平面與平面垂直性質(zhì)定理推廣及其應(yīng)用

廣東省廣州市花都區(qū)秀全中學(xué)(510800)董大新

平面與平面垂直性質(zhì)定理:兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.

如圖1 如果把“垂直于交線l”這個條件放寬為“平面α內(nèi)直線a垂直于平面β內(nèi)的直線b”,還會有線面垂直這個結(jié)論嗎?答案是肯定的.

圖1

推廣若兩個平面垂直,且一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的一條直線,則這兩條直線至少有一條與其中一個平面垂直.

證明不失一般性,對平面β內(nèi)直線b與交線l的位置分類考慮:若直線b與交線l重合,如圖1,則為面面垂直性質(zhì)定理情形,顯然直線a⊥平面β;若b⊥l,如圖2,同樣為面面垂直性質(zhì)定理情形,可知直線b⊥平面α;若直線b斜交交線l,如圖3,在直線b上取一點(diǎn)G,在平面β上作直線GM⊥l,與交線l相交于點(diǎn)M,則GM⊥平面α,GM⊥a又∵a⊥b,b ∩GM=G,∴直線a⊥平面β.

圖2

圖3

綜上所述,不論直線的位置情況如何,兩條直線都有一條直線垂直其中一個平面.這個推廣在面面垂直背景下可以很輕松地尋找出新的線面垂直!非常實用.

例1如圖,已知AC⊥平面CDE,BD//AC,在ΔECD中,CE=CD,F為ED邊的中點(diǎn),BD=2AC

(1)求證:CF//面ABE;

(2)求證:面ABE⊥平面BDE:

分析:第(1)問很易得到,取BE的中點(diǎn)G,則故CF//AG且相等?CF// 面ABE

第(2)問要證面ABE⊥平面BDE,由上述推論可知,只需在這兩個面內(nèi)分別找到一條線相互垂直即可,由第(1)問可知四邊形ACFG是矩形,因此AG⊥GF,又因為GF不可能垂直面ABE,可斷定AG⊥面BDE,從G點(diǎn)是中點(diǎn)判斷AE與AB必相等.整個推理過程明確簡短

例2[2012·全國卷]如圖4,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2,PA=2,E是PC上的一點(diǎn),PE=2EC.

圖4

(1)證明:PC⊥平面BED;

(2)設(shè)二面角A-PB-C為90°,求PD與平面PBC所成角的大小.

原解答:(1)證明:略

(2)在平面PAB內(nèi)過點(diǎn)A作AG⊥PB,G為垂足.因為二面角A-PB-C為90°,所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC=PB,故AG⊥平面PBC,AG⊥BC.BC與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA,AG都垂直,故BC⊥平面PAB,于是BC⊥AB,所以底面ABCD為正方形,.

設(shè)D到平面PBC的距離為d.因為AD//BC,且AD /?平面PBC,BC ?平面PBC,故AD//平面PBC,A、D兩點(diǎn)到平面PBC的距離相等,即設(shè)PD與平面PBC所成的角為α,則.所以PD與平面PBC所成的角為30°.

分析:問題(2)無論是用幾何法還是用坐標(biāo)法,都要通過條件“二面角A-PB-C為90°獲取更具體的某些線的位置或長度關(guān)系”,參考答案一開始就是“在平面PAB內(nèi)過點(diǎn)A作AG⊥PB”顯得很突然,而且推理的最終目標(biāo)是什么不清楚,經(jīng)過較長的推導(dǎo)后才得出BC⊥平面PAB,但如果具有了本文推廣的知識則是很必然:因為二面角A-PB-C為90°,所以平面PAB⊥平面PBC.接下來要去尋找分別屬于兩平面內(nèi)相互垂直的兩條線,從PA⊥底面ABCD非常容易得到了它們是:PA⊥BC,按推廣馬上可以判斷要么PA⊥平面PBC,要么BC⊥平面PAB,由于PA斜交交線PB,根據(jù)推廣證明中的第三種情況知一定有BC⊥平面PAB,“過點(diǎn)A作AG⊥PB”就是必然的了.

從上面兩例可知,推廣定理的應(yīng)用主要在兩個方面:一個是證明面面垂直,一個是從面面垂直推出線面垂直.思路都是一樣:從面面垂直(已知或要證)的兩平面內(nèi)部分別尋找互相垂直的直線,再判斷兩線中的一條是斜交交線(絕大多數(shù)情況),那么另一條線必垂直對應(yīng)的平面.

有了對面面垂直性質(zhì)定理推廣的理解與認(rèn)識,在面面垂直的背景下可以快速發(fā)現(xiàn)線面垂直這一重要位置關(guān)系,思路非常清晰簡潔,解決問題快捷,對圖形位置關(guān)系的把握會更加直接準(zhǔn)確,加強(qiáng)了空間想象能力.