虛力原理在運(yùn)動(dòng)學(xué)速度分析中的應(yīng)用

張居敏，周 嶺

（1.華中農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院，武漢 430070；2.塔里木大學(xué)機(jī)械電氣化工程學(xué)院，新疆阿拉爾 843300）

長期以來人們對虛位移原理進(jìn)行了深入研究，通過該原理可以用動(dòng)力學(xué)理論求解靜力學(xué)問題[1-2].既然如此，那虛位移原理是否也可以求解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題？虛位移原理是否存在孿生對偶理論？

本文提出的虛力原理可作為虛位移原理的孿生對偶理論.通過虛力原理可以用靜力學(xué)理論和動(dòng)力學(xué)理論聯(lián)合求解運(yùn)動(dòng)學(xué)中的速度問題，還可用滑動(dòng)摩擦力理論求解相對速度.虛力原理為求解運(yùn)動(dòng)學(xué)中速度問題提供了新思路、新方法.

1 虛力原理

定常、理想、雙面約束運(yùn)動(dòng)學(xué)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中的任一時(shí)刻，假想系統(tǒng)在該時(shí)刻處于靜止?fàn)顟B(tài)，并假想施加一個(gè)力系讓靜止系統(tǒng)中各物體都受力平衡，這個(gè)假想施加的力系稱為系統(tǒng)的虛力系，則此虛力系在該時(shí)刻系統(tǒng)無限小時(shí)間段內(nèi)發(fā)生的實(shí)際位移上對應(yīng)的虛功之和必為零，即

式中：Fi表示第i個(gè)虛力，因?yàn)槭羌傧胧┘拥牧?，所以稱為虛力；dri表示虛力Fi的作用點(diǎn)在系統(tǒng)無限小時(shí)間段dt內(nèi)發(fā)生的實(shí)際位移；vi表示虛力Fi作用點(diǎn)的實(shí)際速度.

上述就是虛力原理，式（1）稱為虛力原理方程.虛力系可以隨意選取，只要能讓靜止?fàn)顟B(tài)下系統(tǒng)中各物體都受力平衡就可以了.虛力與真實(shí)位移的點(diǎn)乘積或真實(shí)力與虛位移的點(diǎn)乘積都是虛功，所以虛力原理方程與虛位移原理方程都是虛功方程.

虛位移原理要求系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，因?yàn)樵撛碜C明過程中用到了靜止?fàn)顟B(tài)初始條件[3].但虛力原理對應(yīng)的系統(tǒng)一開始可能就處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài).對于一個(gè)力系，不論是假想添加到系統(tǒng)上的虛力系，還是實(shí)際存在的真實(shí)力系，只要能讓靜止?fàn)顟B(tài)下的系統(tǒng)受力平衡，該力系就有能力讓靜止?fàn)顟B(tài)的系統(tǒng)繼續(xù)保持靜止?fàn)顟B(tài)，即受力平衡狀態(tài)，就可以對該靜止?fàn)顟B(tài)的受力平衡系統(tǒng)應(yīng)用虛位移原理.對于定常約束系統(tǒng)，虛力原理中的實(shí)際無限小位移（簡稱實(shí)位移）屬于系統(tǒng)虛位移范疇.因此，虛力原理本質(zhì)上是在虛位移原理中用虛力替代真實(shí)力、用實(shí)位移替代虛位移，即虛力原理的本質(zhì)是虛位移原理必要性成立條件的另一種表述，所以無須再證明.

2 虛力原理求速度的具體應(yīng)用

對于理論力學(xué)課程而言，運(yùn)動(dòng)學(xué)中速度分析問題重難點(diǎn)在剛體平面運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)章節(jié)，下面用虛力原理對不同問題分別予以討論.

