貫徹新課標(biāo),立足新教材,凸顯新思考
——“三角函數(shù)的概念”(第1課時(shí))的教學(xué)新設(shè)計(jì)

廣東省廣州市廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)(510000)沈源欽 肖勇鋼

為推進(jìn)廣東普通高中新課程新教材實(shí)施,彰顯國(guó)家級(jí)示范校的示范引領(lǐng)功能,華南師大附中聯(lián)合廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)、執(zhí)信中學(xué)于12月2-4日共同舉辦廣東省“聚焦育人模式改革、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)”的國(guó)家級(jí)示范校研討交流活動(dòng),課堂教學(xué)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行直播,筆者代表廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)科組參加同課異構(gòu)課堂教學(xué),引發(fā)了大家的熱議.以下是我們根據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[1],及追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)[2]設(shè)計(jì)的教案和反思,希望廣大讀者批評(píng)指正.

本設(shè)計(jì)著重突出三角函數(shù)的“函數(shù)性”[3];注重促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的日常滲透和培養(yǎng);重構(gòu)教材內(nèi)容與編排,力使教學(xué)邏輯主線明確,在課堂實(shí)踐中以教師問(wèn)題串為引,層層推進(jìn),在同課異構(gòu)課堂現(xiàn)場(chǎng)師生互動(dòng)熱烈,師生問(wèn)答有效突破難點(diǎn),順利實(shí)現(xiàn)課堂預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo),效果較為理想.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

【教材】人民教育出版社普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第177 頁(yè)至第180 頁(yè)[4].

【教學(xué)對(duì)象】華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生.

【教材分析】三角函數(shù)是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具,是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型,是對(duì)函數(shù)概念、性質(zhì)、圖像變換及函數(shù)應(yīng)用的進(jìn)一步深化,是一般函數(shù)概念的下位知識(shí).

通過(guò)本章的學(xué)習(xí)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的發(fā)展.

三角函數(shù)概念這一節(jié)之前,學(xué)生學(xué)習(xí)了任意角、弧度制等內(nèi)容,后續(xù)將接著研究三角函數(shù)的圖像和性質(zhì),并應(yīng)用性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題[5].而本節(jié)內(nèi)容是研究三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ),故本節(jié)內(nèi)容在本章中具有承上啟下的地位.本節(jié)內(nèi)容分兩課時(shí),研究路徑是“明確研究對(duì)象-→對(duì)應(yīng)關(guān)系的特點(diǎn)分析-→定義-→性質(zhì)”.

而第一課時(shí)任意角三角函數(shù)概念的重點(diǎn)是借助單位圓上點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)理解任意角的正弦、余弦的定義[5][3],而解決這一重點(diǎn)的關(guān)鍵是在直角坐標(biāo)系中,借助單位圓、象限角等知識(shí),獲得對(duì)應(yīng)關(guān)系,確認(rèn)是函數(shù),再抽象概括出三角函數(shù),在這一過(guò)程中,學(xué)生可以感受到數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)化、化繁為簡(jiǎn)等數(shù)學(xué)思想和方法.

【教學(xué)目標(biāo)】

(1)借助單位圓上點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng),結(jié)合已學(xué)習(xí)的任意角和弧度,理解抽象化與形式化的任意角正弦、余弦定義,體會(huì)定義的合理性;

(2)能根據(jù)三角函數(shù)定義求特殊角的三角函數(shù)值;

(3)能求解和理解“坐標(biāo)比”定義:只要終邊上任意一點(diǎn),便可以求得相應(yīng)的三角函數(shù)值;同時(shí)升華認(rèn)識(shí)到單位圓這一數(shù)學(xué)模型的優(yōu)點(diǎn).

(4)經(jīng)歷抽象概括三角函數(shù)模型的過(guò)程中,體會(huì)數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)化、化繁為簡(jiǎn)等數(shù)學(xué)思想和方法;(獲得基本思想)

(5)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)的發(fā)展.

(5)體會(huì)三角函數(shù)發(fā)展歷史與課程學(xué)習(xí)階段的一致性感受數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折,以及追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科價(jià)值.

