以《三角形的面積》為例論述有效數(shù)學(xué)課堂的建構(gòu)

王華佳

【摘要】本文以《三角形的面積》教學(xué)為例，論述在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中提高課堂有效性的策略，提出在課前布置合作探究任務(wù)、課中開展合作交流、課后互助提升等教學(xué)建議，以提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、合作溝通能力和思考探索能力，建構(gòu)高效的數(shù)學(xué)課堂。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 《三角形的面積》 自主學(xué)習(xí) 有效教學(xué)

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）09-0088-02

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程。參與實(shí)踐、自主探究、交流協(xié)作都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法。在人教版五年級上冊《三角形的面積》一課中，教師應(yīng)積極挖掘有探究意圖、能承載數(shù)學(xué)意識、含有數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)內(nèi)容，要充分發(fā)揮課本例題、習(xí)題的功能，以課本例題、習(xí)題為藍(lán)本進(jìn)行探究主題的創(chuàng)設(shè)，把教材中靜態(tài)的知識轉(zhuǎn)化為“主動(dòng)觀察、動(dòng)手操作、產(chǎn)生疑惑、提出猜想、得出規(guī)律、反思驗(yàn)證”的動(dòng)態(tài)過程。另外，探究的素材應(yīng)具有一定的挑戰(zhàn)性和趣味性，能夠激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的欲望。例如，學(xué)生經(jīng)歷將兩個(gè)相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的操作活動(dòng)，在觀察和交流中發(fā)現(xiàn)三角形面積與平行四邊形面積之間的關(guān)系，并能準(zhǔn)確表達(dá)三角形和平行四邊形的關(guān)系。這樣的設(shè)計(jì)既有利于學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)，又有利于學(xué)生對問題進(jìn)行深入有效的研究和討論，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、課前布置探究任務(wù)

（一）《三角形的面積》教材分析

《三角形的面積》是“圖形與幾何”的范圍，是小學(xué)階段學(xué)習(xí)幾何知識的重要內(nèi)容，也是學(xué)生今后學(xué)習(xí)其他幾何知識的基礎(chǔ)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確指出，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用方格紙或割補(bǔ)等方法探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式。為落實(shí)這一目標(biāo)，該部分教材內(nèi)容均是以探索活動(dòng)的形式出現(xiàn)的。學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形面積的計(jì)算方法之前已經(jīng)親身經(jīng)歷了平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，因此教師可以借鑒前面學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行教學(xué)，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索能力。

新課改以來，在教學(xué)圖形面積計(jì)算時(shí)，教師把通過探索獲得面積計(jì)算公式作為重要環(huán)節(jié)滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，但每次的轉(zhuǎn)化教學(xué)分別要落實(shí)到什么程度以及是否有不同的側(cè)重點(diǎn)，則需要進(jìn)一步思考。翻閱人教版、蘇教版、北師大版三套教材，筆者發(fā)現(xiàn)其單元結(jié)構(gòu)和課時(shí)安排類似，均以“平行四邊形—三角形—梯形”為序，在《平行四邊形的面積》一課中主要呈現(xiàn)的是從平行四邊形到長方形的等積轉(zhuǎn)化，而三角形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)則強(qiáng)調(diào)通過“加倍”（即要構(gòu)造一個(gè)全等圖形來拼組）得到相應(yīng)的平行四邊形再比較、計(jì)算，至于梯形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，則呈現(xiàn)出算法多樣化的取向，鼓勵(lì)學(xué)生開展對圖形的多元分析，在此基礎(chǔ)上得出一般算法。教材普遍這樣編寫，提示我們：這個(gè)單元各課的教學(xué)目標(biāo)既相互呼應(yīng)，又層層遞進(jìn)。因此，對“三角形的面積”新授課來說，不僅要繼續(xù)強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化的思想，更要落實(shí)一種常用的轉(zhuǎn)化方法——加倍法。因?yàn)椤凹颖斗ā保ɑ蚍Q“鏡像法”）是一種典型的化歸方法，不僅對圖形轉(zhuǎn)化有用，而且在解決其他數(shù)學(xué)問題時(shí)也會用到。

（二）《三角形的面積》背景分析

在學(xué)習(xí)“三角形的面積”之前，教材安排了認(rèn)識三角形（包括學(xué)習(xí)三角形的三邊關(guān)系、內(nèi)角和、三角形的分類等）、長方形的面積、平行四邊形的面積等內(nèi)容，為學(xué)習(xí)三角形的面積奠定了基礎(chǔ)。三角形的面積教學(xué)主要是通過操作活動(dòng)——剪拼三角形，求出拼成的平行四邊形和每個(gè)三角形的面積，進(jìn)而從多組數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)平行四邊形和三角形的關(guān)系，在操作中發(fā)現(xiàn)拼成的平行四邊形的底和高與三角形的底和高的關(guān)系，根據(jù)關(guān)系和之前學(xué)習(xí)的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立推導(dǎo)出三角形的面積公式;最后再通過練習(xí)鞏固知識，學(xué)會用三角形的面積公式解決實(shí)際問題。這部分內(nèi)容的重點(diǎn)是讓學(xué)生在探究活動(dòng)中經(jīng)歷三角形面積公式的推導(dǎo)過程，掌握三角形面積公式并體會轉(zhuǎn)化方法的應(yīng)用。