2.1 平面運(yùn)動(dòng)問題

例1 如圖1a 所示，該機(jī)構(gòu)在力偶M和M1共同作用下處于靜止且受力平衡狀態(tài)，即靜力學(xué)平衡狀態(tài).OA=1 m，AB=1.5 m，BC⊥OC，各桿重量不計(jì).已知OA桿上力偶M的大小，（1）求BC桿上的力偶M1；（2）如圖1b 所示，如果在AB桿上作用力偶M2使系統(tǒng)受力平衡，求M2的大小.

圖1a

圖1b

解（1）AB為二力桿（圖1a），其他桿受力如圖1c所示.

對OA桿平衡力系（圖1c）：

對BC桿平衡力系（圖1c）：

圖1c

式中，|BC|=|OA|sin60°+|AB|sin30°=1.62 m.

將式（1）（2）聯(lián)立可求解得：M1=2.80M.

（2）BC為二力桿（圖1b），其他桿受力如圖1d/1e所示.

對AB桿平衡力系（圖1d）：

圖1d

對OA桿平衡力系（圖1e）：

圖1e

將式（3）（4）聯(lián)立可求解得：M2=2.60M.

例2 在圖2a 中，OA桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，ω=4 rad/s，帶動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，OA=1 m，AB=1.5 m.圖示位置時(shí)BC⊥OC，求此時(shí)BC桿、AB桿各自的角速度.

圖2a

解（1）求BC桿角速度ω1.分別在OA、BC桿上添加能讓系統(tǒng)受力平衡的虛力偶M和M1，如圖1a 所示.把圖2a 系統(tǒng)圖示時(shí)刻無限小時(shí)間段內(nèi)的實(shí)際位移作為虛位移添加到圖1a所示平衡靜止系統(tǒng)上，對圖1a系統(tǒng)列虛功方程，即虛力原理方程：

其中，M1=2.80M（見例1（1）問的計(jì)算結(jié)果）.

將M1代入得：

（2）求AB桿角速度ω2.分別在OA、AB桿上添加能讓系統(tǒng)受力平衡的虛力偶M和M2，如圖1b 所示，列虛力原理方程，即虛功方程：

其中，M2=2.60M（見例1（2）問的計(jì)算結(jié)果）.

將M2代入得：

至此，例2題求解完畢.

借助虛力原理，我們在不用運(yùn)動(dòng)學(xué)理論情況下單純用靜力學(xué)理論和動(dòng)力學(xué)理論就可求解出桿BC、AB各自的角速度.

作為比照，下面用運(yùn)動(dòng)學(xué)理論再次求解例2問題.

如圖2b 所示，vA=|OA|ω=4 m/s.AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，則B點(diǎn)速度：

圖2b

該矢量方程分別向水平、豎直方向投影得：

可見用運(yùn)動(dòng)學(xué)理論與虛力原理理論，兩者求解結(jié)果相同.這也間接檢驗(yàn)了虛力原理的正確性.

2.2 點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)問題

例3 如圖3a 所示，偏心輪半徑為r，繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω=2 rad/s.圖示位置時(shí)CO⊥AO，求此時(shí)AB桿角速度ω1的值.

圖3a

解如圖3b所示，設(shè)系統(tǒng)在虛力偶M和M1共同作用下靜止平衡，忽略彈簧彈力（虛力系可以任意選取，只要能讓靜止系統(tǒng)受力平衡即可）.把圖3a 系統(tǒng)在圖示位置處無限小時(shí)間段內(nèi)的實(shí)際位移作為虛位移添加到圖3b 所示系統(tǒng)中，對圖3b 系統(tǒng)列虛功方程，即虛力原理方程：

圖3b

圖3b中AB桿對應(yīng)的平衡力系如圖3c所示，

圖3c

圖3b中圓輪對應(yīng)的平衡力系如圖3d所示，

圖3d

把M和M1表達(dá)式同時(shí)代入式（5）并整理得：sin60°·rω-rω1/tan30°=0 ?ω1=0.5ω=1 rad/s.