【學(xué)生學(xué)情分析】

(1)認(rèn)識(shí)基礎(chǔ):學(xué)生在初中已學(xué)習(xí)了函數(shù)的初步概念,進(jìn)入高中后又從集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)重新刻畫(huà)了函數(shù)的概念,研究了指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)[5],故學(xué)生已具備了學(xué)習(xí)和研究一個(gè)新函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和初步能力.本節(jié)課之前學(xué)生學(xué)習(xí)了任意角,以及弧度數(shù)與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng),這為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).

(2)認(rèn)知障礙:三角函數(shù)是“從角(實(shí)數(shù))的集合到坐標(biāo)分量的集合”[5]的對(duì)應(yīng)關(guān)系,其概念的構(gòu)建是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程,這與以前各類(lèi)初等函數(shù)概念的建構(gòu)過(guò)程是不一樣的,與學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)有較大差距(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等是通過(guò)具體事例的共性歸納而抽象出來(lái),其解析式有明確的運(yùn)算含義)[3],學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解要比從前困難些,因此在“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的認(rèn)識(shí)上要破除定勢(shì)[3],這是教與學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),所以在教學(xué)中需以直觀的幾何方式呈現(xiàn)單位圓上點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng),通過(guò)合理設(shè)計(jì)問(wèn)題串,及函數(shù)值運(yùn)算環(huán)節(jié),促進(jìn)學(xué)生更好地理解定義,突破該學(xué)習(xí)難點(diǎn).

【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

重點(diǎn):借助單位圓上點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)建構(gòu)和理解任意角的正弦、余弦的定義[8];能根據(jù)定義求特殊角的三角函數(shù)值.

難點(diǎn):從單位圓上點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)中如何確定變量,如何明確對(duì)應(yīng)關(guān)系,如何構(gòu)建和理解對(duì)應(yīng)法則.

【教法、學(xué)法分析】

任意角三角函數(shù)的概念是一般函數(shù)概念的下位概念,是“下位學(xué)習(xí)”[3].為了更好地突出“任意角三角函數(shù)的函數(shù)性”并能根據(jù)定義進(jìn)行簡(jiǎn)單求值,所以在教學(xué)策略上,以生活情景摩天輪抽象出圓周上點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)為教學(xué)起點(diǎn)[9],調(diào)動(dòng)象限角、弧度制、單位圓、坐標(biāo)系等相關(guān)知識(shí),從圓周運(yùn)動(dòng)中尋找變量、確定變量,抽象并概括出任意角三角函數(shù)的概念.因此在本課時(shí)中采用“以學(xué)生活動(dòng)為主線,教師通過(guò)問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生思考,構(gòu)建和理解任意角的正弦、余弦的定義的教學(xué)策略.部分教學(xué)策略設(shè)計(jì)說(shuō)明如下:

(1)利用單位圓上的圓周運(yùn)動(dòng),由老師通過(guò)適當(dāng)引導(dǎo),學(xué)生尋找變量;

(2)由老師通過(guò)問(wèn)題串提問(wèn),尋找變量α與P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而為理解三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系奠定基礎(chǔ);

(3)再通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo),使學(xué)生明確三角函數(shù)的“三要素”,突出了三角函數(shù)的“函數(shù)性”,使得三角函數(shù)定義的引入水到渠成,更好地建構(gòu)和理解任意角正弦、余弦的定義.

【教學(xué)流程】

(一)提出問(wèn)題,尋找變量

1.教學(xué)內(nèi)容

摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施,乘客坐在摩夭輪的座艙慢慢地往上轉(zhuǎn),可以從高處俯瞰四周景色.

現(xiàn)已知某摩天輪最高點(diǎn)距離地面160 米,轉(zhuǎn)盤(pán)直徑153米,游客乘坐在座艙P(yáng),從距離地面最近的位置A出發(fā),轉(zhuǎn)盤(pán)逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)一周約30 分鐘.(即4πrad/h)

如何刻畫(huà)(描述)座艙P(yáng)的位置變化?

