立足教材例題 落地核心素養(yǎng)

摘要：在教學(xué)中要重視教材中幾何例題的教學(xué)功能，通過(guò)探究、明確、深化和化歸等方法，可以讓幾何證法得到鞏固和提升，也讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)例題教學(xué)中得到落地。

關(guān)鍵詞：教材例題；生長(zhǎng)性；通性通法；核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2021）14-096

一、例題呈現(xiàn)

（人教版教材九年級(jí)上冊(cè)第二十四章“圓”第2節(jié)“點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系”例1）如圖1，ΔABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與☉O相切于點(diǎn)D。求證：AC是☉O的切線。

證明：

如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E ，連結(jié)OD ， OA。

∵AB與☉O相切于點(diǎn)D ，

∴AB⊥OD。

∵ΔABC為等腰三角形， O是底邊BC的中點(diǎn)，

∴AO是∠BAC的平分線。

∴OE = OD ，即OE是☉O的半徑。

∵AC經(jīng)過(guò)☉O的半徑OE的外端點(diǎn)且垂直于OE ，

∴AC是☉O的切線。

二、功能分析

1.體現(xiàn)知識(shí)的生長(zhǎng)性

本例題的圖形結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，包含有等腰三角形和圓兩種基本圖形，但是本例題能促進(jìn)學(xué)生模型思想的進(jìn)一步形成，特別是輔助線的合理添加以及直角的轉(zhuǎn)化都是新思維的生長(zhǎng)點(diǎn)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）中指出：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。[1]例題教學(xué)中要讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、探究、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力和初步演繹推理能力，探知切線判定和性質(zhì)定理的運(yùn)用。

2.挖掘知識(shí)的通性通法

本例題在圓的學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用，在整個(gè)初中幾何學(xué)習(xí)中起著橋梁和紐帶的作用。因此，它是幾何學(xué)習(xí)中必不可少的知識(shí)工具。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家?jiàn)W加涅說(shuō)過(guò)：“必須重視，很多習(xí)題潛藏著進(jìn)一步擴(kuò)展其教學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性?！盵2]本例題是在學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究直線和圓相切的規(guī)律而做準(zhǔn)備的，在教學(xué)中要?dú)w納證明圓與直線相切的方法，揭示知識(shí)的通性通法。

3.滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

相切是直線與圓的位置關(guān)系中最特殊、最重要和運(yùn)用最廣的位置關(guān)系。本例題中涉及切線的證明是歷年九年級(jí)期末考試、中考考題類型之一。在教學(xué)中要讓學(xué)生充分感受圓的切線是平面內(nèi)連接直線和曲線的重要紐帶，是培養(yǎng)和落地學(xué)生幾何直觀和邏輯推理核心素養(yǎng)的重要素材。

三、教學(xué)實(shí)施

1.解析題目，探究證法

師生通過(guò)對(duì)題目的逐步剖析，在回顧舊知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、對(duì)比等方式，探究題目的證明方法。

師：同學(xué)們通過(guò)閱讀題目，是否找到題目中的已知條件？

生1： AB = AC ，點(diǎn)O為底邊的中點(diǎn)。

生2： AB與☉O相切。

師：題目要求證什么？

生3：題目要求證AC是☉O的切線。

師：切線有幾種判定的方法？

生4：3種。

生5：定義法、數(shù)量關(guān)系法和判定定理。

師：那同學(xué)們結(jié)合已知條件，想一想用哪種判定方法會(huì)好點(diǎn)？

生：……（學(xué)生沒(méi)人回答，陷入了思考當(dāng)中。）

生6：圓與直線找不到交點(diǎn)。

師：由圖很難確定AC與☉O的交點(diǎn)，但大家可以構(gòu)造這個(gè)點(diǎn)。

生7：過(guò)點(diǎn)O做AC的垂線OF。

師（邊巡視邊激勵(lì)）：很不錯(cuò)，大家可以結(jié)合AB與☉O相切這個(gè)已知條件，下一步如何繼續(xù)？

教學(xué)說(shuō)明：在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，通過(guò)師生的互動(dòng)，既深化對(duì)題目的分析，也逐步找到解決題目的突破口，培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提升了學(xué)生幾何直觀的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.巧添輔助線，明確證法