至此，例3題求解完畢.

作為比照，下面用運(yùn)動(dòng)學(xué)理論再次求解例3問題.

如圖3e 所示，動(dòng)點(diǎn)取圓輪輪心點(diǎn)C、動(dòng)系建立在AB桿上，有

圖3e

在式（6）中，va=rω（←）；ve=|AC|ω1，ve⊥AC，|AC|=2r；vr平行于AB桿軸線.

式（6）分別向水平、豎直方向投影得：

AB桿角速度：ω1=ve/|AC|=0.5ω=1 rad/s.

可見用運(yùn)動(dòng)學(xué)理論和虛力原理的求解結(jié)果相同.但是用虛力原理求解時(shí)只用到了靜力學(xué)力系平衡理論和動(dòng)力學(xué)理論，不涉及運(yùn)動(dòng)學(xué)理論；而用運(yùn)動(dòng)學(xué)理論求解時(shí)牽扯到一系兩點(diǎn)三運(yùn)動(dòng)等相對抽象的點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)理論.

2.3 平面運(yùn)動(dòng)與點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)綜合問題

例4 如圖4a 所示，系統(tǒng)靜止平衡.O1A桿水平，長度為r，b=4r，θ=30°，O2B⊥DB.不計(jì)各構(gòu)件自重，求力偶M與力F之間的平衡關(guān)系.

圖4a

解O1A桿所受平衡力系如圖4b所示，且

圖4b

DB為二力桿，O2B桿所受平衡力系如圖4c 所示，且

圖4c 圖4d

DC桿所受平衡力系如圖4d所示，且

將式（8）（9）同時(shí)代入式（7）得：M=F·r.

這就是力偶M與力F之間的力學(xué)平衡關(guān)系.

例5 如圖5a所示，O1A桿長度為r，勻速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω，帶動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng).b=4r，圖示時(shí)刻θ=30°，求此時(shí)CD桿速度v的大小.

解分別在O1A桿、CD桿上添加虛力偶M及虛力F使系統(tǒng)受力平衡，如圖4a所示.把圖5a所示系統(tǒng)在圖示時(shí)刻無限小時(shí)間段內(nèi)的實(shí)際位移作為虛位移添加到圖4a 所示平衡靜止系統(tǒng)上，對圖4a系統(tǒng)列虛功方程，即虛力原理方程：

圖5a

即Mω-Fv=0，其中，M=Fr（見例4計(jì)算結(jié)果）.

將M代入上式整理得：v=rω.

至此，例5題求解完畢.

作為比照，下面用運(yùn)動(dòng)學(xué)理論再次求解例5問題.

如圖5b所示，以O(shè)1A桿A端點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)、O2B桿為動(dòng)系，va=ve+vr，va⊥O1A，ve⊥O2B，vr沿O2B桿軸線；va=vA=rω，ve=va·sin30°=0.5rω，O2B桿角速度

圖5b

BD桿作平面運(yùn)動(dòng)，由速度投影定理得：

CD桿平行移動(dòng)，該桿速度：ν=νD=rω.

可見用運(yùn)動(dòng)學(xué)理論求解結(jié)果與上述虛力原理法求解結(jié)果相同，這也相互檢驗(yàn)了兩套理論各自的正確性.

點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)與剛體平面運(yùn)動(dòng)一直都是理論力學(xué)課程教學(xué)的重難點(diǎn)，是很多初學(xué)者的薄弱環(huán)節(jié).在例5 中，虛力原理解題法比運(yùn)動(dòng)學(xué)理論求解方法有明顯優(yōu)勢：完全避開了點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)理論中動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系的選擇問題，也避開了速度投影定理等平面運(yùn)動(dòng)理論.