摩天輪上座艙P(yáng)的運(yùn)動(dòng)可以近似看做質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng).

數(shù)學(xué)問(wèn)題:單位圓O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn),做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).用哪些變量刻畫(huà)(描述)點(diǎn)P的位置變化?

(1)借助角α的變化刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化:形

(2)借助坐標(biāo)描述點(diǎn)P的位置:數(shù)形結(jié)合

2.師生活動(dòng)

教師引言:經(jīng)過(guò)前兩節(jié)任意角和弧度制的學(xué)習(xí),我們一起來(lái)解決下面的問(wèn)題:游客乘坐在座艙P(yáng),從距離地面最近的位置A出發(fā),轉(zhuǎn)盤(pán)逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn).當(dāng)我們把座艙P(yáng)看成質(zhì)點(diǎn),則可看成點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng).為研究的方便,我們?cè)趩挝粓A進(jìn)行研究,因此可抽象出這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題.

提出問(wèn)題:單位圓O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),可以用哪些變量刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化?

注:學(xué)生可能回答弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)、圓周角∠AOP、坐標(biāo)、時(shí)間等,在教學(xué)中都要給予回應(yīng),盡可能給予表?yè)P(yáng),并理性討論.

教師引導(dǎo)語(yǔ):我們一起來(lái)考察這些變量,看看哪些比較合理.

特別注意:這里對(duì)弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)變量的考察,可以從給“定弧長(zhǎng)和弦長(zhǎng),可能得到兩個(gè)P點(diǎn)位置”進(jìn)行點(diǎn)評(píng).

其中,當(dāng)學(xué)生回答坐標(biāo)時(shí),教師肯定學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)意識(shí)和思想,同時(shí)教師及時(shí)追問(wèn)引導(dǎo)1:坐標(biāo)系放在什么位置合適?【即如何建立恰當(dāng)直角坐標(biāo)系】

通過(guò)學(xué)生回答建系問(wèn)題,教師升華總結(jié):建系是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁,是實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要方法.依據(jù)對(duì)稱(chēng)性以及關(guān)于任意角終邊在非負(fù)半軸的要求建系.通過(guò)坐標(biāo)表示點(diǎn)P:數(shù)形結(jié)合.這個(gè)變量合理.

教師引導(dǎo)學(xué)生分析角:給定角α,可以確定射線OP,可以確定射線與單位圓交點(diǎn)P(唯一).板書(shū)“射線OP →點(diǎn)P”.并及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)不止1 圈及順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)等,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)為任意角.這個(gè)變量合理.

【設(shè)計(jì)意圖】1.由摩天輪實(shí)際例子抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,明確本課時(shí)的研究任務(wù);2.通過(guò)將一般圓周運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為在單位圓進(jìn)行研究,不失一般性,體現(xiàn)化繁為簡(jiǎn),突出本質(zhì)的數(shù)學(xué)研究方法.通過(guò)教師的提問(wèn)和引導(dǎo),尋找到刻畫(huà)數(shù)學(xué)模型(即刻畫(huà)P點(diǎn)位置變化)的兩個(gè)變量,為下一環(huán)節(jié)的探究自然鋪墊.

(二)聯(lián)系變量、構(gòu)建函數(shù)

1.尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系

由教師引導(dǎo):角α與點(diǎn)P橫、縱坐標(biāo)建立對(duì)應(yīng)關(guān)系

教師邊通過(guò)PPT 動(dòng)畫(huà)的展示,邊提問(wèn)學(xué)生(點(diǎn)名),OA是始邊,當(dāng)我們確定角α?xí)r,能確定什么?——(學(xué)生可能回答終邊),教師追問(wèn):終邊唯一嗎?那終邊此時(shí)和單位圓有幾個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)是誰(shuí)?——(學(xué)生回答只有一個(gè),是P點(diǎn))

此過(guò)程教師邊提問(wèn)邊在PPT 給出如下過(guò)程:

