元認(rèn)知理論在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的應(yīng)用

廣東省廣州市第二中學(xué)(510530)李碧

1 元認(rèn)知理論

元認(rèn)知(metacognition)的概念起源于對(duì)“記憶的記憶”之研究,由美國心理學(xué)家弗拉維爾(Flavell)最先提出.他將元認(rèn)知概括為“個(gè)體對(duì)自己認(rèn)知狀態(tài)和過程的意識(shí)和調(diào)節(jié)”(Flavell,1985).元認(rèn)知的核心意義是對(duì)認(rèn)知的認(rèn)知,故稱其為“元認(rèn)知”.弗拉維爾認(rèn)為,元認(rèn)知包含兩個(gè)主要成分:元認(rèn)知知識(shí)和元認(rèn)知體驗(yàn).元認(rèn)知知識(shí)是個(gè)體有關(guān)自己或他人的認(rèn)知活動(dòng)、過程、結(jié)果及相關(guān)的知識(shí).元認(rèn)知體驗(yàn)是認(rèn)知主體隨著認(rèn)知活動(dòng)的展開而產(chǎn)生的理性或感性的綜合體驗(yàn)或感受.

國內(nèi)學(xué)者(如董奇、陳英和等)多傾向于認(rèn)為元認(rèn)知由三個(gè)成分構(gòu)成:元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知監(jiān)控.其中元認(rèn)知監(jiān)控是指主體在進(jìn)行認(rèn)知活動(dòng)的過程中,將自己正在進(jìn)行的認(rèn)知活動(dòng)作為對(duì)象,不斷地對(duì)其進(jìn)行積極而自覺地監(jiān)視、控制和調(diào)節(jié)的過程.

2 元認(rèn)知理論與數(shù)學(xué)解題的關(guān)聯(lián)

波利亞解題理論中最著名的首推他的《怎樣解題》.波利亞的“怎樣解題表”分為“弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧”四個(gè)階段,對(duì)整個(gè)解題的過程實(shí)施元認(rèn)知監(jiān)控.表中有大量提示性的問題,但這些問題不是問別人,而是問自己,實(shí)際是解題者的自我詰問,自我反思,也就是“客體水平”的,屬于認(rèn)知性的;問題中還有一部分是以解題者自身為對(duì)象,針對(duì)主體內(nèi)部心理現(xiàn)象認(rèn)識(shí)過程的,屬于元認(rèn)知性的.譬如說:“你以前見過它嗎?”“你知道一個(gè)與此相關(guān)的問題嗎?”等等.這些問題都沒有直接涉及問題的具體內(nèi)容,完全是針對(duì)主體自身思維,是對(duì)自身解題思維活動(dòng)的反詰,是自我監(jiān)察、自我意識(shí)、自我預(yù)測(cè)、自我調(diào)節(jié)、自我監(jiān)控,這些都是元認(rèn)知,整個(gè)表格就是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)解題的元認(rèn)知體系.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,只有在學(xué)生的積極參與下,自我監(jiān)控活動(dòng)才能實(shí)現(xiàn),也只有在學(xué)生的自主活動(dòng)中,數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力才能獲得發(fā)展.

3 元認(rèn)知理論下的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué),經(jīng)常出現(xiàn)的問題是:教師自認(rèn)為對(duì)問題的講解很清晰,但學(xué)生在解決類似的問題、甚至是同一道題時(shí)都會(huì)錯(cuò)漏百出甚至無從下手.如何提高高中解題教學(xué)的效率?筆者根據(jù)元認(rèn)知理論,在高中解題教學(xué)中采取以下教學(xué)策略,取得了很好的教學(xué)效果.

3.1 一題多解,豐富學(xué)生的元認(rèn)知知識(shí)

一題多解是學(xué)生多角度思考及探索不同的解題途徑,可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通.學(xué)生再通過比較各種解法,優(yōu)化思維方法.通過一題多解,可以豐富學(xué)生的元認(rèn)知知識(shí),拓展學(xué)生思路,提高學(xué)生解題的靈活性.

筆者以“函數(shù)零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)”解題課為例,探索一題多解在高中解題教學(xué)中的應(yīng)用.

例1若函數(shù)f(x)=ex-ax在x ∈(0,+∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.

這道例題選擇了學(xué)生較為熟悉的函數(shù),旨在讓學(xué)生以“說思路”的方式鞏固解決函數(shù)零點(diǎn)問題的三種基本方法:單一函數(shù)、分離參數(shù)、曲線與曲線交點(diǎn)問題.通過思路4、思路5學(xué)習(xí)兩種“新”的轉(zhuǎn)化方式,強(qiáng)化轉(zhuǎn)化,突破函數(shù)、方程等價(jià)轉(zhuǎn)化的局限,突出換元思想.增加學(xué)生對(duì)于零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化方式的元認(rèn)知知識(shí).

