基于課程合作式學(xué)習(xí)的《常微分方程》教學(xué)改革的探索與實(shí)踐

趙莉莉

(云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 昆明650091)

1 引 言

數(shù)學(xué)類(lèi)各課程教學(xué)方法的研究越來(lái)越受到學(xué)者們的關(guān)注，取得了不少有價(jià)值的成果，見(jiàn)文獻(xiàn)[1-4].雖然，對(duì)于合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)方法在其它學(xué)科上的應(yīng)用文章不少，但是缺乏它在數(shù)學(xué)類(lèi)學(xué)科上應(yīng)用的文獻(xiàn).合作式學(xué)習(xí)是引進(jìn)于歐美地區(qū)的一種教學(xué)方法.奧爾森等人對(duì)合作式學(xué)習(xí)給出的定義是：合作式學(xué)習(xí)是一種有組織的群體活動(dòng)，這種學(xué)習(xí)建立在小組內(nèi)學(xué)習(xí)者之間的信息交換的基礎(chǔ)之上，每一個(gè)學(xué)習(xí)者對(duì)自己的學(xué)習(xí)負(fù)責(zé)，同時(shí)也激發(fā)其它人的學(xué)習(xí)興趣[5].從上述定義可以看出：這種學(xué)習(xí)方法的重心是“合作”，現(xiàn)代社會(huì)網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)發(fā)達(dá)，人們可以利用計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)與多媒體技術(shù)建立起合作式學(xué)習(xí)的大環(huán)境，實(shí)現(xiàn)小組成員之間的信息共享、組織小組成員之間或小組成員與教師之間的討論、交流和學(xué)習(xí)，達(dá)到使小組成員不受時(shí)間和地點(diǎn)的約束，自己掌握學(xué)習(xí)進(jìn)度的目的.常微分方程是數(shù)學(xué)系一門(mén)應(yīng)用性強(qiáng)的學(xué)科，但現(xiàn)在的教學(xué)現(xiàn)狀是教師牢牢掌控課堂主動(dòng)權(quán)、課堂互動(dòng)較少、課堂教學(xué)只注重理論知識(shí)的講授，而忽略了學(xué)生實(shí)踐能力的培養(yǎng)，無(wú)法有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，教學(xué)效率不高，需要嘗試把合作式學(xué)習(xí)的思想引入到常微分方程的教學(xué)中，提高教學(xué)效率.

在反映現(xiàn)實(shí)客觀世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程的量與量之間的關(guān)系中，存在著大量的滿(mǎn)足常微分方程關(guān)系式的數(shù)學(xué)模型，需要通過(guò)求解常微分方程的精確解或近似解、判斷常微分方程各類(lèi)解函數(shù)的各種動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，去更好地了解客觀世界.例如：常微分方程中的經(jīng)典模型——馬爾薩斯人口模型.在假設(shè)人口的自然增長(zhǎng)過(guò)程中，人口的增長(zhǎng)不受到外來(lái)因素的影響，凈相對(duì)增長(zhǎng)率是一個(gè)常數(shù)的基礎(chǔ)上，英國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯提出了Malthus人口模型：

其中N表示t時(shí)刻的人口數(shù)量，r稱(chēng)為生命系數(shù)，表示的是人口的凈相對(duì)增長(zhǎng)率.這是一個(gè)變量分離方程，由變量分離法可求出它的通解為

N=cert，

如果再假設(shè)初始時(shí)刻t0，人口的數(shù)量為N0， 代入通解之中，可得：t時(shí)刻的人口數(shù)量

N(t)=N0er(t-t0).