2.獲得函數(shù)關(guān)系

教師層層引導(dǎo),

第一次引導(dǎo):α定了,y定了,幾個(gè)?(學(xué)生回答:1 個(gè));α定了,x定了,幾個(gè)?(學(xué)生回答:1 個(gè))

第二次引導(dǎo):這樣的話,給定角α,α什么范圍呢?(學(xué)生回答實(shí)數(shù)范圍,教師要明確任意角的集合就是實(shí)數(shù)集R,看來(lái)引入弧度制是很有必要的.),有唯一實(shí)數(shù)的y與之對(duì)應(yīng);同理,給定角α,實(shí)數(shù)有唯一實(shí)數(shù)的x與之對(duì)應(yīng).這就是什么?(學(xué)生回答函數(shù))

學(xué)生給出回答,教師進(jìn)行如下板書(shū):

教師小結(jié):綜合以上大家的回答,得到比較清晰的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系,在弧度制下任意角為自變量,分別以橫、縱坐標(biāo)為函數(shù)值的兩個(gè)函數(shù)了,不妨記為f和g(板書(shū)如下)

【設(shè)計(jì)意圖】(1)這是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn),結(jié)合一般函數(shù)概念、任意角、弧度制等知識(shí),通過(guò)教師直觀演示、不斷設(shè)問(wèn)、追問(wèn)和層層引導(dǎo),學(xué)生獲得三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,幫助學(xué)生在一般函數(shù)觀念下理清三角函數(shù)的“三要素”,初步構(gòu)建三角函數(shù)概念,為理解形式化的三角函數(shù)定義起關(guān)鍵作用,突破了教與學(xué)的難點(diǎn).

(2)在概念的形成過(guò)程中,體會(huì)函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想.

(三)理解法則,構(gòu)建概念

教師:請(qǐng)同學(xué)根據(jù)剛才兩個(gè)函數(shù)關(guān)系,求解函數(shù)值.

注:學(xué)生通過(guò)計(jì)算,觀察給定角之間的關(guān)系,根據(jù)函數(shù)關(guān)系,求得結(jié)果.教師通過(guò)提問(wèn)學(xué)生獲得結(jié)果,其中重點(diǎn)提問(wèn)學(xué)生回答和的計(jì)算過(guò)程.

教師需做出三點(diǎn)引導(dǎo):(1)要點(diǎn)出利用初中解直角三角形解題;(2)引導(dǎo)學(xué)生在長(zhǎng)度上添加符號(hào)獲得坐標(biāo);(3)由初中直角三角形得和進(jìn)而得到并由學(xué)生等,從而獲得對(duì)應(yīng)關(guān)系表達(dá)式:y=f(α)=sinα,x=g(α)=cosα,

根據(jù)“點(diǎn)P縱坐標(biāo)y、橫坐標(biāo)x都是角α的函數(shù)”的函數(shù)關(guān)系求f(a)、g(a)

【設(shè)計(jì)意圖】這是本設(shè)計(jì)的亮點(diǎn).通過(guò)學(xué)生練習(xí),鞏固理解剛剛構(gòu)建的函數(shù)關(guān)系,幫助學(xué)生構(gòu)建和理解三角函數(shù)解析式.也為獲得初高中定義關(guān)聯(lián)探究提供直觀素材.

(四)關(guān)聯(lián)探究,深化認(rèn)識(shí)

教師提問(wèn):初中也有三角函數(shù),那初高中的定義有什么區(qū)別和聯(lián)系?(由學(xué)生回答,并整理為三個(gè)維度的比較)

初中定義高中定義函數(shù)值符號(hào)值均為正數(shù)可正可負(fù)可零角的范圍銳角任意角函數(shù)值定義邊長(zhǎng)比值終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)

教師引導(dǎo):初高中三角函數(shù)定義有什么內(nèi)在聯(lián)系?

要引導(dǎo)學(xué)生在上一張PPTΔOMP中,由初中定義得由高中定義得sinα=y.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)上一環(huán)節(jié)的運(yùn)算結(jié)果,由教師引導(dǎo)學(xué)生分三維度進(jìn)行回答,體會(huì)高中三角函數(shù)定義與初中三角函數(shù)定義的區(qū)別,從銳角的初高中運(yùn)算結(jié)果的一致認(rèn)知到高中三角函數(shù)定義統(tǒng)一和兼容了初中三角函數(shù)定義.