3.2 一題多變,提升學(xué)生的元認(rèn)知體驗(yàn)

一題多變是通過改變題目條件、結(jié)論或者減少、增加條件等方式,進(jìn)行新的求解.一題多變,可以提高學(xué)生思維的敏捷性、應(yīng)變性及創(chuàng)造性等.通過一題多變提升學(xué)生的元認(rèn)知體驗(yàn),提高學(xué)生解題的速度.

筆者仍以“函數(shù)零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)”解題課為例,探索一題多變?cè)诟咧薪忸}教學(xué)中的應(yīng)用.

變式1若函數(shù)f(x)=eax-x在x ∈(0,+∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式1 將例1 中參數(shù)a從一次項(xiàng)系數(shù)調(diào)整到指數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù),旨在鞏固例1 換元的思想.變式1 要先將指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)方程,然后從三種常見方法中進(jìn)行選擇,強(qiáng)調(diào)方法選擇的意識(shí).增加學(xué)生對(duì)于零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化方式的元認(rèn)知體驗(yàn).

變式2若函數(shù)f(x)=xex-a(x+1)2在x ∈(-∞,0)上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

從例1 中指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)運(yùn)算得到的函數(shù),到變式2 中“類二次曲線y=xex”函數(shù)與二次函數(shù)通過運(yùn)算得到的函數(shù),暗藏題目的構(gòu)造方式,引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)模型的眼光閱讀理解題目,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)要解決的函數(shù)模型的構(gòu)造進(jìn)行思考,提升優(yōu)化解題思維的能力.進(jìn)一步提升學(xué)生的元認(rèn)知體驗(yàn).

變式3若方程上有兩個(gè)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式4若函數(shù)f(x)=ax2+(a-2)x-lnx在x ∈(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式5若函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x在x ∈R上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

3.3 多題歸一,加強(qiáng)學(xué)生的元認(rèn)知監(jiān)控

學(xué)生自己做題時(shí)做不到自主地歸納總結(jié),就知道做題,結(jié)果是相同或相近題目反復(fù)做,效率低下.作為教師,在平時(shí)的教學(xué)中,要有意識(shí)地幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的歸納總結(jié)習(xí)慣.

教師在課堂教學(xué)中滲透多題一解,做出示范,逐步培養(yǎng)學(xué)生自己總結(jié)歸納、提煉數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的能力,養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控的習(xí)慣.

例2(2020 全國1 卷)已知A,B分別為橢圓E:的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),為直線x=6 上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點(diǎn).

例2 的第(2)問解法很多,如果只注重講解解法,學(xué)生可能不會(huì)遷移,碰到類似的問題,又陷入設(shè)參的選擇煩惱和并不簡(jiǎn)單的計(jì)算中.教師若是引導(dǎo)學(xué)生分析題目條件,發(fā)現(xiàn)A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,在求解過程中,將題目條件3kAP=kP B轉(zhuǎn)化為,接下來設(shè)直線CD方程,則為常見題型.

習(xí)字教學(xué)在現(xiàn)行教學(xué)資源豐富的情況下，打破了空間限制。微課制作、PPT制作，使學(xué)生從枯燥單一的寫字訓(xùn)練，變成輕松愉快的寫字。練就一手好字，提高了語文知識(shí)的學(xué)習(xí)，提升了學(xué)生綜合素質(zhì)，傳承了中華漢字文化發(fā)展。

為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于這類問題的元認(rèn)知監(jiān)控,筆者在講解這道題時(shí)給出了以下題組:

【題1】已知橢圓C:與點(diǎn)P(0,1),設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)P,且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,若直線PA與直線PB的斜率之和-1,求證直線l過定點(diǎn).

【題2】已知A,B分別為橢圓C:的左、右頂點(diǎn),過右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q(P在Q上方),設(shè)直線PA、BQ的斜率分別為k1,k2,求.

【題3】已知A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),P,Q為橢圓上兩點(diǎn)且滿足kAP=7kQB,求ΔPQB與ΔPQA面積之差的最大值.

題1 鞏固2020年高考題中證直線過定點(diǎn)的設(shè)參方法及加強(qiáng)計(jì)算練習(xí);題2 強(qiáng)化將所求的斜率轉(zhuǎn)化;題3 挖掘直線PQ過定點(diǎn).題組選取的三道題的求解思路來源于2020年高考題的解題方法,并從不同側(cè)面強(qiáng)化了解題的關(guān)鍵思路.經(jīng)過這樣的題組訓(xùn)練與多題一解,學(xué)生在面對(duì)類似的問題時(shí),求解過程就會(huì)快捷很多,從而會(huì)增強(qiáng)解題的信心和興趣.

