以問題表征為著力點(diǎn)提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

周宇霆

問題表征包括圖式表征、原理表征、符號(hào)表征等，各種表征對(duì)問題解決起到不同的重要作用，也是不同思維能力的體現(xiàn)。利用圖式表征可以改善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生把握難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn);在教學(xué)中滲透符號(hào)表征策略，可以逐步提高學(xué)生抽象概括和邏輯推理能力;在教學(xué)中注重新舊知識(shí)聯(lián)系，用舊原理表征新知識(shí)，可以實(shí)現(xiàn)學(xué)生在銜接階段的平穩(wěn)過渡。

一、問題的提出

自新課程改革開始以來，無數(shù)教師、學(xué)者投身于課程改革和教學(xué)研究中，唐會(huì)紅、張志云等從新課程的要求及現(xiàn)狀出發(fā)，結(jié)合教學(xué)實(shí)際對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)特別是小學(xué)高年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力提高做出研究并提出了教學(xué)建議。

問題表征是認(rèn)知心理學(xué)派的重要概念，研究表明，科學(xué)的問題表征對(duì)解答數(shù)學(xué)問題有著舉足輕重的作用。同樣，認(rèn)知主體的問題表征能力受諸多因素的影響，毛麗麗等人從心理狀態(tài)、認(rèn)知基礎(chǔ)等角度對(duì)如何良好表征做出了研究。

二、問題表征對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的意義

紀(jì)桂平等學(xué)者認(rèn)為，平時(shí)成績好的學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)會(huì)產(chǎn)生一些與問題相關(guān)聯(lián)的形象，而一些成績較差的學(xué)生則不能建立這種關(guān)系，或會(huì)建立一些關(guān)聯(lián)性弱或不關(guān)聯(lián)的錯(cuò)誤形象，其實(shí)這也就是正確表征和錯(cuò)誤表征的差異所在。所以，高層次的問題表征對(duì)于解決數(shù)學(xué)問題有著相當(dāng)大的積極作用。研究表明，視覺表征有利于提升學(xué)生對(duì)問題的理解;原理表征有利于幫助學(xué)生選擇解答的策略;圖示表征則有利于輔助學(xué)生抓住問題的關(guān)鍵點(diǎn)。

三、提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力分析

（一）利用圖式表征幫助學(xué)生抓準(zhǔn)問題的關(guān)鍵

在常見的數(shù)學(xué)問題中，我們所遇到的大多是對(duì)所涉及的量和形的分析，所以我們常會(huì)用數(shù)量關(guān)系的圖形結(jié)構(gòu)對(duì)問題中給出的語言文字信息做一個(gè)加工，將其進(jìn)一步翻譯成自己的數(shù)學(xué)語言。不同階段的學(xué)生會(huì)選擇從不同的角度對(duì)題目進(jìn)行表征，利用自己熟悉的、適應(yīng)的概念及原理對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理。

例1：幾個(gè)男生和女生參加一次學(xué)校的演講練習(xí)，第一次上去一名男生，臺(tái)下男女生人數(shù)相等，第二次上去一名女生，臺(tái)下男生人數(shù)是女生人數(shù)的兩倍，問男生和女生各有多少人？

小學(xué)高年級(jí)學(xué)生往往無法通過直接讀題正確列式，因?yàn)轭}目中并沒有明確的數(shù)量關(guān)系，所以學(xué)生無法通過語言文字分析形成問題圖式，但如果借助圖形表征的方式就比較方便。

小學(xué)高年級(jí)學(xué)生已可以適當(dāng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法處理問題，在面對(duì)一些沒有明確數(shù)量關(guān)系的題目時(shí)，往往能夠通過分析數(shù)量關(guān)系，用圖式表征問題。

