多元表征讓算理算法直觀顯現(xiàn)

【摘要】本文論述在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中運(yùn)用多元表征呈現(xiàn)算理的策略，提出動(dòng)作表征、圖形表征、語言表征和符號(hào)表征等四種教學(xué)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷由直觀算理到抽象算法過渡和演變的過程，突破教學(xué)的重難點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 多元表征 算理 算法

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）09-0130-02

所謂數(shù)學(xué)多元表征，是指將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行心理多元認(rèn)知編碼并與之建立對(duì)應(yīng)、建構(gòu)意義聯(lián)系的過程。新課標(biāo)明確指出：“教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，絕大部分學(xué)習(xí)對(duì)象都可以用實(shí)物情境、教具模型、圖表、言語、書寫符號(hào)等五種類型來表征，由此可見，數(shù)學(xué)多元表征，可以多維度建構(gòu)算理，多層次抽象計(jì)算過程，多視角歸納計(jì)算方法，讓算理算法“看得見”。

在探究計(jì)算題時(shí)，需要運(yùn)用多元表征對(duì)算理進(jìn)行解釋，讓學(xué)生從多角度深入理解算理，通過多元化的表征方式，從不同的角度解釋算理，易于挖掘計(jì)算的核心，呈現(xiàn)算理，建構(gòu)計(jì)算過程，凸顯計(jì)算的本質(zhì)屬性。在小學(xué)數(shù)學(xué)低年段計(jì)算教學(xué)中，學(xué)生在探究計(jì)算算理和算法的過程中有四種表征方式，即動(dòng)作表征、圖形表征、圖表表征和符號(hào)表征。如何幫助學(xué)生充分利用多元表征理解算理、掌握算法，這是筆者一直思考的問題?，F(xiàn)根據(jù)自己在低年段計(jì)算教學(xué)中的實(shí)踐，談?wù)勊伎己腕w會(huì)。

一、動(dòng)作表征，讓學(xué)生經(jīng)歷操作的過程，探究算理

根據(jù)教育心理學(xué)理論，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生多感官的參與有利于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。在多元表征中，所謂動(dòng)作表征，就是指學(xué)生通過動(dòng)手操作挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的一種方式。數(shù)學(xué)計(jì)算具有抽象性，學(xué)生容易只關(guān)注算法，漠視算理，久而久之就變成“只知其然，不知其所以然”，只會(huì)簡單、機(jī)械地計(jì)算，導(dǎo)致只要題目有稍許變化，他們就無法理解和掌握。然而，正確理解算理是歸納算法的前提和基礎(chǔ)，因此，教師要提供充分的自主操作的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過動(dòng)手操作深入探究計(jì)算的本質(zhì)，真正理解算理，掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

如在教學(xué)北師大版一年級(jí)上冊(cè)《9加幾》時(shí)，學(xué)生根據(jù)題意列出算式9+5，但不會(huì)計(jì)算，這是學(xué)生遇到的新困難。教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生探究9加幾的算理，并歸納出計(jì)算方法，而這正是教學(xué)的重點(diǎn)所在。為了幫助學(xué)生真正理解算理，從而歸納出計(jì)算方法，筆者引導(dǎo)學(xué)生分小組合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生借助事先準(zhǔn)備的學(xué)具（小棒、計(jì)數(shù)器）嘗試計(jì)算9+5。學(xué)生通過擺小棒、撥計(jì)數(shù)器這些動(dòng)作表征，得出不同的發(fā)現(xiàn)：有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)左邊擺9根小棒，右邊擺5根小棒，合起來就是14根小棒;有的學(xué)生從5根小棒中拿出1根小棒放到左邊，與9根合在一起是10根，右邊還有4根，10+4=14;有的學(xué)生是利用計(jì)數(shù)器撥珠子，先在個(gè)位撥9，再一顆一顆地?fù)?顆，當(dāng)個(gè)位10顆珠子撥滿了，就把個(gè)位的10顆換成在十位撥1顆，繼續(xù)在個(gè)位撥余下的4顆，得14顆，等等。通過這樣的動(dòng)作表征，學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)并理解9+5的算理，再引導(dǎo)學(xué)生將剛才的過程用簡單的數(shù)學(xué)語言歸納出算法，實(shí)現(xiàn)了本節(jié)課的預(yù)設(shè)目標(biāo)，有效地突破教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生借助學(xué)具自主學(xué)習(xí)的能力。

