一類非均勻傳輸逆散射問題的混合交互關(guān)系研究

葉建國

(喀什大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆喀什 844000)

0 引言

在逆散射問題中，交互關(guān)系刻畫了散射場或遠場的某種對稱性（包括散射場與散射場、散射場與遠場、遠場與遠場），通過交互關(guān)系，在數(shù)學上揭示了交換源（source）和接收器（receiver）的角色的合理性[1-2].混合交互關(guān)系在傳輸逆散射問題的理論研究中起著非常重要的作用，如在礦產(chǎn)資源的勘探、材料的無損檢測、醫(yī)學成像、雷達和聲吶的探測等實際應(yīng)用中，當目標障礙物或介質(zhì)有一部分無法使用接收器搜集數(shù)據(jù)時，必須通過混合交互關(guān)系來簡化問題[3-6].本文研究了一類帶有傳導邊界條件的非均勻傳輸逆散射問題的混合交互關(guān)系，并給出問題對應(yīng)的Green函數(shù)的遠場G∞與全場u、穿透場v的交互關(guān)系刻畫，為重構(gòu)散射體做好理論準備.

1 問題的描述

設(shè)可穿透障礙物Ω∈?3為開的單連通區(qū)域具有C2邊界S.設(shè)障礙物Ω內(nèi)外介質(zhì)不一樣且表面涂有阻抗率為λ＞0 電導涂層,電場極化為TM 模式,當入射方向為d∈S2?{x∈?3：|x|=1}的入射平面波ui=eik0x·d遇到電介質(zhì)時,在介質(zhì)的邊界?Ω產(chǎn)生傳導邊界條件,記該非均勻可穿透散射問題的模型可用全場u和穿透場v的Helmholtz方程的傳導邊值問題描述為

其中：波數(shù)kj＞0（j=0，1），傳輸系數(shù)η＞0 為Ω內(nèi)外介質(zhì)密度比，n 表示邊界S的外單位法向量，i=全場u?ui+us是給定的入射場ui和與之相應(yīng)的散射場us之和，“±”表示x沿法線方向n從Ω的外（內(nèi)）逼近邊界S.此外，假設(shè)散射場us滿足Sommerfeld衰減條件[1]

滿足衰減條件（1.2）的Helmholtz 方程的解稱為輻射解（radiating solution）.當|x|→∞時，散射場us(x)有出射球面波（outgoing spherical wave）漸近表示

傳導邊值問題（1.1）—（1.2）的適定性鄧霞等在文獻[7]中應(yīng)用積分方程的方法已經(jīng)研究，文獻[8]研究了該問題邊值算子的非單射性.

2 混合交互關(guān)系

設(shè)G(x，y)是問題（1.1）—（1.2）對應(yīng)的Green函數(shù)[8]，則G(x，y)滿足邊值問題

綜合（1）和（2），定理得證.

注2：由文獻[9]—[11]可知，表示式（2.9）和（2.14）可以由經(jīng)典的Green 表示公式中的基本解Φj(x,y)換成問題對應(yīng)的Green 函數(shù)G得到.事實上，基本解Φj(x,y)是Helmholtz 方程的特殊Green函數(shù).