(五)明確要素、理解概念

1.教師給出三角函數(shù)的定義并黑板板書(shū):

設(shè)α是一個(gè)任意角,α ∈R,它的終邊OP與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y定義為角α的正弦函數(shù)y=sinα;把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x定義為角α的余弦函數(shù)x=cosα.

2.教師引導(dǎo)學(xué)生理解從函數(shù)三要素對(duì)正切函數(shù)進(jìn)行“檢驗(yàn)”,確認(rèn)其函數(shù)關(guān)系.

把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值定義為角α的正切函數(shù).

3.教師要特別強(qiáng)調(diào):α是自變量,sinα是整體,離開(kāi)自變量α的sin,cos,tan 是沒(méi)有意義的.

4.給出三角函數(shù)的常用記法:

教師要給學(xué)生特別指出此處的x、y,與初始定義中的x、y是不一樣的!

【設(shè)計(jì)意圖】(1)在建構(gòu)三角函數(shù)概念過(guò)程中,通過(guò)再次明確函數(shù)三要素,較為準(zhǔn)確地理解三角函數(shù)定義.(2)給出三角函數(shù)的常用記號(hào),為后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)做好知識(shí)和符號(hào)鋪墊.

(六)歷史拓展、感同身受[9][10]

教師講述:任意角的三角函數(shù)是三角學(xué)中最基本最重要的概念之一.而三角學(xué)是天文觀察結(jié)果推算的一種方法,因此在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期里隸屬于天文學(xué).

直到1464年,德國(guó)數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯第一次獨(dú)立于天文學(xué)之外對(duì)三角知識(shí)作了較系統(tǒng)的闡說(shuō),但僅僅采用了正弦和余弦函數(shù)且函數(shù)值限定在正數(shù)范圍.

而后哥白尼學(xué)生將三角函數(shù)定義為直角三角形的邊長(zhǎng)之比,制作了更精確的三角函數(shù)表.

18世紀(jì)歐拉新定義了三角函數(shù)(接近現(xiàn)今定義),從函數(shù)角度去理解,使其可脫離幾何圖形去進(jìn)行自由的運(yùn)算,反映運(yùn)動(dòng)和變化的過(guò)程,且在微積分、物理學(xué)研究(如振動(dòng)、聲音傳播等)中大放光彩.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)介紹三角函數(shù)的歷史發(fā)展(與學(xué)生的三角函數(shù)概念學(xué)習(xí)過(guò)程具有相似性),使其感同身受,獲得共鳴,體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折;滲透數(shù)學(xué)文化,傳遞數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科價(jià)值.

(七)深化應(yīng)用

1.進(jìn)階訓(xùn)練

例1如圖已知角α的終邊上的點(diǎn)求角α的正弦、余弦和正切值.

2.變式訓(xùn)練

變式 1:已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-12,5),求角α的正弦、余弦和正切值.

分析:ΔOM1P1～ΔOMP,由得由.

3.拓展理解

變式2:已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x,y),求角α的正弦、余弦和正切值.

分析:ΔOM1P1～ΔOMP,由v和y同號(hào),則;由v和x同號(hào),則.

4.獲得等價(jià)定義

教師注意引導(dǎo):1.當(dāng)r=1 時(shí),則為初始定義形式,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔和形式美;2.當(dāng)α是銳角時(shí),則函數(shù)值則等價(jià)于邊長(zhǎng)比,再次認(rèn)識(shí)初高中定義的聯(lián)系.

設(shè)角α的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),它與原點(diǎn)的距離為r,則.

