指向高階思維的數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)

翁學(xué)進(jìn) 何娜

摘? 要：發(fā)展學(xué)生的高階思維是當(dāng)前初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的重要價(jià)值取向. 這種高層次目標(biāo)的達(dá)成，需要以高標(biāo)準(zhǔn)、高質(zhì)量的教學(xué)活動(dòng)為支撐. 以“二元一次方程（組）”的復(fù)習(xí)課的數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)為例，闡述其對(duì)改進(jìn)數(shù)學(xué)課堂結(jié)構(gòu)、教學(xué)形態(tài)和發(fā)展學(xué)生高階思維的作用和價(jià)值.

關(guān)鍵詞：高階思維;復(fù)習(xí)教學(xué);問題設(shè)計(jì)

高階思維是指發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或認(rèn)知能力，主要指創(chuàng)新能力、問題解決能力、評(píng)價(jià)能力和批判性思維能力. 在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，學(xué)生高階思維的發(fā)展過程需要教師給予充分關(guān)注. 傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)往往采用“知識(shí)梳理—例題講解—反饋練習(xí)—?dú)w納小結(jié)”的模式;教學(xué)內(nèi)容過分注重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的記憶及對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的應(yīng)用，而忽視了教學(xué)過程中對(duì)學(xué)生分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造等高階思維能力的培養(yǎng);教學(xué)活動(dòng)以學(xué)生機(jī)械記憶、模仿操練為主，學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏主動(dòng)性. 這種過于側(cè)重對(duì)知識(shí)的記憶、典型例題的講解和常規(guī)變式的操練的教學(xué)方式，導(dǎo)致學(xué)生頭腦中無法形成網(wǎng)狀的有序知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而分析問題、解決問題、批判性思維和創(chuàng)造性能力等高階思維能力得不到發(fā)展.

教師要尊重學(xué)生的主體地位，以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，處理好思維層次與知識(shí)探究的關(guān)系，注重知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的形成過程，留給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證的學(xué)習(xí)過程，以自主探究、合作交流的方式找到條件和結(jié)論的邏輯通道. 文章以“二元一次方程（組）”的復(fù)習(xí)課為例，通過創(chuàng)設(shè)“編制開放性問題實(shí)例，交流評(píng)價(jià)問題實(shí)例，拓展問題實(shí)例探索”等序列化的教學(xué)任務(wù)，完成“根據(jù)概念編制準(zhǔn)確的問題實(shí)例，根據(jù)命題解釋所編制的問題實(shí)例，以及增設(shè)條件完成一些帶有認(rèn)知沖突的問題”的學(xué)習(xí)過程，促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的發(fā)展，提升復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性.

一、編制問題實(shí)例是培養(yǎng)高階數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)

傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課中，教師對(duì)數(shù)學(xué)概念、規(guī)律的復(fù)習(xí)，往往是通過選擇題、判斷題等理解類思維層次的教學(xué)任務(wù)加以完成，學(xué)生只需在若干個(gè)實(shí)例中，辨析出符合命題要求的例子，即可完成任務(wù). 復(fù)習(xí)課上，學(xué)生更多的是回憶已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，重復(fù)操練，學(xué)習(xí)效果并不理想. 教師可以通過編制開放性問題實(shí)例，為培養(yǎng)學(xué)生的高階數(shù)學(xué)思維奠定基礎(chǔ).

1. 編制實(shí)例要融合學(xué)生的知識(shí)與經(jīng)歷

編制開放性問題實(shí)例，是指學(xué)生根據(jù)教師給出的某個(gè)初中數(shù)學(xué)概念或有規(guī)律的開放性問題，創(chuàng)造性地編制、提出切合自己的實(shí)例，這個(gè)過程就需要融合學(xué)生的已有知識(shí)、生活經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)經(jīng)歷等，從而增加思維的深度，使高階思維能力得以鍛煉.

2. 編制實(shí)例要緊扣知識(shí)的鏈接

教師在設(shè)計(jì)開放性問題的編制任務(wù)時(shí)，需要捕捉本單元的核心概念、規(guī)律，以此發(fā)散，逐步遞進(jìn)，形成能夠涵蓋整個(gè)單元重點(diǎn)知識(shí)的編制任務(wù). 通常，教師可以通過“捕捉核心概念、規(guī)律—尋找概念群、規(guī)律群的連接點(diǎn)—遴選實(shí)例”的方式，有效創(chuàng)設(shè)適切復(fù)習(xí)課教學(xué)目標(biāo)的任務(wù).

3. 編制實(shí)例要注重生成資源與能力發(fā)展

在開放性問題實(shí)例的編制中，教師要注重課堂生成資源，將學(xué)生有特點(diǎn)的實(shí)例和有錯(cuò)誤的實(shí)例及時(shí)進(jìn)行討論、辨析，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)核心概念的理解.