又如在教學(xué)北師大版三年級(jí)上冊(cè)《兩位數(shù)乘一位數(shù)口算》這部分內(nèi)容時(shí)，教材呈現(xiàn)了一幅主題圖。（如圖1所示）

學(xué)生在理解題意后列出算式：12×3。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生理解“將12分成10+2，再相乘”的過程，并且能夠理解將算式分為“10×3”和“2×3”計(jì)算的算理，歸納“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的計(jì)算方法。如何才能突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)呢？筆者設(shè)計(jì)了小組合作動(dòng)手操作環(huán)節(jié)：讓學(xué)生擺小棒進(jìn)行操作，通過擺小棒幫助計(jì)算12×3，明白其中的算理。

學(xué)生先擺3個(gè)10，拿出3捆，表示3個(gè)10，即3×10=30;再拿出3個(gè)2根表示3×2=6;把兩部分合在一起30+6=36。這種擺小棒的過程，通過動(dòng)作表征將算理直觀地呈現(xiàn)（如圖2）。在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，教師通過小組合作的形式，讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[小棒，形象地呈現(xiàn)“3個(gè)10+3個(gè)2”的過程，讓學(xué)生深刻地理解“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的計(jì)算算理。一個(gè)小小的操作幫助學(xué)生深刻地理解了這一乘法計(jì)算的本質(zhì)。通過動(dòng)作表征，為學(xué)生接下來學(xué)習(xí)“多位數(shù)乘一位數(shù)”打下了良好的算理基礎(chǔ)。

二、圖表表征，將抽象內(nèi)容具體化、直觀化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想

所謂圖表表征，是指學(xué)生利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，將文字內(nèi)容在腦中“畫圖表”，用畫線段圖、示意圖、表格等形式表現(xiàn)出來。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有效地運(yùn)用圖表表征，可以幫助學(xué)生理解算理，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)過程性目標(biāo)。

如在教學(xué)北師大版三年級(jí)上冊(cè)《兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算》例題“計(jì)算12×3”時(shí)，當(dāng)學(xué)生通過操作表征初步感知“分別用十位和個(gè)位的數(shù)與3相乘，再將兩個(gè)積合起來”進(jìn)行計(jì)算之后，筆者設(shè)計(jì)在小組合作中提供點(diǎn)子圖給學(xué)生圈一圈，讓他們通過圈圖，直觀地呈現(xiàn)“10×3+2×3”的算理，通過圖表表征經(jīng)歷直觀形象的算理到抽象算法的演變過程。

方法一：（如圖3）學(xué)生通過圈圖不難發(fā)現(xiàn)：12=10+2，左邊10×3=30，右邊2×3=6，左右兩部分合起來是30+6=36。歸納得出算法：分別用十位的數(shù)與個(gè)位的數(shù)乘第二個(gè)乘數(shù)，再把兩次相乘的積合起來。

方法二：（如圖4）12=6+6，先將12分成2個(gè)6，用虛線分隔成左右兩部分，每個(gè)部分的點(diǎn)子數(shù)都是6×3，是我們的表內(nèi)乘法，就可以算得出6×3=18，左右兩部分都是18，18+18=36。

方法三：（如圖5）12=3×4，將12分成4個(gè)3，每部分點(diǎn)子數(shù)都是3×3=9，有4個(gè)9，9×4=36。

方法四：（如圖6）也可以用表格幫助計(jì)算，將12分成10+2，分別與3相乘，填在相應(yīng)的表格里，再將兩個(gè)積相加。

學(xué)生用圈圖形和畫表格分析算理，表述方式呈現(xiàn)多樣化。學(xué)生已經(jīng)有了圖表表征的經(jīng)驗(yàn)，此時(shí)就可以很快得出兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理，梳理出兩位數(shù)乘一位數(shù)正確的算法。