此模型稱(chēng)為logistic模型，這還是一個(gè)變量分離方程，用變量分離法可得

顯然當(dāng)t→+∞時(shí)N(t)→Nm，即隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，人口數(shù)量不斷接近環(huán)境最大容量，符合客觀現(xiàn)實(shí).從中不難發(fā)現(xiàn)常微分方程是人們發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)、改造客觀世界的重要理論工具.如果只是在班級(jí)內(nèi)被動(dòng)的傳授變量分量法的相關(guān)知識(shí)，學(xué)生可能會(huì)記住變量分離法兩個(gè)步驟，其一分離變量，其二兩邊同取不定積分，但難免會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得枯燥、無(wú)味，提不起學(xué)習(xí)的興趣.但是如果在課前能把變量分離法的具體步驟，以及提出Malthus人口模型的背景等相關(guān)知識(shí)，利用智慧教學(xué)工具先推送給學(xué)生，讓學(xué)生分組合作式學(xué)習(xí)變量分離法，再讓學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)去求解Malthus人口模型，充分發(fā)揮每一個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)上的主觀能動(dòng)性，接著在課中引導(dǎo)學(xué)生思考：Malthus人口模型的解，顯示人口數(shù)量是以指數(shù)形式進(jìn)行增長(zhǎng)的，這是不是合理的？如果不合理，應(yīng)該如何修正模型，使它更加符合現(xiàn)實(shí)客觀世界？讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)小組內(nèi)廣泛進(jìn)行討論，鍛煉小組成員有效思考的技能和主動(dòng)掌握知識(shí)的能力.最后可以把荷蘭生物學(xué)家Verhulst的解決方法教給學(xué)生， 理論與實(shí)踐并重，加深學(xué)生對(duì)變量分離法的記憶與理解.從上述例子不難看出，合作式學(xué)習(xí)能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的積極性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的責(zé)任心，而小組成員之間合作學(xué)習(xí)的協(xié)作精神又能促進(jìn)學(xué)生積極主動(dòng)獲取知識(shí)、利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng).

2 探索與實(shí)踐

2.1 優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，以方便開(kāi)展合作式學(xué)習(xí)

常微分方程的教學(xué)內(nèi)容相對(duì)較多，課時(shí)相對(duì)較少，如果所有的理論知識(shí)都逐點(diǎn)講授清楚，那么留給學(xué)生的時(shí)間會(huì)相對(duì)變少，整個(gè)教學(xué)過(guò)程就會(huì)只注重了理論知識(shí)的講授，而忽略了對(duì)實(shí)踐能力的培養(yǎng)，也會(huì)顯得比較枯燥，提不起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.因此有必要優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，把更多的課堂時(shí)間“還給”學(xué)生.例如：在許多常微分方程的教材之中高階線(xiàn)性微分方程與線(xiàn)性微分方程組是分不同的章節(jié)講授的，但是事實(shí)上，每一個(gè)高階線(xiàn)性微分方程的初值問(wèn)題都可以化為一個(gè)線(xiàn)性微分方程組的初值問(wèn)題，且在這樣的意義下兩者是等價(jià)的：知道一個(gè)初值問(wèn)題的解的條件下，可以構(gòu)造出另外一個(gè)初值問(wèn)題的解；高階線(xiàn)性微分方程解的存在唯一性定理是線(xiàn)性微分方程組解的存在唯一性定理的推論；高階線(xiàn)性微分方程一般理論中每一個(gè)定理又是線(xiàn)性微分方程組一般理論中相應(yīng)定理的推論.因此，教師在講授完線(xiàn)性微分方程組一般理論之后，可以考慮安排學(xué)生合作式學(xué)習(xí)高階線(xiàn)性微分方程的一般理論，不僅能“節(jié)省”課堂教學(xué)時(shí)間，還能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的主觀能動(dòng)性，加深學(xué)生對(duì)高階線(xiàn)性微分方程初值問(wèn)題和線(xiàn)性微分方程組初值問(wèn)題關(guān)系的理解，從宏觀上掌握高階線(xiàn)性微分方程和線(xiàn)性微分方程組的一般理論.再例如說(shuō)常數(shù)變異法這個(gè)知識(shí)點(diǎn).在常微分方程課程中，常數(shù)變異法共講了三種.其一是一階線(xiàn)性微分方程的常數(shù)變異法；其二是高階線(xiàn)性微分方程的常數(shù)變異法；其三是線(xiàn)性微分方程組的常數(shù)變異法.這三種常數(shù)變異法也可以做成一個(gè)專(zhuān)題來(lái)進(jìn)行合作式學(xué)習(xí)，讓學(xué)生能夠更清楚常數(shù)變異法的本質(zhì)——待定函數(shù)的思想，也從形式上把齊次線(xiàn)性微分方程(微分方程組)和非齊次線(xiàn)性微分方程(微分方程組)的通解統(tǒng)一起來(lái).若x1(t)，x2(t)，…，xn(t)是n階的齊次線(xiàn)性微分方程的一個(gè)基本解組，則n階的齊次線(xiàn)性微分方程和n階的非齊次線(xiàn)性微分方程，每一個(gè)解都可以表示為