“二元一次方程（組）”是浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第二章的內(nèi)容. 在“二元一次方程（組）”的復(fù)習(xí)課中，復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)為二元一次方程（組）的概念及解，體會(huì)消元思想. 二元一次方程（組）是對(duì)一元一次方程的延伸，也是多元一次方程組的基礎(chǔ). 二元一次方程組的通用解法是利用消元（加減或代入）的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解. 因此，教師可以設(shè)計(jì)一個(gè)開放性問題，讓學(xué)生根據(jù)自己的理解寫出一個(gè)二元一次方程組.

問題1：寫出一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程組.

教學(xué)分析：學(xué)生回顧、思考后，寫出如下幾組二元一次方程組.

第1組：[3x+y=10].

第2組：[2x+y=1+2y2].

第3組：[2x-3y=1，x+y=2;] [2x-3y=1，x=75;] [2x-3y=1，x+y=2，3x-2y=3.]

第4組：[3x-2y=x+3y=6].

第5組：[2x-3y=2，x+z=1.]

第6組：[x+y=2，x2-xy-2y2=6.]

讓學(xué)生寫出一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程組，能有效喚醒學(xué)生對(duì)二元一次方程組的定義的理解，并分析其與二元一次方程的區(qū)別. 這比讓學(xué)生直接回憶二元一次方程組的定義，或教師直接給出題目“選出下列哪些是二元一次方程組”更能吸引學(xué)生的參與性. 教師還可以根據(jù)學(xué)生給出的答案，了解學(xué)生對(duì)二元一次方程組的掌握情況，了解學(xué)生對(duì)概念的內(nèi)涵與外延的認(rèn)識(shí)是否精準(zhǔn)，并對(duì)出現(xiàn)的答案進(jìn)行分類. 這些課堂生成也是后續(xù)課堂學(xué)習(xí)的重要資源.

二、評(píng)價(jià)實(shí)例是培養(yǎng)高階數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師在學(xué)生回答問題后往往以“對(duì)、錯(cuò)、很好、真棒”等話語(yǔ)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況給出粗線條的評(píng)價(jià). 這類籠統(tǒng)的評(píng)價(jià)方式缺乏多元化和多樣化的特征，無法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也無法促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展. 通過開展小組交流、相互評(píng)價(jià)，在交流評(píng)價(jià)中進(jìn)一步理解概念的內(nèi)涵，可以培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力.

1. 評(píng)價(jià)實(shí)例要突出對(duì)比與切合

評(píng)價(jià)實(shí)例，即讓不同的學(xué)生對(duì)編制實(shí)例任務(wù)中的生成性資源加以評(píng)價(jià). 在評(píng)價(jià)過程中，凸顯出評(píng)價(jià)內(nèi)容和數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，并總結(jié)評(píng)價(jià)事物的基本模式和方法. 評(píng)價(jià)過程應(yīng)突出和體現(xiàn)數(shù)學(xué)問題解決的優(yōu)劣對(duì)比、多元對(duì)比，以及對(duì)數(shù)學(xué)概念、規(guī)律的理解，實(shí)例切合程度等方面.

2. 評(píng)價(jià)實(shí)例要體現(xiàn)精致與思維

研究表明，辨析和評(píng)價(jià)實(shí)例是幫助學(xué)生理解核心概念的有力工具，對(duì)學(xué)生是否真正理解概念的內(nèi)涵和外延是個(gè)考驗(yàn). 通過辨析，達(dá)到去偽存真、去粗取精、概念的精致化效果. 同時(shí)，在學(xué)生評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)中，通過有效追問引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，運(yùn)用多種方法解決問題，從而提升學(xué)生思維的靈活性. 有效追問應(yīng)指向?qū)W生的思維，幫助學(xué)生搭建思維發(fā)展的“腳手架”，在思維發(fā)展的生長(zhǎng)處追問，在思維發(fā)展的疑難處追問，促進(jìn)學(xué)生思維水平的提升.

3. 評(píng)價(jià)實(shí)例要滲透依據(jù)與框架

開展小組內(nèi)交流、評(píng)價(jià)，要針對(duì)實(shí)例提出其亮點(diǎn)在何處，是否有錯(cuò)誤，是什么原因造成這樣的錯(cuò)誤. 通過錯(cuò)誤的歸因分析，讓學(xué)生在修正錯(cuò)誤的過程中滲透依據(jù)、學(xué)會(huì)分析和評(píng)價(jià)，進(jìn)一步理解概念的內(nèi)涵.

在“二元一次方程（組）”的復(fù)習(xí)課中，在學(xué)生分別寫出一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程組后，教師要求學(xué)生在小組內(nèi)進(jìn)行交流分享、相互評(píng)價(jià).