在理論力學(xué)教材中，物體的運(yùn)動(dòng)包含平行移動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、平面運(yùn)動(dòng)和相對運(yùn)動(dòng)（即點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)）等，不同形式的運(yùn)動(dòng)對應(yīng)著不同的速度求解理論及方法.但是在利用虛力原理求解速度時(shí)候，不同運(yùn)動(dòng)形式剛體卻有著相同的求解理論，即在靜力學(xué)力系平衡理論和動(dòng)力學(xué)理論運(yùn)用中，我們可以在完全不懂運(yùn)動(dòng)學(xué)理論的情況下求解出速度問題.

3 滑動(dòng)摩擦力理論在速度求解中的應(yīng)用

在利用虛力原理時(shí)候，引入摩擦力理論可以簡化相對速度問題的分析求解難度.

例6 如圖6a 所示，凸輪向右運(yùn)動(dòng)，推動(dòng)AB桿向上運(yùn)動(dòng).圖示時(shí)刻凸輪速度v=3m/s，α=60°，求此時(shí)AB桿速度vA及AB桿B端點(diǎn)在凸輪上的相對滑動(dòng)速度vr的值.

解如圖6b 所示，設(shè)系統(tǒng)在虛力F和FA共同作用下靜止平衡，并且凸輪與AB桿之間有摩擦力，設(shè)滑動(dòng)摩擦系數(shù)為f.把圖6a 所示系統(tǒng)在圖示時(shí)刻無限小時(shí)間段內(nèi)的實(shí)際位移以虛位移形式添加到圖6b所示系統(tǒng)上，摩擦力做負(fù)功，列虛力原理方程：

圖6a

其中FB表示AB桿B端對凸輪的正壓力.

對于圖6b所示靜止平衡即靜力學(xué)平衡系統(tǒng)，凸輪、AB桿所受平衡力系依次如圖6c、6d所示.

圖6b

圖6c

對凸輪平衡力系（圖6c）：

對AB桿平衡力系（圖6d）：

圖6d

將式（11）（12）同時(shí)代入式（10）并整理得：

其中摩擦系數(shù)f可以取任何值，例如當(dāng)f=0.1，f=0.2和f=0.3 時(shí)，式（13）都應(yīng)該成立.這說明式（13）中所有含f項(xiàng)的和等于零，即

將式（14）代入式（13）并整理得：

式（15）是滑動(dòng)摩擦系數(shù)f=0(即不存在摩擦力)時(shí)候系統(tǒng)虛力方程的化簡結(jié)果.實(shí)際上不論是否存在摩擦力，凸輪與AB桿之間的速度關(guān)系都相同.將式（14）（15)聯(lián)立求解得：

至此，例6題已求解完畢.

作為比照，下面用運(yùn)動(dòng)學(xué)理論再次求解例6問題.

如圖6e 所示，動(dòng)點(diǎn)取AB桿B端點(diǎn)，動(dòng)系建立在凸輪上，ve=v=3 m/s，va=ve+vr，該式分別向水平、豎直方向投影得：

圖6e

可見用運(yùn)動(dòng)學(xué)理論和用虛力原理理論，兩者求解結(jié)果相同.引入摩擦力理論以后，可以把系統(tǒng)的虛力原理方程式由一個(gè)裂變?yōu)閮蓚€(gè)，然后聯(lián)立求解兩個(gè)未知數(shù).

例7 如圖7a 所示，套環(huán)Q同時(shí)套在水平桿DE和直角彎桿ABC上.彎桿ABC繞A軸左右擺動(dòng)，AB=0.2 m，A點(diǎn)到水平桿DE的垂直距離也為0.2 m.圖示時(shí)刻ω=5 rad/s，求此時(shí)套環(huán)Q的絕對速度v和沿ABC桿滑動(dòng)的相對速度vr的值.