x(t)=c1(t)x1(t)+c2(t)x2(t)+…+cn(t)xn(t).

若Φ(t)是齊次線(xiàn)性微分方程組的一個(gè)基解矩陣，則齊次線(xiàn)性微分方程組和非齊次線(xiàn)性微分方程組的每一個(gè)都可以表示為

x(t)=Φ(t)c(t).

2.2 選擇合適的合作式學(xué)習(xí)方式，才能有效地提高合作式學(xué)習(xí)的效率

合作式學(xué)習(xí)的方式有四種，其一為競(jìng)爭(zhēng)形式的合作式學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)方式很大程度上受限于學(xué)習(xí)操作系統(tǒng)，學(xué)習(xí)系統(tǒng)會(huì)根據(jù)制定好的教學(xué)目標(biāo)，針對(duì)某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，提出一個(gè)問(wèn)題，再提供一些解決問(wèn)題的資源，兩個(gè)以或兩個(gè)以上的學(xué)生利用這些資源進(jìn)行學(xué)習(xí)，在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中每一個(gè)學(xué)習(xí)者都能看到競(jìng)爭(zhēng)者的學(xué)習(xí)狀態(tài)，這種方式的優(yōu)點(diǎn)在于學(xué)習(xí)者可以根據(jù)競(jìng)爭(zhēng)者的學(xué)習(xí)狀態(tài)，調(diào)整自己的學(xué)習(xí)策略，爭(zhēng)取共同進(jìn)步，達(dá)到教學(xué)目標(biāo).但是這種方式的缺點(diǎn)在于，學(xué)習(xí)者缺乏和老師之間的溝通，缺少老師的指導(dǎo)，容易造成盲目學(xué)習(xí)的狀態(tài)，不能及時(shí)的掌握知識(shí)點(diǎn)，理解其本質(zhì).其二為協(xié)同形式的合作式學(xué)習(xí).這需要兩名以及兩名以上的學(xué)生共同完成合作式學(xué)習(xí).這種方式需要根據(jù)每一名學(xué)生的特長(zhǎng)和優(yōu)勢(shì)，合理進(jìn)行學(xué)習(xí)分工，小組密切合作共同完成由教學(xué)大綱制定的某一個(gè)具體的學(xué)習(xí)任務(wù).這種方式的優(yōu)點(diǎn)在于能充分發(fā)揮學(xué)習(xí)小組中每一位同學(xué)的優(yōu)勢(shì)特長(zhǎng)，最大程度地調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性.而這種方式的缺點(diǎn)在于學(xué)習(xí)小組中缺少一個(gè)“組織者”把每一位學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行歸納總結(jié)，形成一個(gè)完整的結(jié)論，讓每一位學(xué)習(xí)者對(duì)學(xué)習(xí)任務(wù)有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)與理解，從而完成教學(xué)大綱中所規(guī)定的教學(xué)任務(wù).其三為伙伴形式的合作式學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)方式更加適合于為了完成同一個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)的期末考試或升學(xué)考試的復(fù)習(xí)，例如考研或考博，學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)上的各種學(xué)習(xí)平臺(tái)，尋找有相同學(xué)習(xí)目標(biāo)的學(xué)習(xí)伙伴，當(dāng)一方在學(xué)習(xí)上遇到困難時(shí)，可以與伙伴進(jìn)行交流與討論，最終解決困難，共同完成學(xué)習(xí)目標(biāo).這種學(xué)習(xí)方式的優(yōu)點(diǎn)在于學(xué)習(xí)者有共同的學(xué)習(xí)目標(biāo)，可以相互交流學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)上取得共同的進(jìn)步.但這種學(xué)習(xí)方法的缺點(diǎn)在于它不太適合對(duì)某一門(mén)課程的初學(xué)過(guò)程.筆者通過(guò)自身常微分方程的教學(xué)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)最適合常微分方程課程教學(xué)的形式還是第四種合作式學(xué)習(xí)的形式——角色扮演形式的合作學(xué)習(xí).這種方式一般是能力各異的4-6名學(xué)生組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組，獨(dú)立學(xué)習(xí)能力強(qiáng)又善于與其它同學(xué)溝通的學(xué)生擔(dān)任“指導(dǎo)者”的角色，負(fù)責(zé)統(tǒng)籌安排學(xué)習(xí)小組成員的學(xué)習(xí)任務(wù)、監(jiān)督他們的學(xué)習(xí)進(jìn)度、為他們的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)與幫助，以及把學(xué)習(xí)小組每一位成員的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行歸納與總結(jié)，解決任課教師根據(jù)教學(xué)大綱所提出的問(wèn)題，完成學(xué)習(xí)目標(biāo)與任務(wù).對(duì)擔(dān)任“指導(dǎo)者”角色的學(xué)生能力要求是比較高的，他不僅要對(duì)整個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)有一個(gè)宏觀上的把控，在學(xué)習(xí)小組遇到學(xué)習(xí)困難的時(shí)候還要和老師積極溝通，尋求教師的幫助.經(jīng)過(guò)近兩年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)由學(xué)習(xí)小組內(nèi)部成績(jī)最好、獨(dú)立學(xué)習(xí)能力最強(qiáng)的學(xué)生擔(dān)任“指導(dǎo)者”的角色和學(xué)習(xí)小組成員輪流擔(dān)任“指導(dǎo)者”的角色，教學(xué)效果都不錯(cuò).第一種方式因?yàn)閾?dān)任“指導(dǎo)者”角色的學(xué)生各方面的能力都很好能及時(shí)地對(duì)每一個(gè)成員的學(xué)習(xí)給與指導(dǎo)與幫助，學(xué)習(xí)小組的學(xué)習(xí)效率會(huì)比較高，能及時(shí)的完成學(xué)習(xí)任務(wù).而第二種方式能夠讓每一個(gè)學(xué)生都得到很好的鍛煉，激勵(lì)了每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

