凸顯核心概念 彰顯素養(yǎng)目標*——2019年甘肅省中考數(shù)學(xué)卷第28題解析與思考

甘肅省甘州區(qū)思源實驗學(xué)校(734000)李永明

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》明確提出了發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課程目標,綜觀全國近幾年的中考壓軸題,都能把知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度等方面全面的考查,凸顯核心概念 彰顯素養(yǎng)目標.2019年甘肅省中考數(shù)學(xué)卷第28題以創(chuàng)新引領(lǐng),緊扣基礎(chǔ)、層次分明、數(shù)形互動,立足模式,解法多元,彰顯思想為特征,在每個維度都能有機融合,逐步實現(xiàn)由知識立意向能力立意轉(zhuǎn)變,由能力立意向素養(yǎng)立意實現(xiàn),體現(xiàn)了考查學(xué)生感悟、意識、思想、能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的意圖,達到提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

1 試題呈現(xiàn)

2019年甘肅中考第28 題如圖1,拋物線y=ax2+bx+4 交x軸于A(-3,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C,連接AC,BC.點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點,點P的橫坐標為m.

圖1

(1)求此拋物線的表達式;

(2)過點P作PM ⊥x軸,垂足為點M,PM交BC于點Q.試探究點P在運動過程中,是否存在這樣的點Q,使得以A,C,Q為頂點的三角形是等腰三角形.若存在,請求出此時點Q的坐標,若不存在,請說明理由;

(3)過點P作PN ⊥BC,垂足為點N.請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長,并求出當m為何值時PN有最大值,最大值是多少?

2 試題解讀

本題是甘肅卷簡答題的壓軸題,試題圍繞拋物線的表達式、點的存在性、最大值等熱點問題進行綜合設(shè)計,其中蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想和方法,有分類討論、方程思想、模型思想、轉(zhuǎn)換思想等,這些都能有效地考查學(xué)生的核心素養(yǎng).

2.1 緊扣教材,方法多樣,凸顯核心概念

核心概念本質(zhì)上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的基本思想,是數(shù)學(xué)課程的目標點.試題緊扣教材,遵循歷年的考查方向,以平面直角坐標系為背景,結(jié)合等腰三角形、直角三角形、一次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的圖象等基本圖形,主要考查了二次函數(shù)的表達式、一次函數(shù)、二次函數(shù)與基本幾何圖形結(jié)合的綜合能力,每一問梯度明顯,層次分明,真正體現(xiàn)了所有學(xué)生在本題中都有不同的收獲.第(1)問源于北師大版教材九年級下冊的“3 確定二次函數(shù)的表達式”,一般采用待定系數(shù)法、交點式、頂點式等多種方法解答;第(2)問源于北師大版八年級下冊的“等腰三角形”,一邊為底、腰分三種情況進行分類討論,并利用勾股定理、一次函數(shù)、方程、方程組等來解決;第(3)問源于北師大版教材九年級下冊的“4 二次函數(shù)的應(yīng)用”求最值的問題,可應(yīng)用頂點式法、交點法、點到直線的距離公式等方法來解決.這三問都緊密結(jié)合教材中的核心知識點,采用多種不同的解題方法,從不同層次來考查學(xué)生的綜合能力,凸顯了核心知識的綜合應(yīng)用.

2.2 提煉模型,分類討論,培養(yǎng)應(yīng)用意識

模型思想是10 個核心概念中唯一以“思想”指稱的概念.第(1)問靈活的設(shè)計了拋物線與x軸的兩個交點和拋物線的表達式,能讓學(xué)生從題目中提煉出拋物線的表達式這個數(shù)學(xué)模型,用通用方法待定系數(shù)法求出拋物線的表達式,學(xué)生也可以用交點式等方法求出拋物線的表達式,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)基本特性;第(2)問學(xué)生提煉等腰三角形模型,固定一條邊為底,其它兩條邊為腰,分三種情況進行分類討論,逐步滲透了代數(shù)式、方程、一次函數(shù)、方程組、基本圖形等數(shù)學(xué)模型;第(3)問以“最大值問題”為背景,滲透點的坐標、代數(shù)式、直角三角形、三角函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

2.3 理解抽象,化動為靜,提升核心素養(yǎng)