問題2：以上給出的6組關(guān)于x、y的二元一次方程組對(duì)嗎？為什么？如果正確，試求出它的解.

教學(xué)分析：學(xué)生對(duì)以上給出的6組二元一次方程組判斷如下.

第1組是二元一次方程，它有無限多組解.

將第2組進(jìn)行化簡(jiǎn)后，發(fā)現(xiàn)是一元一次方程，它的解是[x=14].

第3組都是二元一次方程組，雖然它們形式不同，但它們的解都是[x=75，y=35.]

第4組是二元一次方程組，它的解是[x=3011，y=1211.]

第5組是三元一次方程組.

第6組是二元二次方程組. 通過對(duì)方程[x2-xy-2y2=][6]左邊進(jìn)行分解，可得[x+y=2，x+yx-2y=6.] 可以轉(zhuǎn)化為[x+y=2，x-2y=3.] 從而可得原方程組的解為[x=73，y=-13.]

給出第1組，說明學(xué)生沒有理解方程組的概念;對(duì)于第5組，說明學(xué)生對(duì)二元一次方程組的“元”理解不到位;對(duì)于第6組，說明學(xué)生對(duì)二元一次方程組的“次”理解不到位.

采用學(xué)生自己寫的二元一次方程組這一生成性資源，容易讓學(xué)生產(chǎn)生親切感，對(duì)實(shí)例的評(píng)價(jià)產(chǎn)生期待. 教師先讓學(xué)生在小組內(nèi)進(jìn)行實(shí)例交流、相互評(píng)價(jià)，并寫出自己評(píng)判的依據(jù). 學(xué)生在評(píng)價(jià)實(shí)例的過程中會(huì)不斷修正自己的評(píng)判依據(jù)，加深對(duì)二元一次方程（組）定義內(nèi)涵與外延的理解. 然后，通過求解自編方程組的任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過辨析有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性和敏捷性. 同時(shí)，回顧二元一次方程組及求解的基本思路和基本方法，并針對(duì)學(xué)生給出的多樣化的方案，及時(shí)進(jìn)行分析、梳理，形成整式方程（組）單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖，如下圖所示.

三、拓展實(shí)例是培養(yǎng)高階數(shù)學(xué)思維的重點(diǎn)

美國(guó)學(xué)者瑞斯尼克曾指出，高階思維具有不規(guī)則性和復(fù)雜性，能夠產(chǎn)生多種解決方法，需要多種應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)，自動(dòng)調(diào)節(jié)，且包含不確定性. 在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師為了順利完成教學(xué)任務(wù)，往往提供給學(xué)生的問題是條件完備、結(jié)論唯一的良構(gòu)型問題，這種做法在很大程度上限制了學(xué)生思維的靈活性和批判性，忽視了對(duì)學(xué)生高階思維的培養(yǎng).

1. 拓展實(shí)例要聚焦層次與沖突

在編制和評(píng)價(jià)實(shí)例之后，教師可以對(duì)實(shí)例進(jìn)行調(diào)整，設(shè)計(jì)條件或結(jié)論不完備、解題策略多元、能反映學(xué)生能力差異的開放性問題，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、猜想、推理等探究活動(dòng)，通過增設(shè)條件對(duì)問題進(jìn)行加工、補(bǔ)充、完善，形成具有層次性的問題鏈，使學(xué)生在問題的探究過程中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，從而形成強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，以觸發(fā)高階思維的訓(xùn)練.

2. 拓展實(shí)例要建立成分與失衡

認(rèn)知心理學(xué)研究表明，一旦實(shí)際情況與預(yù)想不一致時(shí)，人們會(huì)設(shè)法通過各種調(diào)整來減少所產(chǎn)生的不適感. 根據(jù)邏輯關(guān)系，一個(gè)數(shù)學(xué)問題的成分可以劃分為“必要成分”和“充分成分”，教師在分析出數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)成分之后，就可以針對(duì)每個(gè)成分內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)“充分成分缺失、必要成分限定、解決途徑多元”的認(rèn)知失衡任務(wù)，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，促進(jìn)學(xué)生的高階思維水平的發(fā)展.

3. 拓展實(shí)例要進(jìn)行增設(shè)與創(chuàng)新

在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，針對(duì)開放性實(shí)例，教師還需要對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)拓展，對(duì)問題的條件進(jìn)行增設(shè)與創(chuàng)造，以促進(jìn)學(xué)生深度思考，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維層次的提升.

例如，在以上“二元一次方程（組）”的復(fù)習(xí)課中，在學(xué)生寫出方程組并交流分享、相互評(píng)價(jià)后，教師還要進(jìn)行追問和拓展，提供讓學(xué)生創(chuàng)造的機(jī)會(huì).

問題3：對(duì)于方程[3x+y=10]和方程組[2x-3y=2，x+z=1，] 分別添加一個(gè)什么條件后，它的解是有限組，并求出它的解.