2.3 在實(shí)踐過(guò)程中要不斷的修正合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)實(shí)施方案，才能更加有效的提高教學(xué)效率

筆者曾于2018年和2019年的春季學(xué)期中，在所教的班級(jí)中使用了合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，發(fā)現(xiàn)常微分方程期末考試平均成績(jī)要比沒(méi)有實(shí)施教改的2017年教學(xué)班，提高了5-8分.而且在2018年教學(xué)班，使用了合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)方式后，筆者及時(shí)總結(jié)了其中的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，例如沒(méi)有干預(yù)學(xué)生的分組情況，學(xué)習(xí)小組的分組方式采取的是學(xué)生自由組合的方式，導(dǎo)致學(xué)習(xí)小組的人數(shù)分布不均勻，多的多到十多人，而少的只有兩三人，人數(shù)過(guò)多會(huì)降低合作式學(xué)習(xí)小組內(nèi)部溝通的有效程度，也存在一些相互推諉學(xué)習(xí)任務(wù)的情況，影響了學(xué)習(xí)效率，而人數(shù)過(guò)少又會(huì)導(dǎo)致每一個(gè)成員分配的學(xué)習(xí)任務(wù)過(guò)重，又可能存在不能及時(shí)完成學(xué)習(xí)任務(wù)的情況， 影響學(xué)習(xí)進(jìn)度.再例如起初因?yàn)閷W(xué)生對(duì)教學(xué)方式有新鮮感，能非常積極地投入到常微分方程的合作式學(xué)習(xí)之中，然而這種學(xué)習(xí)方式需要學(xué)生投入大量的時(shí)間與精力，卻因?yàn)闆](méi)有配套的課程評(píng)價(jià)體系，打擊了學(xué)生參與合作式學(xué)習(xí)的積極性，影響了教學(xué)效果.筆者及時(shí)修正了合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)實(shí)施方案：合理干預(yù)學(xué)生的分組情況、加強(qiáng)常微分方程課程的過(guò)程管理，讓學(xué)生的每一次合作式學(xué)習(xí)的表現(xiàn)都能在課程的綜合成績(jī)中有所體現(xiàn)，最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，提高了教學(xué)效率.在2019年的春季學(xué)期改進(jìn)了合作式學(xué)習(xí)的實(shí)施方案之后，期末平均成績(jī)又比2018年教學(xué)班的提高了2.7分.