【設(shè)計(jì)意圖】1.通過(guò)進(jìn)階和變式訓(xùn)練鞏固所學(xué)定義,也通過(guò)練習(xí)層層遞進(jìn),為三角函數(shù)的“坐標(biāo)比”定義證明做了鋪墊.最終使學(xué)生認(rèn)識(shí)到:只要終邊上任意一點(diǎn),便可以求得相應(yīng)的三角函數(shù)值,得到三角函數(shù)的“坐標(biāo)比”定義.2.使學(xué)生同時(shí)對(duì)單位圓這一數(shù)學(xué)模型的再認(rèn)識(shí):單位圓對(duì)三角函數(shù)定義起到更易理解、運(yùn)算的便捷性.

(八)課堂小結(jié)

1.知識(shí)小結(jié):三角函數(shù)定義,以及如何求三角函數(shù)值

2.思想歸納:

(1)從引入坐標(biāo)表示感受數(shù)形結(jié)合的思想和方法,從如何建系及在單位圓中探究體會(huì)數(shù)學(xué)化繁為簡(jiǎn)的方法;從具體問(wèn)題—定義—例題—新結(jié)論的學(xué)習(xí)路徑,體會(huì)數(shù)學(xué)中特殊與一般不斷轉(zhuǎn)化的研究方法.

(2)經(jīng)歷從認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)新概念統(tǒng)一兼容初中三角函數(shù)概念;從三角函數(shù)歷史中,看到數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折和嚴(yán)謹(jǐn)追求.

(3)升華對(duì)弧度制引入必要性的認(rèn)識(shí).

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié),升華認(rèn)識(shí)

(九)作業(yè)布置

1.完成書(shū)P180 練習(xí)題、P184 習(xí)題5.2 第1,11,12 題

2.完成特殊角的三角函數(shù)值表

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度sin α cos α tan α

3.拓展閱讀:閱讀課本P186 頁(yè),課后查閱相關(guān)知識(shí).

2 設(shè)計(jì)說(shuō)明

(1)本設(shè)計(jì)要體現(xiàn)新課程理念及本課時(shí)的教材實(shí)施要求,更加突出體現(xiàn)三角函數(shù)的“函數(shù)性”,邏輯主線明確,在課堂實(shí)踐中以教師問(wèn)題串為引,層層推進(jìn),在師生問(wèn)答互動(dòng)中突破難點(diǎn).

(2)與以往課標(biāo)和舊教材(實(shí)驗(yàn)版)比較,高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(2020 修訂版)和新教材(2019 版)對(duì)三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)要求和知識(shí)呈現(xiàn)順序發(fā)生變化,其更加凸顯三角函數(shù)的“函數(shù)性”,以及以數(shù)學(xué)建模作為邏輯主線的編排.對(duì)于新課標(biāo)新教材,一線教師對(duì)三角函數(shù)概念應(yīng)構(gòu)建如下的認(rèn)知概念圖式[5]:

①構(gòu)建三角函數(shù)的概念,是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程,它是直接由單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述而得到;

②三角函數(shù)的概念對(duì)應(yīng)關(guān)系與眾不同,主要表現(xiàn)在不以“代數(shù)運(yùn)算”為媒介,要突出其“函數(shù)性”.

③理解三角函數(shù)概念,關(guān)鍵在于搞清楚其“函數(shù)三要素”,核心在于明確它的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

④任意角三角函數(shù)以坐標(biāo)分量為函數(shù)值,是研究現(xiàn)實(shí)生活中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起來(lái)的;而銳角三角函數(shù)以比值為函數(shù)值,是研究三角形各種幾何量之間的關(guān)系而發(fā)展起來(lái)的,他們研究的對(duì)象不同,表現(xiàn)的性質(zhì)也不同.

(3)教材內(nèi)容重構(gòu)

①基于教學(xué)對(duì)象華師附中學(xué)生有較高的學(xué)習(xí)水平和理解能力,對(duì)教材呈現(xiàn)做處理如下:教材中的探究1:求三個(gè)特殊角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P,從而得到“任意給一個(gè)角α,其終邊與OP與單位圓的坐標(biāo)唯一確定”的結(jié)論,處理為由學(xué)生通過(guò)PPT 動(dòng)畫(huà)的演示,通過(guò)口頭邏輯推理得到結(jié)論.