解如圖7b 所示，在套環(huán)Q上添加虛力F，在彎桿ABC上添加虛力偶M，設(shè)系統(tǒng)在F和M共同作用下靜止平衡，并且套環(huán)Q與彎桿ABC桿之間存在摩擦力，設(shè)滑動(dòng)摩擦系數(shù)為f.把圖7a 所示系統(tǒng)在圖示時(shí)刻無限小時(shí)間段內(nèi)的實(shí)際位移以虛位移形式添加到圖7b 所示靜止平衡系統(tǒng)上，滑動(dòng)摩擦力做負(fù)功，列虛力原理方程得：

圖7a

式中FN表示彎桿ABC對套環(huán)Q的正壓力.

圖7b所示系統(tǒng)靜止且受力平衡，套環(huán)Q、彎桿ABC所受平衡力系依次如圖7c、7d所示.

圖7b

對套環(huán)Q平衡力系（圖7c）：

圖7c

對彎桿ABC平衡力系（圖7d）：

圖7d

由圖7e可知，|BQ|=|AB|tan35°=0.140 m.

圖7e

式（16）（17）同時(shí)代入式（18）并整理得：

其中摩擦系數(shù)f可以取任何值，例如f=0.1,f=0.2和f=0.3等時(shí)，式（19）都應(yīng)該成立.這說明式（19）中所有含f項(xiàng)的和為零，即

式（20）代入式（19）并整理得：

上式實(shí)際上是摩擦系數(shù)f=0（即不存在摩擦力）時(shí)系統(tǒng)虛力方程的化簡結(jié)果.實(shí)際上不論是否存在摩擦力，套環(huán)Q與彎桿ABC之間的速度關(guān)系都相同.

將式（20）（21）聯(lián)立求解得：

至此，例7題已求解完畢.

作為比照，下面用運(yùn)動(dòng)學(xué)理論再次求解例7問題.

取套環(huán)Q為動(dòng)點(diǎn)、彎桿ABC為動(dòng)系（圖7e），ve=ω·|AQ|=ω·|AB|/cos35°=1.220 m/s，ve⊥AQ，va=ve+vr，該式分別向水平、豎直方向投影得：

可見用運(yùn)動(dòng)學(xué)理論和用虛力原理，兩者求解結(jié)果相同.但是例題7用運(yùn)動(dòng)學(xué)理論求解時(shí)比較抽象，很多學(xué)生尤其是初學(xué)者對牽連速度大小及方向不易接受，而用虛力原理求解時(shí)就完全避開了這些問題，解題思路及過程也很流暢.

4 結(jié)語

借助虛力原理，可以在不懂運(yùn)動(dòng)學(xué)理論的情況下，用靜力學(xué)理論和動(dòng)力學(xué)理論聯(lián)合求解運(yùn)動(dòng)學(xué)中的速度問題.

對于定常約束運(yùn)動(dòng)學(xué)系統(tǒng)，例如已知A物體的速度（角速度或線速度），通過B，C，D等中間介質(zhì)物體傳遞到E物體，求E物體的速度.利用虛力原理求解這類問題時(shí)，其統(tǒng)一解題模式為：對于A和E兩個(gè)物體，在涉及角速度的物體上添加虛力偶，在涉及線速度的物體上添加虛力，并設(shè)想系統(tǒng)在虛力系作用下處于靜止平衡狀態(tài)；再以實(shí)位移替代虛位移，并把虛力想象為真實(shí)力，對系統(tǒng)列虛功原理方程（定常約束系統(tǒng)中實(shí)位移屬于虛位移）；然后用靜力學(xué)力系平衡理論寫出虛力系平衡方程，并與虛功原理方程聯(lián)立求解，即可求出E物體的角速度或線速度.若引入滑動(dòng)摩擦力，還能很直觀地求出物體間的相對速度.

虛力原理與虛位移原理讓靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)成為相互對偶、相輔相成的統(tǒng)一體，讓靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)這兩套原本看似毫不相干的理論有了內(nèi)在聯(lián)系性，也為求解運(yùn)動(dòng)學(xué)中速度問題提供了新思路、新方法.