3 教學(xué)實(shí)效

從2017年開(kāi)始計(jì)劃在教學(xué)中引入合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，并開(kāi)始收集相關(guān)教學(xué)數(shù)據(jù).2018年與2019年教學(xué)班中正式實(shí)施了教學(xué)改革.圖1為實(shí)施教學(xué)改革前后常微分方程成績(jī)對(duì)比表，平均成績(jī)、及格率以及最低分的提高、高分人數(shù)(90分以上)的增多都反映了合作式學(xué)習(xí)能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高；圖2為實(shí)施教學(xué)改革前后學(xué)生參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽情況對(duì)比表，學(xué)生參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽積極性的提高、獲獎(jiǎng)學(xué)生人數(shù)的增多都反映了合作式學(xué)習(xí)，能有效促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)；圖3和圖4分別為2018年和2019年春季學(xué)期常微分方程學(xué)生評(píng)教結(jié)果(學(xué)生評(píng)價(jià)內(nèi)容為5項(xiàng)，每一項(xiàng)滿(mǎn)分為20分，總分100分)，總分分別為96.8、97.6，可以看出學(xué)生對(duì)常微分方程課程中引入合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)方法接受度較高、對(duì)教改促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提高認(rèn)可度也較高.

圖1 實(shí)施教學(xué)改革前后常微分方程成績(jī)對(duì)比

圖2 實(shí)施教學(xué)改革前后參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽情況對(duì)比

圖3 2018年常微分方程評(píng)教結(jié)果

圖4 2019年常微分方程評(píng)教結(jié)果

從以上數(shù)據(jù)，進(jìn)一步分析合作式學(xué)習(xí)對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、提升學(xué)生綜合素質(zhì)的原因.

3.1 合作式學(xué)習(xí)提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力原因分析

原來(lái)傳統(tǒng)的常微分方程的教學(xué)都是老師講，學(xué)生聽(tīng)，他們只是被動(dòng)的記錄老師的“東西”，沒(méi)有對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行思考，變成自己的“東西”.甚至有些學(xué)生把常微分方程當(dāng)成“文科”來(lái)學(xué)習(xí)，存在“死記硬背”公式的情形，例如求解一階的非齊次線(xiàn)性微分方程時(shí)，甚至是求解高階非齊次線(xiàn)性微分方程時(shí)，不少學(xué)生都習(xí)慣套用現(xiàn)成的常數(shù)變異公式，而不是掌握常數(shù)變異法的兩個(gè)步驟，自己利用常數(shù)變異法求出微分方程的通解.但是

和

都是一階的非齊次線(xiàn)性微分方程的一般形式，學(xué)生“生搬硬套”的套用常數(shù)變異公式，容易出現(xiàn)“套錯(cuò)”公式的情形.而在常微分方程的教學(xué)之中，引入合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)方法之后，知識(shí)點(diǎn)就變成了學(xué)生在合作式學(xué)習(xí)小組的學(xué)習(xí)討論中討論出來(lái)的，是學(xué)生自己主動(dòng)獲取的知識(shí)，加入了他們自己的思考是他們自己的“東西”，自然也就能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶和理解，同時(shí)也改進(jìn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高了他們的學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生真正成為了學(xué)習(xí)的“主體”.在實(shí)施教學(xué)改革之前，基本沒(méi)有學(xué)生嘗試解答期末考卷中考查學(xué)生學(xué)習(xí)能力、思維能力的“拔高題”，沒(méi)有高分學(xué)生，最高分僅88分，而從2018年實(shí)施教學(xué)改革之后，更多的學(xué)生開(kāi)始嘗試解答考卷中的“拔高題”，2018與2019學(xué)年分別有8和10位高分學(xué)生，占全班總?cè)藬?shù)的20%與25%，連續(xù)兩年最高分都為100分，從中不難看出合作式學(xué)習(xí)將學(xué)生學(xué)習(xí)方式從“被動(dòng)學(xué)習(xí)”變成了“主動(dòng)學(xué)習(xí)”，有效促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高.

