，11].

把簡單問題分析透徹了，對于較復雜的試驗，按模型歸類，即可輕松解決問題.

例如，拋擲[1]枚硬幣、觀察新生兒性別、射擊命中與否、產(chǎn)品抽樣檢驗是正品還是次品等，這些試驗的樣本空間具有相同的結(jié)構(gòu);拋擲[3]枚硬幣、拋擲[3]次骰子、觀察[3]個元件構(gòu)成的電路是不是通路等，都是3次重復試驗的問題. 類似地，可以得出[n]次重復試驗的模型.

這里還可以引導學生進一步思考：對于有[2]個可能結(jié)果的試驗（伯努利試驗），為什么選擇用“0”和“1”表示？原則上，選擇任意[2]個不同的字母或數(shù)字都可以描述試驗的結(jié)果，但采用“0”和“1”表示試驗的結(jié)果不僅僅是追求簡潔，而是有其實際意義的，會給后續(xù)研究帶來極大的方便.

3. 隨機事件概念的抽象

初中的概率中將隨機事件描述為“在一定的條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情”. 有了樣本空間的概念后，隨機事件可以用樣本空間的子集表示. 從語言描述到樣本空間的子集表示，思維跳躍很大，抽象度高. 如何使學生理解“隨機事件”的數(shù)學描述？關(guān)鍵是結(jié)合簡單的隨機試驗，理解事件發(fā)生的含義是什么. 例如，擲1枚骰子，事件“擲出的點數(shù)為奇數(shù)”發(fā)生的意義是什么？彩票搖獎，事件“搖出的球的號碼是[3]的倍數(shù)”發(fā)生的意義是什么？使學生認識到事件的發(fā)生當且僅當滿足某種條件的樣本點出現(xiàn). 由特殊到一般，歸納“事件[A]是樣本空間的子集，事件[A]發(fā)生當且僅當事件[A]中的某個樣本點出現(xiàn)”. 這對理解空集是不可能事件，樣本空間本身是必然事件，理解事件的關(guān)系和運算的意義至關(guān)重要. 在概念抽象的過程中，要特別重視訓練學生自然語言與符號語言的相互轉(zhuǎn)換能力.

三、幾點教學建議

1. 通過典型、豐富的具體實例，引導學生認識隨機現(xiàn)象

在學生的數(shù)學學習經(jīng)歷中，以往接觸的問題主要是確定性現(xiàn)象，很少有意識地思考隨機現(xiàn)象的特點. 又由于概率內(nèi)容自身的特點（例如，概率概念比較抽象;對隨機性的不同理解會導致不同的結(jié)果;利用概率進行一次決策，合理的決策未必一定得到好的結(jié)果等），所以對大多數(shù)學生而言，“隨機性”是一個難以把握的概念.

對于抽象內(nèi)容的理解，必須得到具體例子的支持. 因此，概率的教學自始至終都要注意結(jié)合實例來展開. 教學中應通過豐富、典型的隨機現(xiàn)象實例，引導學生分析、歸納隨機現(xiàn)象的特征，同時鼓勵學生提出有價值的概率問題. 在具體教學中，可以引導學生分類列舉隨機現(xiàn)象. 例如，游戲中的隨機現(xiàn)象（拋擲硬幣、擲骰子、抽取撲克牌等），生活中的隨機現(xiàn)象（彩票、出生月份、摸球抽簽等），實際應用中的隨機現(xiàn)象（隨機抽樣、保險問題、投資理財?shù)龋?

要注意避免人為虛構(gòu)、脫離概率本質(zhì)的情境，情境也不宜過于復雜，更不能將生活常識、數(shù)學定理、成語俗語等當成事件.

問題情境的選擇要滲透模型思想. 例如，拋擲[1]枚硬幣→觀察新生兒性別、射擊命中與否、產(chǎn)品抽樣檢驗是正品還是次品等;拋擲[2]枚硬幣→拋擲[3]枚硬幣、擲[3]次骰子、觀察[3]個元件構(gòu)成的電路是不是通路、[n]次重復試驗;有放回摸球→觀察[6]名學生的出生月份;等等. 重復拋擲硬幣、擲骰子、生日問題、放球入盒問題、[2]人比賽問題等都可以化為有放回摸球問題;抽簽問題、隨機抽樣問題等都可以化為不放回摸球問題. 注意相同結(jié)構(gòu)的樣本空間要關(guān)注樣本點是否是等可能的.

2. 重視核心概念“隨機事件”的數(shù)學抽象

“隨機事件”是概率論的核心概念之一，如果理解不深刻，將影響整個概率知識的學習. 而引入樣本點、有限樣本空間概念，再用樣本空間的子集表示隨機事件，這是隨機現(xiàn)象數(shù)學化的關(guān)鍵一步，教學中必須給予重視.

教學中，要注意利用典型例子，以“隨機現(xiàn)象數(shù)學化”為導向，以“不同語言的相互轉(zhuǎn)化”為手段，針對隨機現(xiàn)象的特征、樣本點、樣本空間、隨機事件及其關(guān)系等提出問題，并要讓學生自己提出問題. 這樣的訓練是基礎(chǔ)性的，對于認識和理解隨機現(xiàn)象有重要意義，不能一帶而過.

加強用數(shù)學語言描述隨機現(xiàn)象的教學，對于促進學生理解樣本點和樣本空間的含義、隨機事件和樣本點的關(guān)系、隨機事件的發(fā)生、隨機事件的關(guān)系和運算等都是非常有必要的. 事實上，用符號（字母、數(shù)字或數(shù)對）表示試驗結(jié)果，抽象出樣本點、樣本空間，由事件發(fā)生的意義抽象出“隨機事件”是樣本空間的子集，都是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的契機.

3. 落實“四基”“四能”

注重過程與結(jié)果的融合，要給學生有挑戰(zhàn)性的思考任務，注重學生的思維參與度. 在小結(jié)中可以提出下面的問題，讓學生思考. 例如，對于只有[2]個可能結(jié)果的試驗，為什么用[0]和[1]表示這兩個結(jié)果？對于拋擲[2]枚硬幣、[2]次射擊、[2]名學生獨立各猜一道謎語等，這些隨機試驗的樣本空間有哪些相同點和不同點？目的是讓學生認識到，除了樣本空間的結(jié)構(gòu)和樣本點個數(shù)外，樣本點的等可能性是重要的特征. 為什么要引入樣本空間？對于這個問題，盡管學生體會不深，當前不可能給出完整的答案，但是這是需要在概率學習過程中不斷思考、不斷體會的問題.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍，程?？? 高中必修課程中概率的教材設(shè)計和教學思考：兼談“數(shù)學核心素養(yǎng)如何落地”[J]. 課程·教材·教法，2017，37（5）：27-33.