化動為靜是理解抽象問題的重要方法.命題人設(shè)計的第(2)問點的存在性問題,第(3)問最值問題這些都是比較抽象的數(shù)學(xué)問題,也是最能體現(xiàn)符號意識、運算能力、推理能力、模型思想等核心概念.第(2)問探究點P在運動過程中,是否存在這樣的點Q,使得以A,C,Q為頂點的三角形是等腰三角形,解決這一類問題,首先假設(shè)線段BC上存在這個點,畫出示意圖形,根據(jù)圖形中線段的等量關(guān)系,然后通過勾股定理列方程求解,動點問題就轉(zhuǎn)化成了方程解的存在性問題;第(3)問用含m的代數(shù)式表示線段PN的長,并求出當m為何值時PN有最大值,根據(jù)函數(shù)表達式設(shè)點P和點Q的坐標,化動為靜,然后表示出線段PQ的長度,用三角函數(shù)就可以表示出線段PN的長度,即關(guān)于未知數(shù)m的一個二次三項式,通過配二次函數(shù)的頂點式就可以求出最大值,提升了學(xué)生的核心素養(yǎng).

3 解法賞析

關(guān)于第(1)問:

解法1:待定系數(shù)法

圖2

圖3

圖4

圖5

四、教學(xué)思考

4.1 回歸教材,加強核心概念教學(xué)

注重知識的來龍去脈,加強核心內(nèi)容的教學(xué),要讓所有的數(shù)學(xué)知識回歸教材.即教學(xué)中要讓學(xué)生知道題目中的數(shù)學(xué)知識“從哪里來”,“又會到哪里去”,哪些是核心知識,又該如何復(fù)習(xí)等.第(1)問求此拋物線的表達式,問題源于北師大版教材九年級下冊的“3 確定二次函數(shù)的表達式”,這是一個基礎(chǔ)性的必考題,一般采用待定系數(shù)法、交點式、頂點式等多種方法,分析清楚所有問題以后,教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合課本重點例題、習(xí)題復(fù)習(xí)待定系數(shù)法、交點式、頂點式等核心內(nèi)容,回歸教材知道這些知識點的來源出處,真正起到畫龍點睛的作用.

4.2 關(guān)注模型,強化數(shù)學(xué)模型教學(xué)

數(shù)學(xué)建模是通過建立模型的方法來求得問題解決的思維活動過程,一般要經(jīng)歷“問題情境——問題模型——求解驗證”三個過程,教學(xué)中教師要緊密結(jié)合實際,引導(dǎo)學(xué)生運用函數(shù)、方程、方程組、幾何圖形等數(shù)學(xué)模型,把它們多方位的滲透,逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想.第(2)問中線段AC固定,點Q為動點,要求點Q的坐標,必須先要化動為靜固定點Q的位置,進而假設(shè)出線段AC可以是等腰三角形的底或腰,這是一個抽象的建模過程,為了驗證點Q的存在性,再利用方程檢驗其真假.這些環(huán)節(jié)中都需要教師在教學(xué)中逐步滲透和引導(dǎo)學(xué)生不斷感悟,在每個教學(xué)環(huán)節(jié)中逐步滲透模型思想,從相對簡單到相對復(fù)雜,從相對具體到相對抽象,讓學(xué)生逐步積累活動經(jīng)驗,掌握數(shù)學(xué)建模方法,逐步形成運用數(shù)學(xué)模型去進行數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

4.3 訓(xùn)練思維,加強幾何直觀教學(xué)

數(shù)學(xué)是思維的體操,教數(shù)學(xué)一定要“教”思維.教思維要以基本的數(shù)學(xué)圖形為載體,學(xué)生“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象,有助于探索解決問題的思路,預(yù)測結(jié)果.”教學(xué)過程當中,教師讓學(xué)生識圖、畫圖,逐步養(yǎng)成看圖、畫圖的好習(xí)慣,并鼓勵從圖形中“質(zhì)疑——發(fā)現(xiàn)和提出問題”,學(xué)會從“數(shù)”和“形”兩個方面認識數(shù)學(xué).第(3)問的教學(xué)中要充分利用圖形進行分析,盡量把問題變的直觀,直觀了就容易展開形象思維,建立數(shù)學(xué)模型.所以,一定要加強幾何圖形的教學(xué),將相對抽象的思考對象“圖形化”,從“形”的方面感知數(shù)學(xué),從“數(shù)”的方面解決問題,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.