3.2 合作式學(xué)習(xí)培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神原因分析

合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)方式能加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.合作式學(xué)習(xí)小組的成員是一個(gè)個(gè)不同的“個(gè)體”，在每一次合作式學(xué)習(xí)的過(guò)程之中，小組成員之間、學(xué)生和老師之間的相互啟發(fā)與相互討論，都會(huì)產(chǎn)生不少思維上“閃光點(diǎn)”，提出許多值得討論的問(wèn)題，這是一個(gè)動(dòng)態(tài)地、創(chuàng)造性地獲得知識(shí)的學(xué)習(xí)方式，在這個(gè)過(guò)程中很“自然的”就培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神.常微分方程是一門(mén)理論與實(shí)踐并重的學(xué)科，在布置合作式學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，還可以通過(guò)一些實(shí)際問(wèn)題引入.在完成學(xué)習(xí)任務(wù)之后，學(xué)生不僅加深了對(duì)某一知識(shí)點(diǎn)的記憶與理解，也增強(qiáng)了學(xué)生利用學(xué)科知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.以高階微分方程的降階為例，不妨用這樣一個(gè)問(wèn)題來(lái)引入：從海平面上向海中沉放，某種物體，求該物體與海底接觸時(shí)的速度，即需要確定物體下沉深度s(從海平面算起)與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系.假設(shè)物體在重力作用下從海平面由靜止開(kāi)始鉛直下沉，在下沉的過(guò)程中還受到阻力和浮力的作用，該物體的質(zhì)量為m， 體積為T(mén)， 海水的比重為ρ， 物體所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為k.用s(t)表示在t時(shí)刻物體下沉的位移，考慮到位移的導(dǎo)數(shù)是物體降落的速度，而速度的導(dǎo)數(shù)就是加速度，則由牛頓第二定理，可以列出微分方程：

(1)

原二階微分方程就可以降階，成為一階微分方程：

這是一個(gè)變量分離方程，可以用變量分離法求出其通解，再考慮到初值條件s=0，v=0， 可以得到物體下沉深度s與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系， 從而通過(guò)求出(1)式，這個(gè)二階微分方程的解，不僅能讓學(xué)生學(xué)會(huì)高階微分方程降階的技巧，也能讓學(xué)生更加清楚這個(gè)物體的遠(yuǎn)動(dòng)規(guī)律，提高學(xué)生利用常微分方程的知識(shí)點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，加強(qiáng)了學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)， 知識(shí)不是用來(lái)應(yīng)付考試的，是拿來(lái)用的.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽有利于數(shù)學(xué)理論，尤其是常微分方程的理論付諸實(shí)踐，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力有較高要求.在實(shí)施教學(xué)改革之前，對(duì)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽感興趣的學(xué)生不多，得獎(jiǎng)學(xué)生更少.2017學(xué)年僅有9名學(xué)生組成3隊(duì)參加建模競(jìng)賽，其中1隊(duì)共3名學(xué)生獲獎(jiǎng)，占全班總?cè)藬?shù)的7.5%.大多數(shù)學(xué)生更加習(xí)慣的是“按部就班”地學(xué)習(xí)與考試.實(shí)施教學(xué)改革之后，學(xué)生逐步習(xí)慣了合作式學(xué)習(xí)這一種動(dòng)態(tài)地、創(chuàng)造性地獲取知識(shí)地方式，對(duì)自身創(chuàng)新能力的要求也越來(lái)越高.2018學(xué)年共有15名學(xué)生組成5隊(duì)參加了建模競(jìng)賽，其中有3隊(duì)共9名學(xué)生獲獎(jiǎng)，占全班總?cè)藬?shù)的22.5%.2019學(xué)年共有21名學(xué)生組成7隊(duì)參加了建模競(jìng)賽，其中有5隊(duì)共15名學(xué)生獲獎(jiǎng)，占全班總?cè)藬?shù)的37.5%.參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽學(xué)生人數(shù)和獲獎(jiǎng)學(xué)生人數(shù)穩(wěn)步增多，反映了基于合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)改革能有效促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng).