可以看出，三角形的面積教學(xué)的難點(diǎn)是組織學(xué)生自主加入三角形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的整個(gè)過程。在這節(jié)課教學(xué)中，教師要積極創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—提出猜想—進(jìn)行驗(yàn)證”等探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)出三角形面積的計(jì)算公式。

（三）課前探究任務(wù)設(shè)計(jì)

課前，筆者通過布置“三角形面積的計(jì)算方法”的探究任務(wù)，讓學(xué)生通過銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形等幾何圖形學(xué)具來探討，要求學(xué)生在課前根據(jù)以下要求自主探究：

1.三角形如何轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的其他圖形？

2.觀察轉(zhuǎn)換后的圖形和原來的三角形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

3.有了這些發(fā)現(xiàn)，你能寫出三角形面積的計(jì)算公式嗎？

4.把你的推導(dǎo)公式過程梳理一下，在下一節(jié)課上說給大家聽。

二、課中合作交流

有了課前的自主探究，學(xué)生經(jīng)歷了圖形的轉(zhuǎn)化過程，初步了解了三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，接著筆者引導(dǎo)學(xué)生思考、交流以下問題：

1.你打算把三角形轉(zhuǎn)化成什么圖形來計(jì)算面積？轉(zhuǎn)化后的圖形與原三角形之間有什么關(guān)系？（邊說邊操作把三角形轉(zhuǎn)化成你想要的圖形）

2.說一說自己推導(dǎo)得到的三角形面積公式以及推導(dǎo)過程。

3.銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形都可以用同一種方法推導(dǎo)嗎？

教學(xué)片段如下：

師：相信同學(xué)們已經(jīng)根據(jù)之前布置的學(xué)習(xí)任務(wù)進(jìn)行了三角形面積計(jì)算的相關(guān)探究，現(xiàn)在請你們在小組內(nèi)分享你的收獲?？梢越Y(jié)合以上3個(gè)問題來組織語言。

生1：我使用的是兩個(gè)銳角三角形，拼成了一個(gè)平行四邊形。銳角三角形的底和高分別也是這個(gè)平行四邊形的底和高，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e等于底乘高，所以再除以2就可以得到這個(gè)銳角三角形的面積。

生2：我有個(gè)疑惑，你是任意的兩個(gè)銳角三角形拼起來的嗎？如果一大一小還能拼成嗎？

生3：我覺得要等底等高的兩個(gè)銳角三角形才行。

生4：我覺得還是拼不成，如果形狀不同是沒辦法拼成的。

生1：哦，我懂了，應(yīng)該要兩個(gè)完全相同的銳角三角形才能拼成。

生2：對，“完全相同”很重要。其實(shí)你剛才使用的就是兩個(gè)完全相同的三角形，只是總結(jié)的時(shí)候漏了這些關(guān)鍵字。

生4：我也來說說我的方法，我使用的是兩個(gè)完全相同的直角三角形，拼成了一個(gè)長方形……

在合作、交流、討論的過程中，教師還應(yīng)相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生充分利用幾何直觀，將自己轉(zhuǎn)化、推導(dǎo)的過程表述清楚，大膽提出自己的疑惑，爭取在交流中達(dá)成共識。從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力與推理能力。

有了課前的探究和課中的交流討論，學(xué)生進(jìn)一步提高了發(fā)散思維和以多種方法解決問題的意識及能力，面積公式的推導(dǎo)方法除了有“用兩個(gè)完全相同的三角形拼一個(gè)平行四邊形”，還有“將一個(gè)直角三角形剪拼成一個(gè)長方形”和“將一個(gè)銳角三角形折疊成一個(gè)長方形”等新的推導(dǎo)面積公式的思路。最后，教師通過“不同的三角形都可以用同一個(gè)公式推導(dǎo)嗎”這一問題的交流，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)以上3種推導(dǎo)方法都適用于任意三角形。

三、課后互助提升

課后布置小組合作學(xué)習(xí)任務(wù)單：以下說法正確嗎？為什么？小組內(nèi)一人思考一個(gè)問題，通過錄制語音或者視頻簡要說明自己的想法。語音或視頻發(fā)到所在學(xué)習(xí)小組群。最后，達(dá)成共識后由組長填寫答案，第二天上交。

1.兩個(gè)等底等高的三角形一定可以拼成一個(gè)平行四邊形。（? ）

2.兩個(gè)三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形。（? ）

3.三角形的面積是平行四邊形面積的一半。（? ）

4.兩個(gè)面積相等的三角形，它們的底和高一定分別相等。（? ）

這樣設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，從學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)出發(fā)，通過課后在微信學(xué)習(xí)小組群交流探討，幫助學(xué)生加深理解三角形與平行四邊形的關(guān)系，進(jìn)一步深化學(xué)生對三角形面積公式的理解。

從以上教學(xué)案例可以看出，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過課前布置學(xué)習(xí)任務(wù)，課中交流討論，課后布置討論任務(wù)，能讓學(xué)生主動(dòng)認(rèn)領(lǐng)“任務(wù)”，積極地相互配合與研討;通過教師在課堂上引導(dǎo)學(xué)生開展交流討論互動(dòng)，使課堂氛圍輕松而又有序，活潑而又認(rèn)真。讓學(xué)生在有趣的課堂氛圍中主動(dòng)探究、相互協(xié)作、大膽猜想，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的自主探究意識，而且培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神。

（責(zé)編 林 劍）