圖式表征建立起相應(yīng)的圖式可以幫助學(xué)生，通過圖式對(duì)問題的關(guān)鍵信息進(jìn)行編碼、改造和重組，幫助他們找準(zhǔn)難點(diǎn)、重點(diǎn)。除此之外，圖式表征還可以幫助學(xué)生把抽象的符號(hào)語言和數(shù)字語言轉(zhuǎn)化為具體的圖像，在具體想象思維和抽象邏輯思維之間建立直接的聯(lián)系，用圖像去完善問題空間，豐富其思維方式和知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（二）用舊原理表征新知識(shí)，良好建構(gòu)知識(shí)

問題表征和題目類型及認(rèn)知主體緊密相關(guān)，學(xué)生需通過自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維策略對(duì)問題進(jìn)行表征。所以，我們要注意對(duì)舊知識(shí)的回憶鞏固，努力建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，提升學(xué)生的理解力和記憶力。

在學(xué)習(xí)多邊形的面積時(shí)，我們要給學(xué)生建立一個(gè)基礎(chǔ)圖形的概念，以蘇教版教材為例，要讓學(xué)生牢記基礎(chǔ)圖形都是從長方形產(chǎn)生的。我們?cè)谔骄咳切蚊娣e時(shí)，也是將其和之前的平行四邊形建立聯(lián)系，用平行四邊形面積的計(jì)算推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算，梯形也是如此。但是在解決較復(fù)雜的問題時(shí)，學(xué)生往往會(huì)出錯(cuò)。

數(shù)學(xué)知識(shí)有陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)和過程性知識(shí)，每一種知識(shí)掌握都有其必經(jīng)的階段，而經(jīng)歷每一個(gè)階段也是在發(fā)展不同的思維能力。利用舊原理表征新知識(shí)，讓學(xué)生能有效地構(gòu)建知識(shí)，面對(duì)問題時(shí)正確與對(duì)應(yīng)原理進(jìn)行連接，做到快速準(zhǔn)確地提取知識(shí)。

（三）通過原理表征幫助學(xué)生明確解決問題的方法

當(dāng)解決一些開放性較強(qiáng)或題干不是特別清晰的問題時(shí)，學(xué)生往往會(huì)不知道從何做起，利用原理表征可以幫助其正確選擇出發(fā)點(diǎn)，找準(zhǔn)方向。

分析問題知道求什么就是求什么，這就是原理表征的過程。教師在問題講解時(shí)要注重原理表征，讓學(xué)生知道什么問題用什么原理，然后去總結(jié)方法，訓(xùn)練技巧，做到心中有理，腦中有法，舉一反三。

（四）通過視覺表征幫助學(xué)生理解問題的結(jié)構(gòu)

研究表明，視覺表征可以幫助學(xué)生更好地理解問題，掌握題干，能有效提升學(xué)生的自覺理解力，這對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是非常有效的。高年級(jí)小學(xué)生在處理一些復(fù)雜的圖形問題時(shí)，往往不能抓住關(guān)鍵，正確表征問題。所以我們提倡學(xué)生打草稿、畫圖，可以有效幫助學(xué)生解決問題，提高其數(shù)學(xué)思維能力。

例2（蘇教版五上第20頁）：如圖，長方形被分成一個(gè)三角形和一個(gè)梯形。已知三角形的面積比梯形少180平方厘米，求三角形和梯形的面積。

本題中已經(jīng)給出了示意圖，但學(xué)生往往還是無法直接理解三角形面積比梯形面積少180平方厘米。顯然，不借助圖形是很難理解這句話的，所以教師在講解此題時(shí)可以讓學(xué)生在圖形上找到缺少的180平方厘米，讓學(xué)生去添加輔助線，在圖形上尋找三角形和梯形所差的面積。

學(xué)生在平時(shí)的練習(xí)中往往追求解題速度，但“欲速則不達(dá)”，學(xué)生容易停留在對(duì)教師解題格式的模仿階段，不能真正理解問題。利用視覺表征可以幫助學(xué)生提高理解力，去挖掘一些通過文字難以發(fā)現(xiàn)的條件，有效鍛煉其能力思維，幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的趣味性，體會(huì)畫圖打草稿的實(shí)用性，逐步提高對(duì)題干的理解，做到“磨刀不誤砍柴工”。