3.3 合作式學(xué)習(xí)提升了學(xué)生的綜合素質(zhì)原因分析

合作式學(xué)習(xí)能夠培養(yǎng)學(xué)生各方面的素質(zhì)，首先能培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和人際交往能力，這在現(xiàn)代社會(huì)中是尤為重要的.整個(gè)合作式學(xué)習(xí)小組要按照教學(xué)大綱的要求按時(shí)按量地完成既定學(xué)習(xí)目標(biāo)和任務(wù)，就需要小組中每一個(gè)成員能夠有有效地、良好地溝通，通力合作，為了同一個(gè)目標(biāo)而努力，這在無(wú)形之中就培養(yǎng)了學(xué)生的人際交往能力和合作精神.其次合作式學(xué)習(xí)還能培養(yǎng)學(xué)生的抗壓能力和心理素質(zhì).無(wú)論是在生活中，還是在學(xué)習(xí)上不可能都是一帆風(fēng)順的，會(huì)遇到各式各樣的挫折.學(xué)生大多習(xí)慣了傳統(tǒng)的教育模式——老師講授知識(shí)，學(xué)生被動(dòng)的學(xué)習(xí)知識(shí)，一開(kāi)始學(xué)生可能會(huì)對(duì)合作式學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)模式感覺(jué)很新鮮很好奇，激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)積極性，但是，如若他們?cè)谥鲃?dòng)地探索知識(shí)的過(guò)程遇到困難和挫折，難免就會(huì)打擊到他們的學(xué)習(xí)熱情和積極性，這時(shí)就需要學(xué)習(xí)小組內(nèi)部成員之間相互啟發(fā)、相互鼓勵(lì)，在全策全力完成學(xué)習(xí)任務(wù)的過(guò)程之中，不斷加強(qiáng)自身的抗壓能力和心理素質(zhì).最后合作式學(xué)習(xí)還能增強(qiáng)學(xué)生的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)和集體榮譽(yù)感，對(duì)學(xué)生畢業(yè)之后，融入社會(huì)大有益處.教師在布置學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，可以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)合作式學(xué)習(xí)小組之間的學(xué)習(xí)競(jìng)爭(zhēng)，激勵(lì)合作式學(xué)習(xí)小組的成員為了集體的榮譽(yù)感，積極投入到學(xué)習(xí)之中.合作精神、人際交往能力、抗壓能力和心理素質(zhì)、競(jìng)爭(zhēng)精神、集體榮譽(yù)感是學(xué)生綜合素質(zhì)中不可或缺的部分，通過(guò)常微分方程課程的學(xué)習(xí)，這些能力是否得到有效培養(yǎng)，需要學(xué)生在日常學(xué)習(xí)與生活中自己感悟，他們才更加具有發(fā)言權(quán).實(shí)施教學(xué)改革之后，每一項(xiàng)評(píng)教內(nèi)容學(xué)生評(píng)教平均分均在19分以上(總分為20分)，反映了基于合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)改革能有效提升學(xué)生的綜合素質(zhì).

4 結(jié) 論

本文分析了常微分方程教學(xué)中關(guān)于合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)改革，展示了理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的教學(xué)案例，取得了良好的教學(xué)效果.為了使合作式學(xué)習(xí)方法更好地融入到常微分方程的教學(xué)之中，還需要在授課過(guò)程中優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、合理選擇合作式學(xué)習(xí)的方式、不斷完善教學(xué)實(shí)施方案，這樣才能有效促進(jìn)教學(xué)改革、提高教學(xué)質(zhì)量.

致謝作者非常感謝參考文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專(zhuān)家提出的寶貴意見(jiàn).