生7：連結(jié)OD ，可以得到∠ADO = 900。

生8：再連結(jié)AO ，利用角平分線性質(zhì)可得OE = OD即可得結(jié)論。

生9：也可以直接證明ΔOBC與ΔOCE全等，得到OE = OD即可得結(jié)論。

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)分析和鼓勵(lì)，學(xué)生基本掌握添加輔助線的方法，熟練掌握切線的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用。學(xué)生這一系列分析操作行為，其實(shí)就是邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)。個(gè)別學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了與教材不一樣的解決方法，拓寬了自己的思路。

3.歸納小結(jié)，深化證法

師：那同學(xué)們?cè)谕瓿蛇@道例題的過(guò)程中，有什么收獲或體會(huì)呢？

生10：要證明圓的切線，關(guān)鍵就是確定直線與圓的公共點(diǎn)。

生11：不能確定的時(shí)候，可以過(guò)圓心作直線的垂線，證明半徑和垂線段相等就行了。

生12：如果確定直線與圓的公共點(diǎn)，則可以構(gòu)造這個(gè)點(diǎn)與圓心的線段，證明線段垂直與直線即可。

生13：如果知道是切線，則直接連接圓心與半徑，得到半徑垂直與切線這個(gè)結(jié)論。

生14：證明垂直，可以利用題目中存在的直角，比較容易找到等量關(guān)系。

師：大家體會(huì)都很不錯(cuò)，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是以下“18字”規(guī)律：知交點(diǎn)，連半徑，證垂直；無(wú)交點(diǎn)，作垂直，證半徑。

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)談體會(huì)環(huán)節(jié)，加深學(xué)生對(duì)切線的判定定理和性質(zhì)定理的理解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力和概括能力，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。通過(guò)一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)切線的常規(guī)證明思路，體會(huì)數(shù)學(xué)的通性通法，體會(huì)從特殊到一般的研究方法。

4.例題遷移，化歸證法

通過(guò)將例題稍加改進(jìn)，運(yùn)用例題中出現(xiàn)的方法，結(jié)合以前學(xué)過(guò)的知識(shí)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，發(fā)現(xiàn)一些特殊線與圓的關(guān)系，從而找到解決問(wèn)題的方法。

如圖3，在ΔABC中， AB = AC ，以AB為直徑的☉O與BC相交于點(diǎn)D ，DE⊥AC ，垂足為E。求證： DE是☉O的切線。

師：剛才通過(guò)大家的討論，我們得出了證明圓的切線一般的規(guī)律，我們現(xiàn)在將圖形變化一下，大家是否可以得出結(jié)論？

生15：如圖3，連接OD ，通過(guò)證明OD⊥DE即可。

生16：對(duì)，但還需要連接AD ，通過(guò)利用AB為☉O的直徑得到∠ADB =900，進(jìn)而由等腰三角形的三線合一得出點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，最后由中位線性質(zhì)得到OD/ / AC。

師：好，大家都分析的不錯(cuò)。同學(xué)們可以將剛才的分析轉(zhuǎn)化為證明過(guò)程寫(xiě)下來(lái)。

教學(xué)說(shuō)明：教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)將知識(shí)遷移，利用聯(lián)想、類比的方法思考問(wèn)題，從相同角度或不同角度找到問(wèn)題的突破口，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，體會(huì)化歸的數(shù)學(xué)思想。

結(jié)語(yǔ)：史寧中教授說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)，是讓學(xué)習(xí)者會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語(yǔ)言就是建模。[3]通過(guò)本例題的教學(xué)，學(xué)生在添加輔助線的過(guò)程中培養(yǎng)抽象思維和化歸、建模思想，在分析和書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程中提升推理能力，最終讓核心素養(yǎng)在課堂中落地生根。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部著.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[M].北京師范大學(xué)出版社，2012年1月版.

[2]朱勝?gòu)?qiáng).對(duì)一道解析幾何例題的探究教學(xué)[J].《數(shù)學(xué)通報(bào)》，2007（6）：47.

[3]史寧中.《數(shù)學(xué)基本思想18講》[M].北京師范大學(xué)出版社，2016年10月版.

作者簡(jiǎn)介：陳述佗，男，漢，1984年4月生，廣東中山人，本科，初中數(shù)學(xué)一級(jí)教師，研究方向：教材研讀和課堂教學(xué)。

（作者單位：廣東省中山市沙欄初級(jí)中學(xué) 528445）