在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師由淺入深、由基礎(chǔ)知識(shí)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，一步一步深入，引導(dǎo)學(xué)生通過圖表表征解析，讓學(xué)生充分經(jīng)歷一個(gè)從抽象到形象的過程，不但掌握了“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的算理，而且培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感。

三、符號(hào)表征，讓學(xué)生經(jīng)歷抽象的過程，歸納算法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：“教師要培養(yǎng)學(xué)生理解并運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的能力，幫助學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)符號(hào)表征具有準(zhǔn)確性、抽象性和規(guī)律性的特點(diǎn)，能夠充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特性。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)，經(jīng)歷簡約抽象的數(shù)學(xué)表征過程，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律。

例如，在教學(xué)“除加除減混合運(yùn)算”時(shí)，為了讓學(xué)生自己理解運(yùn)算順序的算理，在學(xué)生找出題中數(shù)學(xué)信息和問題后，筆者請(qǐng)學(xué)生說出計(jì)算時(shí)需要先算“一本作文本多少元”，再算“笑笑買一本作文本、一本英語本需要多少元”。為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解運(yùn)算順序，筆者引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)表示題意。（如圖7）

在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，利用符號(hào)表征“買3本作文本18元”可以先用18÷3=6（元）求出1本作文本6元，再用6+4=10元就能求出“笑笑買一本作文本、一本英語本需要10元”。用簡單的符號(hào)，清晰地呈現(xiàn)出“有除法又有加法要先算除法再算加法”的運(yùn)算順序，進(jìn)一步反映了思維的有序性。

學(xué)生在完成上面的練習(xí)題時(shí)也采用符號(hào)表征呈現(xiàn)運(yùn)算順序，他們根據(jù)數(shù)學(xué)符號(hào)變化，直接提煉出計(jì)算順序：有除法又有加法要先算除法再算加法，讓數(shù)學(xué)運(yùn)算順序的歸納自然而然、水到渠成。

四、語言表征，讓朗朗上口的語言幫助學(xué)生掌握計(jì)算方法

語言表征重在“說”，將計(jì)算算理轉(zhuǎn)化為朗朗上口的、合理的、可理解的語言，幫助學(xué)生掌握計(jì)算方法，促進(jìn)學(xué)生計(jì)算能力的發(fā)展，同時(shí)訓(xùn)練學(xué)生的思維更加靈活多樣，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

如北師大版一年級(jí)《9加幾》一課，在學(xué)生經(jīng)歷9+5的算理探究、歸納算法時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生歸納出算理：看大數(shù)9，分小數(shù)5，9和1湊成十，加剩下的4是14。通過這樣朗朗上口的口訣幫助學(xué)生理解算理，牢固掌握算法，提升學(xué)生的計(jì)算能力。又如，在教學(xué)用計(jì)數(shù)器幫助計(jì)算時(shí)，讓學(xué)生邊撥計(jì)數(shù)器，邊說出算理。如9+5，個(gè)位先撥9，9和1湊成十，個(gè)位滿十，向十位進(jìn)1，個(gè)位再撥4，9+5=9+1+4=14。在學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)物的直觀，逐步發(fā)展到語言的直觀，由基于語言的表述描述來代替基于動(dòng)作和形象的演示，可以幫助學(xué)生快速理解算理、熟練算法，提高效率。

總之，數(shù)學(xué)表征從內(nèi)容上反映了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象信息的部分，但從形式上看是豐富的、互補(bǔ)的、變通的，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)多元表征，借助多元表征學(xué)習(xí)，能夠讓學(xué)生充分經(jīng)歷由直觀算理到抽象算法的過渡，進(jìn)而突破數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度觀察、發(fā)現(xiàn)、分析算理，歸納算法，從而讓算理算法“看得見”。

【作者簡介】秦虹（1974— ），女，廣西桂林人，碩士研究生學(xué)歷，一級(jí)教師，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，目前研究課題是培養(yǎng)小學(xué)低年級(jí)學(xué)生運(yùn)算能力的實(shí)踐研究。

（責(zé)編 林 劍）