教學(xué)分析：（1）將方程[3x+y=10]添加一個(gè)條件，學(xué)生給出以下兩種添加方案.

方案1：增設(shè)解為正整數(shù)的條件，即求[3x+y=10]的正整數(shù)解. 由嘗試法可求得滿足條件的解為[x=1，y=7;] [x=2，y=4;] [x=3，y=1.]

方案2：增設(shè)一個(gè)二元一次方程，如[x-y=1]，組成二元一次方程組[x-y=1，3x+y=10]來求解. 由消元法可以求得它的解為[x=114，y=74.]

（2）對(duì)于方程組[2x-3y=2，x+z=1，] 只需再增設(shè)一個(gè)一次方程，如[x+y-z=1，] 從而組成三元一次方程組[2x-3y=2，x+z=1，x+y-z=1.] 通過消元法可以求得它的解為[x=1，y=0，z=0.]

問題4：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組是[ax-2y=6，3x+y=10，] 你能求出a的值嗎？

問題4給出的題干“故設(shè)漏洞”. 學(xué)生思考片刻后發(fā)現(xiàn)要求出a的值還缺少條件，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突. 此時(shí)，教師再引導(dǎo)學(xué)生增設(shè)條件，編制具有層次性、個(gè)性化的問題鏈.

問題4改為：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組是[ax-2y=6，3x+y=10，] 且滿足? ? ? ，求出a的值.

教學(xué)分析：學(xué)生思考后，紛紛寫出了增設(shè)的條件. 下面列舉部分學(xué)生增設(shè)的條件.

方案1：增設(shè)方程組的一個(gè)解，如[x=3，y=1]是方程組的解.

注意：由于解必須滿足3x + y = 10，因此個(gè)別學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)添加的這個(gè)條件是多余的.

方案2：增設(shè)方程組的部分解，即給定x或y的一個(gè)值，如x = 3.

注意：在方案1的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)可以精簡(jiǎn)條件，只需給出x或y其中一個(gè)值即可.

方案3：增設(shè)一個(gè)關(guān)于x和y的關(guān)系式，即增設(shè)關(guān)于x和y的一個(gè)二元一次方程，如x + y = 0.

注意：增設(shè)的關(guān)系式必須和3x + y = 10構(gòu)成的新方程組有唯一解.

方案4：增設(shè)一個(gè)關(guān)于ax和y的關(guān)系式，如ax = y.

注意：在方案3的基礎(chǔ)上，學(xué)生發(fā)現(xiàn)增設(shè)的條件與ax - 2y = 6構(gòu)成新方程組能消去ax，就能求出y的值.

……

學(xué)生從“增設(shè)方程組的一個(gè)解”“增設(shè)方程組的部分解”“增設(shè)關(guān)于x和y的關(guān)系式”等不同視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，激活了二元一次方程組與相關(guān)知識(shí)的串聯(lián)與重組. 在學(xué)生的對(duì)話和思維碰撞中，教師要引導(dǎo)學(xué)生回歸二元一次方程組的本質(zhì)——消元思想，從而順利解決認(rèn)知沖突，同時(shí)提升學(xué)生的批判性思維.

問題5：已知關(guān)于x，y的方程組[x+3y=4-a，x-y=3a，] 其中[-3≤a≤1]，你能提出什么數(shù)學(xué)問題？

教學(xué)分析：學(xué)生思考后，紛紛提出許多數(shù)學(xué)問題. 下面列舉了部分學(xué)生提出的問題.

提問1：判斷方程組的解及解的范圍. 例如，判斷[x=3，y=1]是原方程組的解嗎？

將[x=3，y=1]直接代入即可判定其不是原方程組的解.

提問2：給定[a]的值，求原方程組的解及解的特征. 例如，當(dāng)[a=-2]時(shí)，求原方程組的解.

當(dāng)[a=-2]時(shí)，方程組轉(zhuǎn)化為[x+3y=6，x-y=-6，] 由消元法可以求得解為[x=-3，y=3.]

提問3：給定x的取值范圍，求y的取值范圍. 例如，當(dāng)x ≤ 1時(shí)，求y的取值范圍.

由消元法解得[x=2a+1，y=1-a.] 又因?yàn)閇-3≤a≤1]，且x ≤ 1，所以得到[-3≤a≤0]，從而得1 ≤ y ≤ 4.

……

學(xué)生提出的問題呈現(xiàn)多樣化、多元化和多層次性.通過提出問題，學(xué)生內(nèi)化了方程知識(shí)，拓展了思考方法.

在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，教師可以設(shè)計(jì)低起點(diǎn)、寬入口、重探究的開放性問題，順應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，從而促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[2]姜曉翔. 指向高階思維的“六環(huán)”解題教學(xué)法探析[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2020（10）：26-30.