對(duì)于高中數(shù)學(xué)解題中重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容,利用題組形式,形成多題歸一,引導(dǎo)學(xué)生在大量的解題訓(xùn)練中進(jìn)行元認(rèn)知監(jiān)控,不斷反問自己解決問題的關(guān)鍵點(diǎn),總結(jié)相似問題的統(tǒng)一解法,就會(huì)減少學(xué)生重復(fù)低效的訓(xùn)練,提高學(xué)習(xí)效果.

3.4 即時(shí)提問,培養(yǎng)學(xué)生解題的反思、調(diào)節(jié)意識(shí)

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中通過即時(shí)提問充分展現(xiàn)學(xué)生思維過程,暴露學(xué)生思維出現(xiàn)的問題,可以培養(yǎng)學(xué)生在解題過程中對(duì)自身解題思維活動(dòng)的反詰,是自我監(jiān)察、自我意識(shí)、自我預(yù)測(cè)、自我調(diào)節(jié)、自我監(jiān)控的過程,提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確性.

下面是某節(jié)數(shù)學(xué)解題課的片段.

例3有5 本不同的書,其中語文書2 本,數(shù)學(xué)書2 本,物理書1 本.若將其隨機(jī)的并排擺放到書架的同一層上,則同一科目的書都不相鄰的概率為____.

這道題涉及了三種群體的不相鄰問題,對(duì)于解題帶來了一定的困難.有學(xué)生按照以下方法求解:

先排語文書,保證語文不相鄰,中間插入一本書,分兩類:(1)中間插入物理書,再在三本書形成的4 個(gè)位置中放數(shù)學(xué)書,有種擺放方法;(2)中間插入一本數(shù)學(xué)書,還有一本數(shù)學(xué)書可以放兩本語文書之間也可以放兩本語文書外面,有種擺放方法;故所求概率為.

筆者問:這種解法答案對(duì)嗎?有同學(xué)說答案不對(duì).

筆者追問:什么原因?學(xué)生們陷入了沉思.筆者趁機(jī)提醒學(xué)生反思一下解題過程.有學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)第一類和第二類計(jì)數(shù)方法有重復(fù).

筆者繼續(xù)追問:那么問題出現(xiàn)在哪里呢?經(jīng)過學(xué)生們的討論和研究,他們發(fā)現(xiàn):因分類標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一,第二類包含了第一類的部分?jǐn)[放方法,應(yīng)該在第二類中去掉物理書在語文書中間的情況,修改如下:

分兩類:(1)中間插入物理書,再在三本書形成的4個(gè)位置中放數(shù)學(xué)書,有種擺放方法;(2)中間插入一本數(shù)學(xué)書,物理書要放在兩本語文書外面,有種.故所求概率為

筆者繼續(xù)追問:剛才的解法的錯(cuò)誤根源在哪里?有學(xué)生回答:二級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)不清晰.筆者繼續(xù)追問:怎么修改思路?

學(xué)生給出以下方法:

先排語文書,選擇特殊元素物理作為分類的標(biāo)準(zhǔn):(1)物理書放語文書中間,有種擺放方法;(2)物理書放兩本語文書外面,有種.故所求概率為.

課后,筆者引導(dǎo)學(xué)生做好解題反思:分類、分步的方法是解排列組合問題的根本方法.面對(duì)較復(fù)雜的排列組合問題,如果一時(shí)沒想到解法,建議從最基本的分類、分步思想入手,并注意選擇好分類的標(biāo)準(zhǔn),將復(fù)雜問題分解成簡(jiǎn)單的問題解決.筆者趁機(jī)提醒學(xué)生在解題中出現(xiàn)錯(cuò)漏時(shí),不要輕易回避,應(yīng)該對(duì)思路進(jìn)行反思、修正,調(diào)節(jié).

4 教學(xué)建議

一題多解,豐富學(xué)生的元認(rèn)知知識(shí),提高學(xué)生解題的靈活性;一題多變,提升學(xué)生的元認(rèn)知體驗(yàn),提高學(xué)生解題的創(chuàng)造性;多題歸一,引導(dǎo)學(xué)生自我監(jiān)控、總結(jié)歸納,提高學(xué)生做題的有效性;即時(shí)提問,培養(yǎng)學(xué)生自我調(diào)節(jié)能力,提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確性.

將元認(rèn)知理論應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué),不僅可以優(yōu)化教學(xué)方式,也是精準(zhǔn)有效培養(yǎng)學(xué)生解題能力的關(guān)鍵.筆者建議在高中數(shù)學(xué)解題的教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)將“一題多解”、“一題多變”、“多題歸一”、“即時(shí)提問”等方式根據(jù)教學(xué)內(nèi)容需要進(jìn)行融合,提升高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的效率.