②通過(guò)設(shè)計(jì)求函數(shù)值的運(yùn)算環(huán)節(jié),學(xué)生的“再創(chuàng)造”過(guò)程,讓學(xué)生自然構(gòu)建解析式,突破對(duì)函數(shù)關(guān)系的理解障礙;同時(shí)將教材探究2 內(nèi)容自然融入其中,直觀的數(shù)據(jù)不僅讓學(xué)生體會(huì)初高中三角函數(shù)定義的聯(lián)系和區(qū)別.這一部分是本設(shè)計(jì)的亮點(diǎn)之一!

根據(jù)“點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y、橫坐標(biāo)x都是角α的函數(shù)”的函數(shù)關(guān)系,求f(α),g(α)

初中定義高中定義函數(shù)值符號(hào)值均為正數(shù)可正可負(fù)可零角的范圍銳角任意角函數(shù)值定義邊長(zhǎng)比值終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)

(4)將后續(xù)課程有關(guān)于三角學(xué)與天文學(xué)的數(shù)學(xué)史資料,與筆者查閱的三角函數(shù)概念歷史發(fā)展資料有機(jī)整合,結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)概念的進(jìn)程一致性,使學(xué)生感同身受,產(chǎn)生共鳴,滲透數(shù)學(xué)文化,傳遞數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科價(jià)值,為本設(shè)計(jì)的另一亮點(diǎn).

3 評(píng)課議課與教學(xué)改進(jìn)

本教學(xué)設(shè)計(jì)在廣東省教育廳、教育研究院指導(dǎo)下的2020廣東省普通高中新課程新教材實(shí)施研討交流活動(dòng)中進(jìn)行實(shí)施,能順利實(shí)現(xiàn)課堂預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo),師生互動(dòng)熱烈,教學(xué)效果理想.廣大省內(nèi)同行通過(guò)網(wǎng)絡(luò)直播觀看并進(jìn)行評(píng)議指導(dǎo)和鼓勵(lì),專(zhuān)家也進(jìn)行點(diǎn)評(píng),評(píng)課議課內(nèi)容摘取如下:

中學(xué)同行議課:(1)上課的感覺(jué)非常好,結(jié)構(gòu)處理個(gè)人覺(jué)得最好(廣州執(zhí)信中學(xué)朱老師);第一次聽(tīng)到把三角函數(shù)概念講得這樣透徹(陽(yáng)春一中劉城老師);(3)教學(xué)設(shè)計(jì)能重構(gòu)教材,兼具創(chuàng)新性和操作性;(4)情景引入自然,講解水到渠成,自然而然;(5)師生互動(dòng)熱烈,教師層層遞進(jìn),有效引導(dǎo).(網(wǎng)絡(luò)留言)

專(zhuān)家點(diǎn)評(píng)(廣東省教育研究院數(shù)學(xué)科主任吳有昌教授):沈老師對(duì)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容分析清楚,理解到位,對(duì)學(xué)生的認(rèn)知障礙估計(jì)準(zhǔn)確.教學(xué)目標(biāo)全面,注重核心素養(yǎng)的培養(yǎng);教學(xué)方法策略合理,對(duì)在建模過(guò)程中如何選擇變量、如何建立和理解弧度制下的任意角和它的終邊在單位圓上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系這兩個(gè)難點(diǎn)設(shè)計(jì)了問(wèn)題串,順利突破了難點(diǎn),突出了從函數(shù)這個(gè)大概念下理解三角函數(shù)的定義,凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì).教學(xué)設(shè)計(jì)整體合理,教學(xué)實(shí)際效果好.

筆者的教學(xué)反思:根據(jù)課堂的實(shí)踐情況,筆者認(rèn)為本設(shè)計(jì)可在以下三方面進(jìn)行改進(jìn):

(1)情景設(shè)計(jì)和引入可以更加飽滿,點(diǎn)明周期性現(xiàn)象;

(2)數(shù)學(xué)史部分可以放置在例題之后,小結(jié)之前,使得課堂主線邏輯性更強(qiáng);